基于正多面體法的單相異步電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)

馬吉祥 孫 華

（1.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200129；2.江蘇省吳江市供電公司，江蘇 吳江 215200）

單相異步電動(dòng)機(jī)又稱單相感應(yīng)電動(dòng)機(jī)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，價(jià)格低廉，運(yùn)行可靠，維護(hù)使用方便等一系列優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用于輕工設(shè)備，日用機(jī)電器具等諸多方面，成為最貼近人們生活的電機(jī)品種。隨著電力電子和控制技術(shù)的不斷發(fā)展，單相異步電機(jī)的控制性能也得到了很大的提升，因此對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低其成本，提高其性能是必然的趨勢(shì)。

傳統(tǒng)電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)[1-2]采用的優(yōu)化算法是一種基于設(shè)計(jì)變量可微分性的數(shù)值方法，主要有直接搜索法和隨機(jī)搜索法兩種尋優(yōu)模式，其中經(jīng)典尋優(yōu)策略有Powell法、單純形法、懲罰函數(shù)法（SUMT）[3]、可變?nèi)莶罘ê吞荻确ǖ鹊取?0世紀(jì)90年代以來，模擬退火（SA）[4-8]、遺傳算法（GA）[9-14]、禁忌搜索（TS）[15]和模擬進(jìn)化（SE）等現(xiàn)代啟發(fā)式優(yōu)化算法得到迅速發(fā)展。其中懲罰函數(shù)法（SUMT）的懲罰因子常常難以選?。粦土P因子過大，函數(shù)會(huì)因?qū)Ψ峙涞臋?quán)重過小而忽略對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，將給計(jì)算增加困難，懲罰因子過小，懲罰項(xiàng)得不到足夠的懲罰，滿足約束條件的精度就會(huì)降低。模擬退火算法（SA）的溫度控制難以掌握，計(jì)算量很大，需要太長的計(jì)算時(shí)間，直接影響了此算法的尋優(yōu)能力。遺傳算法（GA）需要進(jìn)行大量的目標(biāo)特性的分析，如果目標(biāo)分析方法比較耗時(shí)，計(jì)算量很大，此外在遺傳操作中會(huì)產(chǎn)生大量的不可行解，對(duì)參數(shù)的控制要求也比較嚴(yán)格，且易發(fā)生早熟現(xiàn)象。

正多面體法是一種約束優(yōu)化的有效方法，收斂迅速，在搜索過程中只需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，程序簡(jiǎn)單，控制量少。算法包含平移、翻轉(zhuǎn)、收縮3個(gè)主要?jiǎng)幼?，利用搜索點(diǎn)的局部測(cè)試信息來尋找目標(biāo)函數(shù)的下降方向，并向這個(gè)方向平移，越限后翻轉(zhuǎn)或者收縮，然后重復(fù)這樣的動(dòng)作直至到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。正多面體法適合于單相異步機(jī)這樣低成本，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的電機(jī)設(shè)計(jì)，是本文研究的算法。

1 正多面體算法的基本原理

1）選擇一個(gè)可行點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)）X(0)作為初始點(diǎn)，在n維歐氏空間中生成一個(gè)以 X(0)為形心，邊長為T0的初始正多面體。此正多面體具有n+1個(gè)頂點(diǎn)。

2）在比較形心點(diǎn) X(0)和正多面體n+1個(gè)頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)數(shù)值以及約束滿足的情況下，使正多面體在n維空間執(zhí)行平移，翻轉(zhuǎn)和收縮等3種基本搜索策略，并形成一個(gè)新的正多面體。在每次變動(dòng)中必須滿足以下條件：

