離散時間單重休假溫儲備系統(tǒng)的可靠性分析

姜紅燕

(淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223003)

0 引言

以往的可靠性分析理論都是在時間參數(shù)為連續(xù)的假設條件下討論的，處理方法通常是微分方程法和拉普拉斯變換法［1］。在實際工程應用中，人們通常定期檢測系統(tǒng)、維修或更換部件，這樣一來，系統(tǒng)的運行和維修時間等統(tǒng)計量并非是連續(xù)的隨機變量，而應看作非負整數(shù)值的隨機變量序列。薛云［2－3］將原有的連續(xù)時間模型中的微分方程代之以離散時間的差分方程，研究了可變環(huán)境下的離散時間單部件可修復系統(tǒng)的可用度模型;楊懿等［4］分析了離散時間下的單部件可修復系統(tǒng)的可靠性;王金亭［5］研究了離散時間串聯(lián)系統(tǒng)的可用度模型;余妙妙等［6］討論了離散時間單重休假冷儲備系統(tǒng)的可靠性;梁小林等［7］討論了單重休假下“修復非新”的情形。

本文在前人工作的基礎上，利用離散向量Markov過程方法［8］，提出了一類適用于描述離散時間單重休假溫儲備系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，從而得到了系統(tǒng)可靠度、可用度和首次故障前平均時間等可靠性指標。

1 模型的描述

1.1 模型的假設

系統(tǒng)由兩個同型部件和一個修理工組成，部件的工作壽命ξ服從參數(shù)為p1的幾何分布，即:

儲備壽命ζ服從參數(shù)為p2的幾何分布，即:

工作故障的部件和儲備故障的部件有相同的修理時間分布，修理時間η服從一般離散型分布，即:

修理工的休假時間τ服從一般離散型分布，即:

發(fā)生在休假期間的故障，需等修理工休假結(jié)束以后才能得到修理。休假結(jié)束后，一旦有故障，修理工立即投入工作，否則，他就是空閑的。先發(fā)生故障的部件先修理，另一個則處于等待狀態(tài)。

當一個部件發(fā)生故障時，溫儲備的部件立即轉(zhuǎn)換為工作狀態(tài)。轉(zhuǎn)換是瞬時完成的，轉(zhuǎn)換開關是完全可靠的。

所有的部件都能夠修復如新。部件的工作壽命、儲備壽命、修理時間和修理工的休假時間相互獨立。

初始時刻部件都是新的，修理工開始休假。

1.2 模型的分析

此時系統(tǒng)共有10個不同的狀態(tài):

狀態(tài)0:一個部件工作，另一個部件溫儲備，修理工休假;

狀態(tài)1:一個部件工作，另一個部件發(fā)生工作故障，修理工休假;

狀態(tài)2:一個部件工作，另一個部件發(fā)生儲備故障，修理工休假;

狀態(tài)3:一個部件發(fā)生工作故障，另一個部件發(fā)生儲備故障，修理工休假;

狀態(tài)4:兩個部件都發(fā)生工作故障，修理工休假;

狀態(tài)0＇:一個部件工作，另一個部件溫儲備，修理工空閑;

狀態(tài)1＇:一個部件工作，另一個部件因工作故障在修理;

狀態(tài)2＇:一個部件工作，另一個部件因儲備故障在修理;

狀態(tài)3＇:一個部件因儲備故障在修理，另一個部件因工作故障待修;

狀態(tài)4＇:一個部件因工作故障在修理，另一個部件因工作故障待修。

令N(k)表示系統(tǒng)在時刻k(k=0，1，2，…)所處的狀態(tài)，顯然N(k)不是Markov過程。引進離散補充變量，當 N(k)=0、1、2、3、4 時，令 Y(k) 表示修理工在時刻 k 已用掉的休假時間;當 N(k)=0＇、1＇、2＇、3＇、4＇時，令X(k)表示時刻k正在修理的部件已經(jīng)修理的時間，它們的取值均為非負整數(shù)。

