一類帶粗糙核的多線性奇異積分交換子的CBMO估計(jì)

張慧慧,陶祥興

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)Sn-1為Rn上面的單位球面,帶有通常的Lebesgue測(cè)度dσ=dσ(x′),并且滿足如下消失性,

則具有粗糙核的奇異積分算子定義為

其中Ω∈Ls(Sn-1),(1≤s＜∞),核函數(shù)Ω滿足零次齊次性并且在單位球面上具有如式(1)形式的消失性。

對(duì)于上述算子TΩ,文獻(xiàn)[1-2]對(duì)其進(jìn)行了深入的研究。在此基礎(chǔ)上,對(duì)每一個(gè)屬于有界平均振蕩空間的函數(shù)b(x),奇異積分交換子Tb(f)(x)的定義如下:

對(duì)于上述算子,Coifman等人于文獻(xiàn)[3]中給出了一個(gè)經(jīng)典的結(jié)論,即Tb(f)(x)為Lp(1＜p＜∞)有界的充要條件為b∈BMO,其中BMO為有界平均振蕩空間。

1999年,Lu等人在文獻(xiàn)[4]中定義了如下的中心有界平均振蕩空間CBMO q,

注意到BMO?CBMO q,因此當(dāng)b∈CBMO q時(shí),算子Tb(f)(x)的Lp(1＜p＜∞)有界性將不一定成立。

最近,Alvarez等人在文獻(xiàn)[5]中定義了如下的λ-中心有界平均振蕩空間CBMOq,λ(Rn)及 λ-中心Morrey 空間 Bq,λ(Rn)。

定義1[5]給定λ＜1/n,1＜q＜∞,λ-中心有界平均振蕩空間CBMOq,λ(Rn)定義為

其中 ‖f‖CBMOq,λ范數(shù)定義為

定義2[5]令 λ∈ R,1＜q＜∞,則λ-中心Morrey空間Bq,λ(Rn)定義為

Alvarez等人證明了當(dāng)b ∈ CBMOq,λ時(shí),算子Tb(f)(x)在λ-中心Morrey空間Bq,λ(Rn)是有界的,其中核函數(shù)Ω(x)為有界函數(shù)。

對(duì)于核函數(shù)Ω∈Ls(Sn-1)的情形,2008年,Fu等人在文獻(xiàn)[6]中證明了如果b∈CBMOq,λ,則相應(yīng)的交換子 Tb(f)(x)也是在λ-中心Morrey空間Bq,λ(Rn)有界的。

同時(shí),2002年,Perez等人在文獻(xiàn)[7]中考慮了如下形式的多線性奇異積分算子交換子,

受上述工作啟發(fā),本文定義了一類帶粗糙核的多線性奇異積分交換子。并在此基礎(chǔ)上研究其在λ-中心Morrey空間上的有界性問題,得到了其在λ-中心Morrey空間中的CBMO估計(jì)。

本文的主要定理:

定理1 令TmΩ,b→(f)(x)為如上具有粗糙核的多線性奇異積分算子交換子,其中核函數(shù)Ω∈Ls(Sn-1),(1＜s＜∞)且在單位球面上滿足一階消失性,b→=(b1,b2,…,bm),bi∈ CBMOsi,μi(Rn),0＜μi＜1/n,1＜si＜∞,i=1,2,…,m。如果1＜p＜∞,/p ＜1,ν∈ R且上述指標(biāo)滿足+ν＜0,則對(duì)任意 f ∈ Bp,ν,則有

2 定理1的證明

在證明定理1之前,需要如下的引理。

引理1[1]設(shè) TΩ(f)(x)為前所述的具有粗糙核的奇異積分,若1＜q＜∞,Ω∈Ls(Sn-1),(1＜s＜∞),且在單位球面上滿足式(1),則有 ‖TΩ(f)‖Lq(Rn)≤C‖f‖Lq(Rn)。

定理1的證明 不失一般性,這里僅僅證明m=2的情況,m＞2的情況完全類似。

固定一個(gè)常數(shù)R ＞0,定義B=B(0,R)及kB為B(0,kR)(k∈Z)。對(duì) ?x∈B,接下來可以對(duì)(f)(x)作如下的分解,

記 f=fχ2B+fχ(2B)c=∶f 1+f 2,其中χ2B為2B上面的特征函數(shù)。下面分別估計(jì)J 1,J 2,J3,J4。

1)J1部分

首先注意到

又由x∈B,y∈2k+1B可得x-y∈2k+2B,注意定理中的條件Ω∈Ls(Sn-1),從而有

注意到ν＜0,從而得到

故由H¨older不等式可得

2)J4部分

首先由f的分解可得

對(duì)于J41,根據(jù),因此由算子 TΩ的 Lq(q＞1)有界性和H¨older不等式得

綜上可得

3)J2部分

記1/q1=1/q-1/s1=1/s2+1/p,則由H¨older不等式和 f的分解可得

又類似于J41和J42的證明方法并且注意到1/q1=1/s2+1/p易得

故有

4)J3部分

由于J3部分和J 2部分是對(duì)稱的,因此類似于J 2的證明方法可得

綜合 1)、2)、3)、4)可得

即

對(duì)上式兩邊取上確界,結(jié)合λ-中心Morrey空間相關(guān)定義,定理1得證。

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