無刷直流電機的指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制

李運德， 張 淼

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣東廣州 510006)

0 引言

無刷直流電機(Brushless DC Motor，BLDCM)由于結(jié)構(gòu)簡單、出力大、調(diào)速性能良好等優(yōu)點，在工業(yè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。但是BLDCM的齒槽轉(zhuǎn)矩和非理想的方波輸入等多方面原因，使得該電機的轉(zhuǎn)矩波動比較明顯，這就很大地限制了其在較高精度的伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用。

隨著對控制精度、速度以及對環(huán)境變化的適應(yīng)能力的要求越來越高，經(jīng)典PID逐漸暴露其缺點。采用傳統(tǒng)的PID方法控制BLDCM難以達到高性能的要求，并且在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中整個系統(tǒng)往往具有非線性、時變不確定性，對于本來就在這方面存在缺陷的PID更難以取得理想的效果。

為了提高系統(tǒng)的魯棒性，本文提出采用趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)的方法，設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器來控制BLDCM，并采用MATLAB軟件進行仿真驗證。結(jié)果表明，控制系統(tǒng)具有超調(diào)量小、響應(yīng)速度快、抗負載擾動能力強等良好的控制性能［2，8－9］。

1 BLDCM的數(shù)學(xué)模型

BLDCM一般由電機本體、邏輯驅(qū)動電路和位置傳感器三部分組成。以三相星型連接BLDCM為例，電機的轉(zhuǎn)矩方程為

式中:Te——電磁轉(zhuǎn)矩;

ea、eb、ec——定子繞組的反電動勢;

ia、ib、ic——定子繞組的相電流;

ω——轉(zhuǎn)子角速度。

當BLDCM運行在120°導(dǎo)通的工作方式下，且不考慮換相暫過程，三相Y接定子繞組中只有兩相導(dǎo)通，其電流大小相等且方向相反。這樣式(1)可簡化為

式中:KT——電機轉(zhuǎn)矩系數(shù);

i——穩(wěn)態(tài)時繞組相電流。

忽略粘滯摩擦系數(shù)的影響，電機運動方程為

式中:TL——負載轉(zhuǎn)矩;

J——轉(zhuǎn)動慣量［3］。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的設(shè)計和實現(xiàn)都相對簡單，而且比較適合功率電子器件的“開關(guān)”工作模式。由于滑模模態(tài)可以進行設(shè)計且與系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動無關(guān)，使得滑模變結(jié)構(gòu)控制具有快速響應(yīng)、對參數(shù)變化及擾動不敏感等特點。因此，當系統(tǒng)進入滑動模態(tài)以后，對系統(tǒng)的干擾和攝動具有很好的自適應(yīng)性，基本不受系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾的影響，其高速切換特性對于電機負載的變化和繞組換相引起的電流波動也均具有較好的抑制功能。如圖1(a)所示，為滑模變結(jié)構(gòu)控制的相軌跡圖［1，4］，圖 1(b)為仿真得到的相軌跡圖。

圖1 滑模變結(jié)構(gòu)控制相軌跡圖

當系統(tǒng)狀態(tài)向量穿越開關(guān)面時，反饋控制的結(jié)構(gòu)就發(fā)生變化，并一直在滑模區(qū)域內(nèi)運動而不受系統(tǒng)參數(shù)、擾動等因素的影響，從而使系統(tǒng)達到所期望的指標。

2.1 指數(shù)趨近律

一般，滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動模態(tài)下會產(chǎn)生高頻抖振，為了減弱抖振可以采用趨近率的方法。

指數(shù)趨近律表示為

其中:k＞0，δ＞0，s為滑模切換函數(shù)，sign是符號函數(shù)。

在指數(shù)趨近律中，趨近速度從較大的值逐步減小到零，這樣，不僅縮短了趨近時間，還使運動點到切換面時的速度很小。通過調(diào)整指數(shù)趨近律的參數(shù)k和δ，既可以改善滑動模態(tài)到達過程的動態(tài)品質(zhì)，又可以減弱控制信號的高頻抖振。

2.2 滑動模態(tài)的到達條件和穩(wěn)定性

系統(tǒng)的初始點可在狀態(tài)空間的任意位置，但在系統(tǒng)運行后，為了使系統(tǒng)正常起動滑模運動，則要求運動點在有限的時間內(nèi)到達切換面s=0，即系統(tǒng)的運動必須趨于切換面。到達條件［5］為