（1）在搜索過程中，始終保持形心在可行域D內(nèi)。

（2）在搜索過程中，正多面體不發(fā)生畸變，始終保持為正多面體的形狀，只是位置或大小有所變化。

（3）每次搜索變動(dòng)后，正多面體形心的目標(biāo)函數(shù)值必須小于變動(dòng)前的形心函數(shù)值。

反復(fù)運(yùn)用上述3種基本搜索策略，使新的正多面體的形心 X(0)逐漸逼近最優(yōu)點(diǎn)X*。

3）以2維的正三角形為例加以說明。

（1）平移：每在一個(gè)新的正多面體形成后，經(jīng)過形心函數(shù)值和各頂點(diǎn)函數(shù)值比較后，如果有一個(gè)函數(shù)值最小的可行頂點(diǎn) X(L)，其函數(shù)值 FL比形心X(0)的函數(shù)值F0還要小時(shí)，正多面體就沿 X(0)X(L)連線方向平移搜索（如圖1所示）。

圖1 平移策略

平移步長H就是形心 X(0)與那個(gè)好頂點(diǎn) X(L)的距離，即

平移點(diǎn)為

函數(shù)值為 F ( Z )= F( X(Z))，一旦平移成功，則按步長H繼續(xù)平移，直至平移失敗，退回最后一個(gè)成功點(diǎn) X(Z)，且把 X(Z)作為新正多面體的形心 X(0)。

如果可行頂點(diǎn) X(L)的函數(shù)值 FL并不比形心函數(shù)值F0小時(shí)，則無法平移，而進(jìn)入翻轉(zhuǎn)移動(dòng)。若各頂點(diǎn)中無一是可行點(diǎn)，則進(jìn)入收縮。

（2）翻轉(zhuǎn)：當(dāng)正多面體所有可行頂點(diǎn)的函數(shù)值均比形心值F0大時(shí)，就準(zhǔn)備翻轉(zhuǎn)。所謂翻轉(zhuǎn)就是，除某一頂點(diǎn) X(U)外，正多面體的其他幾個(gè)定點(diǎn)不動(dòng)，將 X(U)用其他n個(gè)頂點(diǎn)所決定的超平面對(duì)稱點(diǎn)X(W)來代替，形成一個(gè)新的正多面體（如圖2所示）。

圖2 翻轉(zhuǎn)策略

翻轉(zhuǎn)后的新正多面體的形心 X(V)稱為原正多面體的旁心。顯然，一個(gè)正多面體有n+1個(gè)旁心，可以有n+1種不同的翻轉(zhuǎn)。

為實(shí)現(xiàn)最理想的翻轉(zhuǎn)，從n+1個(gè)旁心中找出函數(shù)值最小的可行旁心，記 X(V)，其函數(shù)值記為FL。如果滿足

即旁心的函數(shù)值 FL小于原正多面體形心得函數(shù)值F0，則實(shí)施這種翻轉(zhuǎn)，并令 X(0)= X(V)；否則，說明無法進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，只能實(shí)現(xiàn)收縮。

（3）收縮：當(dāng)正多面體的各頂點(diǎn)均為非可行點(diǎn)或無法進(jìn)行翻轉(zhuǎn)時(shí)，就實(shí)施收縮。將正多面體的各個(gè)頂點(diǎn)均向形心 X(0)收縮相同的距離，本文中收縮1/2，使形成的新正多面體的邊長T也相應(yīng)收縮1/2，即

如圖3所示。

2 正多面體法的具體實(shí)現(xiàn)

（1）給定維數(shù)n，初始可行形心 X(0)，初始邊長 T0和精度ε。 T0要取得適當(dāng)，如果取得過大或者過小都會(huì)增加搜索時(shí)間。

圖3 收縮策略

（2）形成初始正多面體：設(shè)形心 X(0)的坐標(biāo)為函數(shù)值為 F0= F ( X(0))則n+1個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)可用兩維數(shù)組 X Y( i, j)表示如下，行號(hào)i為頂點(diǎn)號(hào)，列號(hào)j為該頂點(diǎn)的各維坐標(biāo)分量。

其中

（3）判別正多面體的各個(gè)頂點(diǎn)是否均為外點(diǎn)。

如果所有頂點(diǎn)都為非可行點(diǎn)，則轉(zhuǎn)式（9）進(jìn)行收縮；否則轉(zhuǎn)式（4）。

（4）找出可行域中的最好頂點(diǎn) X(L)

