基于互模糊函數(shù)的快速時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)

王奉帥，劉聰鋒，張 亞，甘 昶

(1.西安電子科技大學(xué)，電子對(duì)抗研究所，西安 710071;2.解放軍73677部隊(duì)，南京 210016)

0 引言

互模糊函數(shù)計(jì)算被認(rèn)為是對(duì)時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)的基礎(chǔ)，在相當(dāng)多的應(yīng)用中，要求的準(zhǔn)確性需要對(duì)很長(zhǎng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行積分，這就對(duì)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)處理造成了困難[1]?；ツ：瘮?shù)在很多領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用，如雷達(dá)、聲納、醫(yī)學(xué)成像及語音分析等方面。為了計(jì)算模糊函數(shù)，經(jīng)常用到有限模糊函數(shù)，將利用互模糊函數(shù)來估計(jì)時(shí)差頻差。

在大多數(shù)情況下，由于目標(biāo)與接收器之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，接收器之間接收到的信號(hào)既存在TDOA(到達(dá)時(shí)間差)，也存在由相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的FDOA(到達(dá)頻率差)，因此不能單純的計(jì)算其中任何一個(gè)參數(shù)。互模糊函數(shù)是計(jì)算信號(hào)TDOA和FDOA的基本測(cè)量算法，很多算法已經(jīng)用來計(jì)算窄帶信號(hào)的互模糊函數(shù)，這些算法在結(jié)構(gòu)上有很多共同點(diǎn)(如抽取、濾波等)。這些算法的一個(gè)應(yīng)用就是對(duì)輻射源定位，定位算法根據(jù)信號(hào)的TDOA和/或FDOA計(jì)算出目標(biāo)的位置。在輻射源定位中，目的是盡可能快的計(jì)算互模糊函數(shù)，并利用計(jì)算出來的結(jié)果來確定目標(biāo)的位置[2]。

由于采樣點(diǎn)數(shù)很多，互模糊函數(shù)又可以看成是時(shí)差和頻差的兩維相關(guān)，因此計(jì)算量巨大，為此如何降低其運(yùn)算量成為一個(gè)研究熱點(diǎn)[3～5]。仔細(xì)觀察互模糊函數(shù)的計(jì)算公式，可以看出，針對(duì)每一個(gè)延遲單元，計(jì)算參考信號(hào)與延遲信號(hào)內(nèi)積的快速傅里葉變換，保存變換后的最大幅度值以及對(duì)應(yīng)的頻率，然后在這些最大之中進(jìn)行一維搜索，搜索到的最大值所對(duì)應(yīng)的延遲值就是接收信號(hào)之間的TDOA，對(duì)應(yīng)的頻率就是接收信號(hào)之間的FDOA，但是，采樣頻率一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于多普勒頻差，所以計(jì)算的很多頻率點(diǎn)不在期望的頻率范圍內(nèi)，因此需要更好的算法來計(jì)算互模糊函數(shù)。從這幾種算法中可以看出，計(jì)算互模糊函數(shù)需要的先驗(yàn)知識(shí)為信號(hào)的最大延遲時(shí)間以及最小延遲時(shí)間。

1 互模糊函數(shù)時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)原理

輻射源發(fā)射的信號(hào)用s(t)表示，用飛機(jī)表示的接收器接收信號(hào)，每一個(gè)接收器與輻射源有一段特定的距離，因?yàn)檩椛湓吹臏?zhǔn)確位置未知，所以各接收器到輻射源的距離也是未知的。輻射源在某時(shí)刻t發(fā)射信號(hào)，因?yàn)榻邮掌鞯捷椛湓粗g存在一定距離，發(fā)射的信號(hào)經(jīng)過一段時(shí)間到達(dá)接收器，接收到的信號(hào)是發(fā)射信號(hào)的延時(shí)形式。假設(shè)輻射源是固定的，接收器運(yùn)動(dòng)是的，根據(jù)多普勒效應(yīng)，接收到的信號(hào)跟源信號(hào)相差一個(gè)多普勒頻移，多平臺(tái)輻射源定位，如圖1所示。在圖1中，兩個(gè)接收信號(hào)從左到右，包括時(shí)間延遲和多普勒頻移為 s(t－t1)ejω1t，s(tt2)ejω2t，其中 t1，t2表示時(shí)間延遲，ω1，ω2表示接收信號(hào)相對(duì)源信號(hào)的多普勒頻移[2]。因?yàn)樾盘?hào)的發(fā)射時(shí)間及載頻是未知的，無法求出到達(dá)接收機(jī)處的t1，t2，ω1，ω2，但是應(yīng)用互模糊函數(shù)可以將兩接收器接收到信號(hào)之間的時(shí)差頻差估計(jì)出來。二維向量互相關(guān)示意圖，如圖2所示。

