模糊數(shù)排序的指數(shù)方法

曾繁慧，曹 俊

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新123000)

0 引言

模糊數(shù)的概念由Jain[1]和Dubois[2]提出。為了比較模糊數(shù)的大小，需要引入模糊數(shù)的排序指標(biāo)。1998年，Cheng[3]在Murakami，Maeda和Mamura[4]的基礎(chǔ)上首次提出了模糊數(shù)的質(zhì)心這一概念，并用模糊數(shù)的質(zhì)心到原點(diǎn)的距離作為排序指標(biāo)進(jìn)行排序。2002年，Chu和Tsao[5]對(duì)模糊數(shù)質(zhì)心的定義作了改進(jìn)，并以質(zhì)心到兩坐標(biāo)軸距離的乘積作為排序指標(biāo)。2006年，Wang[7]又對(duì)模糊數(shù)質(zhì)心的定義進(jìn)行了合理改進(jìn)。本文基于模糊數(shù)的質(zhì)心指標(biāo)，給出了一種模糊數(shù)排序的指數(shù)方法。

1 基本概念

定義1[6]論域X到[0,1]閉區(qū)間上的任意映射μA:X→[0,1]都確定 X上的一個(gè)模糊集 A，μA(x)稱為A的隸屬函數(shù)，μA(x)稱為x對(duì)A的隸屬度。為了方便起見，記論域X上的模糊集全體為F(X)；若模糊集A的隸屬函數(shù)μA(x)僅取0和1，則模糊集為普通集。記論域X上的普通集全體為P(X)。

定義2[2]若模糊數(shù)A的隸屬函數(shù)為

定義 3[7]模糊數(shù) A 的質(zhì)心為

2 模糊數(shù)排序的指數(shù)方法

根據(jù)以上定義，提出模糊數(shù)的指數(shù)排序指標(biāo)

其中

設(shè)有兩個(gè)模糊數(shù)A和B，可分別計(jì)算E(A)和E(B)，其排序方法如下：

若E(A)＜E(B)，則 A＜B；

若 E(A)=E(B)，則 A=B；

若E(A)＞E(B)，則 A＞B。

新的排序指標(biāo)可以同時(shí)對(duì)多個(gè)模糊數(shù)進(jìn)行排序，且這個(gè)指標(biāo)滿足模糊數(shù)排序的常見性質(zhì)[8]：

序關(guān)系的完全性，即A≥B與A≤B至少有一者成立；

序關(guān)系的傳遞性，即A≥B且B≥C，則有A≥C。

不相關(guān)模糊數(shù)的獨(dú)立性，即在{A,B}中有A≥B，則在{A,B,C}中仍有A≥B。

3 算例分析

我們通過算例分析來說明方法的有效性。

例1比較下列模糊數(shù)：A1=(10,13,20;1)，A2=(10,17,20;0.2)，它們的隸屬函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1 隸屬函數(shù)圖像

一般的，我們認(rèn)為 A1＞A2，但是如果按照Cheng[3]和Wang[10]的方法卻能得到A1＜A2的排序結(jié)果，顯然這兩種方法是有缺陷的。按照本文的排序方法可以得到A1＞A2，與直觀相符。

例2比較下列模糊數(shù)大?。篈1=(3,5,7;1)，A2=(3,5,7;0.8)，B1=(5,7,9,10;1)，B2=(6,7,9,10;0.6)，B3=(7,8,9,10;0.4)，它們的隸屬函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 隸屬函數(shù)圖像

利用本文所提出的方法，求得模糊數(shù)A1，A2,B1，B2，B3的排序結(jié)果為 B1＞B2＞A1＞A2＞B3。文獻(xiàn)[9]認(rèn)為B1＞A1＞B2＞A2=B3，并沒有區(qū)分出A2與B3的優(yōu)劣；而利用文獻(xiàn)[10]提出的方法，得到了 B3＞B2＞B1＞A1＞A2的排序結(jié)果，由于B1的峰值高于B2的峰值，所以直觀上應(yīng)有B1＞B2。

4 結(jié)束語

本文基于模糊數(shù)的質(zhì)心指標(biāo)，給出了一種模糊數(shù)排序的指數(shù)方法。這種排序方法可以通過簡單的計(jì)算實(shí)現(xiàn)對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行排序，并且在一定程度上克服了現(xiàn)有一些模糊數(shù)排序方法的缺陷，因而為決策者提供了一種新的參考。

[1]Jain R.A Procedure for Multi-aspect Decision Making Using Fuzzy Sets[J].International Journal of Systems Science,1978，（8）.

[2]Dubois D.Operations on Fuzzy numbers[J].International Journal of Systems Science,1978，（9）.

[3]C.H.Cheng.A New Approach for Ranking Fuzzy Numbers by Distance Method[J].Fuzzy Sets and Systems,1998，（95）.

[4]S Murakami,S maeda，S Imamura.Fuzzy Decision Analysis on the Development of Centralized Regional,Energy Contral System[A].ICFA Syrup on Fuzzy Infrom[Z].Knowledge Representation and Decision Anal,1983.

[5]T.C.Chu，C.T.Tsao.Ranking Fuzzy Numbers with An Area between the Centroid Point and Original Point[J].Comput.Maths,2002,(43).

[6]Yang Lunbiao,Gao Yingyi.Fuzzy Mathematic Theory and Application[M].Guangzhou:South China University of Technology Press,2005.

[7]Wang Yingming,Yang Jianbo,Xu Dongling,etal.On the Centroids of Fuzzy Number[J].Fuzzy Sets and Systems,2006,(157).

[8]Wang Xuzhu,Shan Jing.An Overview of Ranking Fuzzy Quantities[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2002,(16).

[9]B.Asady,A.Zendehnam.Ranking Fuzzy Numbers by Distence Minimization[J].Aplied.Mathematical.Modelling,2007,31(11).

[10]Y.J.Wang,S.H.Lee.The Revised Method of Ranking Fuzzy Numbers with an Area between the Centroid and Original Points[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,(55).