未確知濾波法和灰色模型在大壩變形預測中的應用

李 波 ，劉明軍，張治軍

(1.長江科學院a.工程安全與災害防治研究所;b.水利部水工程安全與病害防治工程技術(shù)研究中心，武漢 4 30010;2.中國電力投資集團公司 南 方分公司，廣州 5 10130;3.長江勘測規(guī)劃設計研究院施工設計處，武漢 4 30010)

大壩變形受水位、降雨、氣溫、地質(zhì)、時間等多種因素的影響，這些因素之間關(guān)系錯綜復雜，并且具有一定的灰度［1，2］。因此，當大壩變形監(jiān)測序列較短時，利用灰色模型對大壩變形進行預測，是一種有效的方法。由于人為、系統(tǒng)或環(huán)境等原因的影響，大壩變形監(jiān)測序列中總是存在一定數(shù)量的粗差，這必然會影響預測的精度，未確知濾波法可以有效地識別粗差，并對粗差進行修正［3］。因此，本文將未確知濾波和灰色模型相結(jié)合，利用未確知濾波法識別并修正大壩變形序列中的粗差，再采用灰色模型對大壩變形進行預測，并結(jié)合實例進行分析。

1 未確知濾波法

在大壩變形監(jiān)測過程中，經(jīng)常會遇到測值突然增大或減小的情況，這可能是由于人為、系統(tǒng)或環(huán)境等因素造成了粗差，也有可能是由于大壩變形發(fā)生重大變化導致測值發(fā)生異常改變而產(chǎn)生了異常值。從大量的監(jiān)測數(shù)據(jù)中正確地分辨粗差和異常值，并將粗差進行修正，準確地反映大壩的工作狀態(tài)顯得非常重要。未確知濾波法能夠很好地分辨粗差和異常值，在一些領(lǐng)域已得到應用［4，5］。

1.1 未確知濾波法原理

在大壩安全監(jiān)測中，變形監(jiān)測量的某個監(jiān)測序列為

定義一個未確知有理數(shù)為

其中φ(x)是可信度分布密度函數(shù)。

通過對粗差和異常值進行分析，不難看出，若Li是粗差，Li是孤立的，則在 Li的某個鄰域內(nèi) Lj(1≤j≤n，j≠i)個數(shù)為零，因此，可信度分布密度函數(shù)φ(x)可作如下定義:

式(2)中ξi表示Lj在以λ為半徑的Li的領(lǐng)域中的個數(shù)。

通過式(2)定義可信度分布密度函數(shù)φ(x)，如果Lj在以λ為半徑的Li的領(lǐng)域中的個數(shù)越多，可以認為Lj為非粗差的可能性就越大;相反地，如果Lj在以λ為半徑的Li的領(lǐng)域中的個數(shù)越少，甚至只有1次，則認為Lj為粗差的可能性就越大。未確知濾波法就是基于這個原理對監(jiān)測系列中的粗差和異常值進行區(qū)分，從而達到去噪的目的。

進一步計算未確知濾波法的數(shù)學期望，可以修正粗差。未確知濾波法的數(shù)學期望如下所示:

由于式(4)滿足

故式(3)可以簡化為

可信度決定粗差的分辨，可信度又與ξi相關(guān)，ξi又完全由鄰域半徑λ的大小決定，如果λ取值過大，則有可能將粗差包含在內(nèi)，不能識別粗差;反之，如果λ取值過小，則會把正常數(shù)據(jù)中的偏大值誤認為粗差。因此，λ的取值直接影響未確知濾波的最終結(jié)果。參考傳統(tǒng)粗差分辨方法中的2或3倍中誤差法則，λ取2倍差值方差為

1.2 改進的未確知濾波法

大壩安全變形監(jiān)測的測值序列中，粗差的可信度和ξi應該為零，但在現(xiàn)實的情況很難這么理想，大壩測值序列較長時，部分粗差和正常的測值在某段序列中非常接近，使粗差難以識別。為此，可以把測值序列進行分段處理［4］，每段測值含有k+1個監(jiān)測值，分別對每段監(jiān)測值進行濾波處理，可以重新定義可信度分布密度函數(shù)φ(x)為