如圖2所示的二維矢量，假設(shè)要求出θd，其中一種方法是固定V1，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)V2一個(gè)角度增量θ，對(duì)于每一個(gè)θ值，計(jì)算兩向量的內(nèi)積如下

這就變成了一個(gè)θ的函數(shù)。當(dāng)θ的值等于θd時(shí)，A(θ)達(dá)到最大值。

令

式(3)為τ和ω的函數(shù)。將上面的方法應(yīng)用到接收到的兩信號(hào)中可以得到

將式(3)帶入式(4)并取共軛可以得到

由式(5)可以看出，當(dāng)τ=τd且ω=ωd時(shí)，兩信號(hào)的內(nèi)積達(dá)到最大值。

2 互模糊函數(shù)快速計(jì)算

根據(jù)實(shí)際情況，兩個(gè)接收機(jī)1、2接收到的信號(hào)可以建模為

式中，s(t)為待定位輻射源發(fā)射的信號(hào);α1，α2為衰減因子;td，fd分別為接收器2相對(duì)接收器1的時(shí)間延遲以及多普勒頻率差;n1(t)，n2(t)為互不相關(guān)的高斯白噪聲[6]。

令

根據(jù)式(5)可以得到接收信號(hào)的互模糊函數(shù)為

式中，T為積分上限;理論上τ的最大值等于兩接收器之間的直線距離R除以光速c。而且從式(8)可以看出，求兩信號(hào)的互模糊函數(shù)實(shí)際上是對(duì)x(t)和y*(t+τ)之積做傅里葉變換。

可以得到式(8)的離散形式為

如果接收信號(hào)的采樣頻率為fs，則離散時(shí)間點(diǎn)為 t=nTs=n/fs，n=0，1，2，3…，N －1，若總的采樣時(shí)間長(zhǎng)度為T，則采樣點(diǎn)數(shù)為N=Tfs，時(shí)間延遲為τ =k/fs，頻率延遲為 f= νfs。

2.1 互模糊函數(shù)的離散傅里葉計(jì)算形式

上面介紹了信號(hào)模型，以及計(jì)算時(shí)差頻差的互模糊函數(shù)，如果令

可以看出，式(11)其實(shí)就是計(jì)算兩信號(hào)內(nèi)積的離散傅里葉變換。對(duì)每一次時(shí)延做一次離散傅里葉變換，搜索出最大值所對(duì)應(yīng)的頻率值，然后對(duì)Rfs/c個(gè)頻率值中找出一個(gè)最大值，所對(duì)應(yīng)的序號(hào)為信號(hào)的時(shí)延值。R為兩個(gè)接收器之間的直線距離。

2.2 互模糊函數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算形式

當(dāng)計(jì)算式(11)時(shí)，離散傅里葉變換的頻域范圍為(－fs/2，fs/2)，但是，實(shí)際中信號(hào)的多普勒頻移ν＜＜fs，所以根據(jù)式(11)計(jì)算的大部分頻率點(diǎn)不在期望的頻率范圍內(nèi)。因此，需要一種更有效的方法來計(jì)算式(11)。首先簡(jiǎn)化式(11)，令n=mL+p，m=0…M－1，p=0…L－1，為了保證產(chǎn)生 M個(gè)模塊，x(n)的長(zhǎng)度必須能被L整除，如果不能整除可以補(bǔ)零。這樣式(11)就可以寫為

