關(guān)于連續(xù)性和離散性概念*

李宏德

(河南機(jī)電高等專(zhuān)科學(xué)校，河南 新鄉(xiāng) 453000)

連續(xù)性和離散性是自然科學(xué)發(fā)展史上兩個(gè)重要概念，其中離散性似乎更具色彩，無(wú)時(shí)不閃現(xiàn)自己的身形，即使在那些特別鐘愛(ài)連續(xù)性的情況下也往往會(huì)把離散性概念重重地提上幾筆。當(dāng)然這并不排斥連續(xù)性的重要。也正是這種各概念在不同時(shí)期、不同領(lǐng)域的不平衡性發(fā)展及在各種不同現(xiàn)象下的主次矛盾才使得物理學(xué)的各個(gè)分支都顯得豐富多彩，而且在研究方法上更是各得所需。以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確、實(shí)用為原則，我們有時(shí)可能感覺(jué)到連續(xù)性和離散性這兩個(gè)概念是矛盾的、對(duì)立的，可我們又不得不認(rèn)為它們間在細(xì)微之處得到很好的統(tǒng)一(矛盾也常常是在這里顯露)。但對(duì)這兩個(gè)概念關(guān)系的討論很大程度上是借助于數(shù)學(xué)工具。當(dāng)然這里并不是說(shuō)這兩個(gè)概念已經(jīng)發(fā)展得很完善了，相反，其不足之處也是顯而易見(jiàn)的，就目前而言，連續(xù)性和離散性概念還沒(méi)有給出嚴(yán)格的定義，它們是否能精確描述?現(xiàn)在的數(shù)學(xué)上和實(shí)驗(yàn)上的描述方法是否有問(wèn)題?

現(xiàn)在我們來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下這兩個(gè)概念的發(fā)展過(guò)程，物理實(shí)體(包括場(chǎng))都是由微觀粒子組成的論斷已為眾多物理學(xué)家所接受，物體具有微觀結(jié)構(gòu)，基本粒子不基本，場(chǎng)也是具有微觀性質(zhì)的，盡管引力場(chǎng)尚待研究。但目前光作為電磁場(chǎng)的一部分知其是由光量子組成，而且光子和場(chǎng)相互作用，這是上述結(jié)論的一個(gè)證明。因此我們就不得不承認(rèn)物理實(shí)體在宏觀上的連續(xù)性和微觀上的離散性。

經(jīng)典力學(xué)整體而言是研究離散質(zhì)量的問(wèn)題，當(dāng)經(jīng)典力學(xué)具體應(yīng)用到工程中去，要了解整個(gè)物體的全面角色時(shí)，產(chǎn)生了連續(xù)性要求。在數(shù)學(xué)上由于變數(shù)的產(chǎn)生也有了連續(xù)性要求，至于說(shuō)是物理應(yīng)用于工程而推動(dòng)了數(shù)學(xué)，還是數(shù)學(xué)帶動(dòng)了物理或是兩者平行發(fā)展這些問(wèn)題的討論更具有哲學(xué)色彩。但值得注意是，就工程物理來(lái)說(shuō)連續(xù)性概念的產(chǎn)生恰恰是由于深入研究離散性問(wèn)題的結(jié)果，即當(dāng)我們要研究物體整體屬性時(shí)就有必要把物體化為各個(gè)單元，先研究單元特征然后綜合成總體特征(相似于有限元方法。以有限元法為代表的一系列離散化數(shù)值方法的提出在力學(xué)學(xué)科領(lǐng)域里引起了變革［1］)，這樣就從離散性的基礎(chǔ)上導(dǎo)出連續(xù)性來(lái)。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)或許是重要的，現(xiàn)代物理學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法也正是這一思想的發(fā)展。牛頓－萊布尼茨從變數(shù)引出微積分，使統(tǒng)計(jì)算法有了強(qiáng)有力的工具，波爾茲曼進(jìn)而提出了統(tǒng)計(jì)計(jì)算思想。統(tǒng)計(jì)方法在研究氣體分子運(yùn)動(dòng)中已經(jīng)得到很好的應(yīng)用，使我們通過(guò)對(duì)微觀現(xiàn)象的研究更清楚地理解宏觀問(wèn)題。

連續(xù)性和離散性概念是等價(jià)的還是有一個(gè)作為最基本的呢?是否可以注意這樣一個(gè)現(xiàn)象，要想清楚地理解宏觀現(xiàn)象我們就有必要去詳盡地研究其微觀現(xiàn)象，而且微觀現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)結(jié)果常常會(huì)引發(fā)宏觀理論的更高突破，也更精確。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的比較似乎可以說(shuō)明些什么。

在數(shù)學(xué)工具上，微積分的創(chuàng)立使得統(tǒng)計(jì)計(jì)算成為可能，使微觀研究成果更容易延伸到宏觀領(lǐng)域，而相反的過(guò)程卻難以實(shí)現(xiàn)。

微觀現(xiàn)象的研究會(huì)使問(wèn)題走向深入，更接近真實(shí)。連續(xù)性概念可以看做離散性概念下統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果。

流體連續(xù)介質(zhì)模型是建立在統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上的，引入一個(gè)具有特殊地位的物理量——流體質(zhì)點(diǎn)，可以把它看做一個(gè)離散的點(diǎn)，但它本身仍然保持著連續(xù)性，這樣一個(gè)雙重身份的量，在概念的過(guò)渡和理解上都是必要的。

所以說(shuō)它仍保持有連續(xù)性，是因?yàn)樗幸粋€(gè)特殊的特征——體積△V'?？醋鍪菐缀纬叽绾苄?，但又包含足夠多的分子的體積。在此體積內(nèi)，流體的宏觀特征就是其中分子的統(tǒng)計(jì)平均特征，而且把流體質(zhì)點(diǎn)定義為微元體積△V'中所有分子的總體。

需要注意的是流體質(zhì)點(diǎn)的離散性?！鱒'中流體平均密度定義為

這是把△V'這個(gè)不可逾越的體積下限看做一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)，即強(qiáng)調(diào)了它的粒子性，并把流體定義為連續(xù)分布的流體質(zhì)點(diǎn)所組成?？梢钥闯隽黧w連續(xù)介質(zhì)模型是建立在離散性統(tǒng)計(jì)平均基礎(chǔ)上的，同時(shí)也應(yīng)該注意到它的相對(duì)性。

［1］龍馭球.有限元法概論［M］.北京:人民教育出版社，1981.

［2］W·海森堡.物理學(xué)與哲學(xué)［M］.范岱年譯.北京:科學(xué)出版社，1974.

［3］［德］康德.宇宙發(fā)展史概論［M］.上海外國(guó)自然科學(xué)哲學(xué)著作編譯組譯.上海:上海人民出版社，1973.

［4］楊建鄴，止戈.杰出物理學(xué)家的失誤［M］.武昌:華中師范大學(xué)出版社，1986.

［5］王福山主編.近代物理學(xué)史研究［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，1983.