式中:ξi表示半徑為λ的Li的領(lǐng)域V中包含Lj的個數(shù);Lj為相鄰Li最近的k個監(jiān)測值(i≠j)。

分段后對應的未確知期望也發(fā)生變化，在含有k+1監(jiān)測值求未確知數(shù)學期望為

改進的未確知濾波法處理粗差流程圖如圖1所示。改進的未確知濾波法處理粗差的主要步驟如下:

(1)選取原始的監(jiān)測序列 Li(i=1，2，…，n)，確定 m 的取值范圍［2，mmax］，取 m=2，j=1;

(2)由式(7)計算出監(jiān)測序列的鄰域半徑λj;

(3)根據(jù):鄰域上限=監(jiān)測值+λi、鄰域下限=監(jiān)測值－λj，計算各監(jiān)測值鄰域的上下限;

(4)濾波數(shù)據(jù)段為包括Li及其相鄰最近的k個測值在內(nèi)的k+1個測值，統(tǒng)計出落在Li相應鄰域內(nèi)的其它監(jiān)測值個數(shù)ξi;

(5)根據(jù)式(8)算出Li的可信度;

(6)重復步驟(3)至步驟(5)，算出每個監(jiān)測值的ξi和可信度，判斷Li是否為粗差;

(7)剔除粗差，計算剩余監(jiān)測值的鄰域半徑λj+1;

(8)如果 λj+1= λj，則 λm=λj，進入步驟(9)，否則，j=j+1，重復步驟(2)至步驟(7);

(9)當 m=mmax時，進入步驟(10)，否則，取m=m+2，重復步驟(2)至步驟(8);

(10)取鄰域半徑λm中的最小值λmin作為濾波計算的最終λ值;

(11)在λmin所處的狀態(tài)下，根據(jù)式(9)計算出每個監(jiān)測值的未確知數(shù)學期望。

圖1 改進的未確知濾波法處理流程圖Fig.1 Flow chart of processing the gross error by improved unascertained filtering method

2 等維新息灰色模型

上世紀80年代，我國學者鄧聚龍教授建立了灰色系統(tǒng)理論。將已知的數(shù)據(jù)序列按照某種規(guī)則構(gòu)成動態(tài)或非動態(tài)的白色模塊，再按照某種解法來求解未來的灰色模型。

灰色系統(tǒng)理論中常用的是微分方程所描述的動態(tài)方程。其中GM(1，1)表示一階、單個變量的微分方程模型［6］。其具體形式為

用序列 x0表示 n個監(jiān)測值 x01，x02，…，x0n，對 x0進行累加求和，得到新的序列x1，其一般元素x1i(上標1表示新序列，下標表示新序列中的第i個監(jiān)測值)的計算公式為

則對新的序列x1，有如下形式的方程，即

用最小二乘法求解，得到2待定參數(shù)a和c的估計值計算公式為

式中:ˉa和ˉc分別為a和c的估計值;

將利用式(13)估計好的2參數(shù)ˉa和ˉc代入方程式(12)，并求解該微分方程，得到GM(1，1)預測模型的表達式為

對上式進行還原得到原始測值序列擬合和預測值，則有

等維新息模型是采取新信息替代舊信息的方式建模，又稱為新陳代謝模型。

3 實例分析

以某水電站壩頂水平位移的引張線測點EX9為研究對象，選取該測點2006年6月16日至2006年7月6日共20個自動化測值，如表1所示。利用未確知濾波進行粗差分析，其結(jié)果如表2所示。

表1 EX9測點2006年6月16日至7月6日的監(jiān)測值序列Table 1 Monitoring values at point EX9 from June 16 to July 06 in 2006mm

表2 不同m值的改進未確知濾波法識別粗差結(jié)果Table 2 The results of detecting gross error by improved unascertained filtering with different m values