從式(18)可以看出，計(jì)算量比式(11)減小了L倍。

3 仿真結(jié)果分析

仿真用到的信號(hào)形式及參數(shù)，見表1。

表1 信號(hào)形式及參數(shù)

在不同的采樣點(diǎn)數(shù)下，分別利用兩種方法對(duì)表一中的信號(hào)進(jìn)行時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)，可以得到頻差估計(jì)誤差曲線，如圖3所示，時(shí)差估計(jì)誤差曲線，如圖4所示，對(duì)應(yīng)的計(jì)算時(shí)間，如圖5所示。

由圖3可以看出，在采樣點(diǎn)數(shù)相等的情況下，傳統(tǒng)時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)的到達(dá)頻差估計(jì)精度要高于簡(jiǎn)化后的算法，而且隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，兩種算法的精度都在提高，精度差距越來越小。

由圖4可以看出，在采樣點(diǎn)數(shù)相等的情況下，傳統(tǒng)時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)與簡(jiǎn)化后的算法都能夠精確的估計(jì)出到達(dá)信號(hào)的時(shí)差。

圖5 各信號(hào)時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)的計(jì)算時(shí)間

由圖5可以看出，在采樣點(diǎn)數(shù)相等的情況下，傳統(tǒng)時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)的頻差估計(jì)消耗的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于簡(jiǎn)化后的算法，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，兩種算法的計(jì)算時(shí)間雖然都有增加，但是簡(jiǎn)化后的算法計(jì)算效率明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)算法。

所以，如果提高簡(jiǎn)化算法的計(jì)算精度，可以增加采樣點(diǎn)數(shù)，綜合考慮精度與計(jì)算時(shí)間，簡(jiǎn)化后的算法優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

4 結(jié)語

傳統(tǒng)的利用互模糊函數(shù)進(jìn)行時(shí)差頻差聯(lián)合估計(jì)，需要在一定的時(shí)差和頻差范圍內(nèi)搜索最大值，在時(shí)差和頻差范圍已知的情況下，縮小搜索范圍可以減少計(jì)算量，但是當(dāng)它們未知時(shí)就需要搜索很大范圍，這樣不能保證實(shí)時(shí)估計(jì)參量。利用離散傅里葉變換，在滿足采樣定律的前提下，采樣頻率大于兩倍的多普勒頻率，就能夠計(jì)算出多普勒頻率，雖然計(jì)算量也比較大，但是與二維搜索相比，已經(jīng)減少了不少計(jì)算時(shí)間。而將兩接收信號(hào)的內(nèi)積分塊，再對(duì)分塊后的內(nèi)積做快速離散傅里葉變換能進(jìn)一步降低計(jì)算量。

[1]STEIN S.Algorithms for Ambiguity Function Processing[J].IEEE Transactions on Acoustics，Speech and Signal Processing，1981，29(3):588-599.

[2]CHRISTOPHER L YATRAKIS.Computing the Cross Am-biguity Function-A Review[Z].2005.

[3]OZDEMIR A K，ARIKAN O.Fast Computation of the Biguity Function and the Wigner Distribution on Arbitrary Line Segments[J].IEEE Trans on Signal Processing，2001，49(2):381-393.

[4]TAO R，ZHANG W O，CHEN E Q.Two-stage Method for Joint Time Delay and Doppler Shm Estimation[J].1ETRadar，Sonar＆Navigation，2008，2(1):71-77.

[5]朱偉強(qiáng)，黃培康，張朝.利用互模糊函數(shù)聯(lián)合估計(jì)的雙星高精度定位技術(shù)[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006，28(9):1294-1298.

[6]朱偉強(qiáng)，黃培康，張朝.基于互模糊函數(shù)的時(shí)差頻差估計(jì)算法及實(shí)現(xiàn)途徑[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，33(4):511-515.