系統(tǒng)在時刻k的狀態(tài)概率，定義如下:

時刻k已經(jīng)處于0狀態(tài)、m時間的概率P0(k，m)=P{N(k)=0，Y(k)=m}

時刻k已經(jīng)處于0＇狀態(tài)的概率P0(k)=P{N(k)=0＇}

時刻 k 已經(jīng)處于 i狀態(tài)、m 時間的概率 P1i(k，m)=P{N(k)=i，Y(k)=m}，(i=1，2，3，4)

時刻 k 已經(jīng)處于 i＇狀態(tài)、n 時間的概率 P2i(k，n)=P{N(k)=i＇，X(k)=n}，(i=1，2，3，4)

2 模型的建立與求解

用概率分析的方法可以得到如下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:初始時刻部件都是新的，修理工開始休假，初始條件為:

其余均為零。

在現(xiàn)代控制理論研究中，Z變換(母函數(shù))是討論離散時間系統(tǒng)時的一種常用工具。對上述方程組兩端進行Z變換，可得:

3 系統(tǒng)的可靠性

3.1 系統(tǒng)的可用度

系統(tǒng)在時刻k(k=0，1，2…)的可用度為:

兩端進行Z變換，并將前面所得的結(jié)果代入，得

而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

由式(17)以及洛比達法則，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為:

3.2 系統(tǒng)等待維修的概率

設系統(tǒng)的等待維修概率為P(k)，則:

同理，可得系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)下等待修理的概率為:

3.3 系統(tǒng)的可靠度

在上述模型中令故障狀態(tài) 3、4、3＇、4＇為過程的吸收態(tài)，令表示系統(tǒng)在時刻 k(k=0，1，2，…) 所處的狀態(tài)，當N(k)=0、1、2、3、4 時，令Y(k) 表示修理工在時刻 k已用掉的休假時間;當3＇、4＇時，令表示時刻k正在修理的部件已經(jīng)修理的時間，它們的取值均為非負整數(shù)。

系統(tǒng)在時刻k的狀態(tài)概率定義如下:

顯然，系統(tǒng)的可靠度為:

類似于穩(wěn)態(tài)可用度的求解過程，可得Z變換后的系統(tǒng)可靠度:

4 結(jié)束語

本文應用離散向量Markov過程方法，研究了單重休假下的離散時間溫儲備可修復系統(tǒng)。實際中對很多設備的監(jiān)控都采用離散參數(shù)的分析方法，因而，該研究結(jié)果既有重要的理論意義，也有顯而易見的現(xiàn)實意義。

［1］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學引論［M］.北京:科學出版社，2006.

［2］薛云，曹晉華.可變環(huán)境下的離散時間單部件可修系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)科學與數(shù)學，2006，26(2):178－186.

［3］薛云，曹晉華.可變環(huán)境下的離散時間串聯(lián)可修系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)科學與數(shù)學，2003，23(2):242－250.

［4］楊懿.離散時間下的單部件可修復系統(tǒng)的可靠性分析［J］.南京理工大學學報:自然科學版，2008，32(4):393－396.

［5］王金亭.離散時間下串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析［J］.北方交通大學學報，2001，25(6):81－84.

［6］余妙妙，唐應輝，陳勝蘭.離散時間單重休假冷儲備系統(tǒng)的可靠性分析［J］.計算機工程與科學，2008，30(10):108－112.

［7］梁小林，莫蘭英，唐小偉.具有修理工休假的冷備退化可修系統(tǒng)的研究［J］.系統(tǒng)工程學報，2010，25(3):426－432.

［8］Chaudhry M L，Gupta U.Queue－Length and Waiting Time Distributions of Discrete－Time GIx/Geom/1 Queueing Systems with Early and Late Arrivals［J］.Queuing Systems，1997，25(2):307－334.