從表2的計算結(jié)果可知，m取2，4，6時，λ最終收斂至1.09，識別到1個粗差;m取8～18時，最終收斂至 2.06，沒有識別到粗差?？紤]到 1.09＜2.06，在m取8～18時可能出現(xiàn)了粗差遮蔽的情況。同時，結(jié)合實測環(huán)境變量發(fā)現(xiàn)，m取2，4，6時識別出的1個粗差的監(jiān)測時刻前后，上游水位和氣溫均沒有出現(xiàn)異常現(xiàn)象，因此，m取2，4，6時得到的結(jié)果合理，最終識別出的粗差序號為16。通過式(9)得到各粗差的修正值分別為－3.30 mm。

在未確知濾波識別粗差，并對粗差進行修正的基礎上，再利用等維新息灰色模型對修正后的水平位移進行預測。選取前16個測值建立灰色模型，對后4個測值進行預測。建立的灰色模型中2個參數(shù)a 和 c的估計值分別為－0.054 9和－1.667 5，預測結(jié)果見表3所示。為了進行比較，對原始水平位移測值進行上述相同的預測，得到的預測結(jié)果見表3所示。由表3可知，修正后的水平位移灰色模型預測精度明顯的高于修正前，因此，本文提出的方法具有較高的實用價值。

表3 修正前后水平位移灰色模型預測結(jié)果Table 3 Prediction of horizontal displacement by grey model before and after the correction mm

4 結(jié)論

本文通過未確知濾波和灰色模型對大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行了分析和預測，得到了以下結(jié)論:

(1)改進的未確知濾波法可以有效地區(qū)分粗差和異常值，并通過對粗差進行修正，減少了監(jiān)測誤差和保證了測值序列的完整性;等維新息灰色模型可以反映監(jiān)測序列的動態(tài)變化情況，更能反映大壩變形的時間情況。

(2)充分利用未確知濾波法和灰色模型的優(yōu)點，將2種方法有機地結(jié)合，應用大壩變形預測中。實例分析表明，基于未確知濾波法的灰色模型能顯著地提高大壩變形預測精度，具有較高的工程實用價值。

［1］吳中如.水工建筑物安全監(jiān)控理論及其應用［M］.高等教育出版社，2003.(WU Zhong-ru.Theory of Safety Monitoring of Hydraulic Structures and Its Application［M］.Higher Education Press，2003.(in Chinese))

［2］顧沖時，吳中如.大壩與壩基安全監(jiān)控理論和方法及其應用［M］.南京:河海大學出版社，2006.(GU Chong-shi，WU Zhong-ru.Theory of Dam and Foundation Safety Monitoring and Its Application［M］.Nanjing:Hohai University Press，2006.(in Chinese))

［3］馮小磊，華錫生，黃紅女.觀測值序列的粗差探測方法［J］.水電自動化與大壩監(jiān)測，2006，30(3):56－59.(FENG Xiao-lei，HUA Xi-sheng，HUANG Hong-nv.Gross-error Detection for Observation Data Series［J］.Hydropower Automation and Dam Monitoring，2006，30(3):56－59.(in Chinese))

［4］黃紅女，華錫生，宋小剛.土石壩監(jiān)測數(shù)據(jù)的未確知濾波［J］.長江科學院院報，2006，23(3):32－35.(HUANG Hong-nv，HUA Xi-sheng，SONG Xiao-gang.Unascertained Filtering Method for Monitoring Data of Earth Rock-fill Dams［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2006，23(3):32－35.(in Chinese))

［5］張 鋒，郝金明，郭 磊，等.基于未確知有理數(shù)的VRS綜合誤差粗差探測與修復［J］.測繪科學技術(shù)學報，2009，26(6):403－406.(ZHANG Feng，HAO Jinming，GUO Lei，et al.Gross Error Detection and Reparation for VRS Synthetical Error Based on Unascertained Rational［J］.Journal of Geomatics Science and Technology，2009，26(6):403－406.(in Chinese))

［6］程啟明，程尹曼，汪明媚，等.基于灰色預測的無模型控制在球磨機負荷控制中的仿真研究［J］.儀器儀表學報，2011，32(1):87－92.(CHENG Qi-ming，CHENG Yin-man，WANG Ming-mei，et al.Simulation Study on Model-Free Adaptive Control Based on Grey Prediction in Ball Mill Load Control［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2011，32(1):87－92.(in Chinese ))