若滿足 F L＜F0，則轉(zhuǎn)式（5）進(jìn)行平移；否則轉(zhuǎn)式（6）找旁心。

（5）平移搜索：平移的方向是 X(0)→X(L)，平移的步長為 H = X(L)- X(0)。對(duì) Z=1，2，…，n，依次考察 X(Z)= X(0)+ ( Z + 1 )H ， F ( Z )= F ( X(Z))。如果X(Z)是內(nèi)點(diǎn)，且 F ( Z)＜F0，即平移成功，繼續(xù)平移，且令 Z = Z+1， F0= F ( Z)；否則，退回最后一個(gè)成功點(diǎn)作為形心，即

平移后形成的新正多面體的各頂點(diǎn)坐標(biāo)為

且轉(zhuǎn)式（3）。（6）計(jì)算各旁心，并判別是否均為外點(diǎn)？各旁心的坐標(biāo)為

各旁心的約束函數(shù)最大值

若各旁心均為非可行點(diǎn)，則轉(zhuǎn)式（9）進(jìn)行收縮；否則找出最好的可行旁心 X(V)，其函數(shù)值記為FL。

（7）翻轉(zhuǎn)判別：如果滿足 F L＜F0，則轉(zhuǎn)式（8）實(shí)施正多面體的翻轉(zhuǎn)，否則式（9）進(jìn)行收縮。

（8）翻轉(zhuǎn)計(jì)算：設(shè)翻轉(zhuǎn)前的形心為 X(0)，頂點(diǎn)為 X(U)，翻轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為 X(W)，翻轉(zhuǎn)后的新形心為 X(V)，則

且轉(zhuǎn)式（3）

（9）收縮：當(dāng)形成的正多面體的各頂點(diǎn)均為非可行點(diǎn)或者無法進(jìn)行翻轉(zhuǎn)移動(dòng)時(shí)，便實(shí)施收縮策略。將正多面體各頂點(diǎn)向形心 X(0)移動(dòng)一半的距離，形成一個(gè)新的小正多面體。各新頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

(i = 1 ,2,… ,n + 1 , j = 1,2,… ,n )邊長也減為一半，即

（10）終止迭代判別：如果正多面體的邊長滿足

此時(shí)，則輸出最優(yōu)點(diǎn)

否則轉(zhuǎn)式（3）進(jìn)行新的迭代。

3 軟件開發(fā)和算例分析

3.1 軟件的主要功能

（1）根據(jù)電機(jī)結(jié)構(gòu)和尺寸計(jì)算其電磁特性、輸出轉(zhuǎn)矩、效率、輸出功率等力能指標(biāo)以及溫升、損耗和有效材料成本。

（2）采用基于正多面體算法，以成本作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并進(jìn)行優(yōu)化前后電機(jī)性能和成本的比較。

3.2 軟件的主題結(jié)構(gòu)

根據(jù)軟件的主要功能，可分為兩個(gè)模塊，即電機(jī)電磁特性、性能、成本等計(jì)算模塊和優(yōu)化算法模塊。模塊圖如圖4所示。

圖4 軟件模塊圖

3.3 算例分析

我們以有效材料成本為目標(biāo)函數(shù)，采用正多面體優(yōu)化算法對(duì)單相異步電機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。這里我們采用的電機(jī)仍為單相4極異步電機(jī)，額定轉(zhuǎn)速1500r/min，額定功率14W，電壓200V。具體結(jié)果如表1所示。

表1 參數(shù)對(duì)比分析

優(yōu)化后，主繞組槽滿率下降了29.02%，副繞組槽滿率下降了27.38%，成本降低了6.73%。

4 結(jié)論

（1）正多面體算法程序簡(jiǎn)單，控制量少，在搜索過程中只需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，避免了因進(jìn)行大量的目標(biāo)特性分析、方法比較而造成的速度慢，計(jì)算量大，運(yùn)算時(shí)間長等弊端。

（2）正多面體算法具有收斂迅速的優(yōu)點(diǎn)，操作過程中不會(huì)產(chǎn)生大量的不可行解。

（3）正多面體算法適用于低成本，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的電機(jī)設(shè)計(jì)，可有效地降低成本，具有經(jīng)濟(jì)實(shí)用性。

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