根據(jù)式(4)，得

2.3 控制器設(shè)計

令狀態(tài)量為

式中:x1——速度誤差;

x2——速度滑模變結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)器輸入;

ωr——給定轉(zhuǎn)速;

ω——電機的實際轉(zhuǎn)速。

把式(2)、式(3)代入式(9)，得系統(tǒng)在狀態(tài)空間的數(shù)學(xué)模型為

選取滑模切換函數(shù)為

式中，c為常數(shù)，且 c＞0。由式(4)、式(11)，得

再由式(10)、式(12)，得

對式(13)進行微分計算，可得滑模變結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)器輸出，即電流給定u=ir為

在滑動模態(tài):

到達切換面s=0，得通解為

其中，a為常數(shù)。由式(16)得:

可知，t趨于無窮時，ae－ct沿指數(shù)曲線趨于零，使得實際速度趨近于給定速度，可認為ω=ωr，因此能實現(xiàn)轉(zhuǎn)速無超調(diào)的跟蹤而使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。

為更好地解決滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}，采用準滑動模態(tài)控制原理，即使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點均被吸引到切換面的某一鄰域內(nèi)，或稱為切換面的邊界層。因此，用飽和函數(shù)sat(s)代替滑動模態(tài)中的符號函數(shù)sgn(s)，sat(s)的表達式為

式(18)中，Δ為邊界層。當運動點在邊界層外，切換控制起作用;運動點在邊界層內(nèi)，則線性化反饋控制起作用。在邊界層內(nèi)時，準滑動模態(tài)不要求滿足滑動模態(tài)的存在條件，因此不要求在切換平面上進行控制結(jié)構(gòu)的切換，可從根本上避免或削弱抖振。

3 MATLAB仿真試驗

根據(jù)上面的理論分析，為了驗證指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制器對BLDCM進行控制的可行性，本文使用MATLAB/Simulink軟件對系統(tǒng)進行仿真，對BLDCM參數(shù)設(shè)定如下:定子電阻 R=2.875 Ω，定子電感 L=8.5 mH，轉(zhuǎn)子磁通 φf=0.175 Wb，轉(zhuǎn)動慣量 J=0.000 8 kg·m2，反電動勢平頂波為120°。圖2所示為BLDCM的控制系統(tǒng)框圖。

設(shè)仿真時間為0.1 s，給定速度為300 r/min，初始負載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，在0.05 s時突然增加速度，使其變?yōu)?00 r/min，通過仿真分析控制系統(tǒng)的性能指標(包括上升時間tr、超調(diào)量σ和調(diào)節(jié)時間ts)和抗擾性能指標(包括轉(zhuǎn)速降落ΔCmax和恢復(fù)時間tv)以及各因素的影響［7］。圖3所示為兩種速度下速度和轉(zhuǎn)矩的仿真波形。

圖2 BLDCM控制系統(tǒng)框圖

圖3 300 r/min和500 r/min的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形

對圖3中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形進行分析，在轉(zhuǎn)速為300 r/min時，速度能在極短的時間內(nèi)就能跟蹤上給定速度;當在0.05 s時突然加速到500 r/min，速度仍能快速到達期望速度;兩種速度下均能實現(xiàn)無超調(diào);轉(zhuǎn)矩也非常穩(wěn)定，并未出現(xiàn)明顯的轉(zhuǎn)矩脈動。圖3對應(yīng)的性能指標如表1所示。

表1 性能指標

由于圖3中沒有加負載，因此，再對控制系統(tǒng)在突加負載的情況下進行仿真。仿真時間仍為0.1 s，給定速度為 500 r/min，在 0.05 s時突然增加1 N·m的負載，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 500 r/min的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形

對圖4中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形進行分析，轉(zhuǎn)速亦能快速達到給定值，雖然在0.05 s時突加負載，系統(tǒng)也只稍微發(fā)生一點變化，又能立即回到原給定值，實現(xiàn)無超調(diào)調(diào)速，受負載干擾后的轉(zhuǎn)速降落也可認為是零，同時穩(wěn)定后的轉(zhuǎn)矩也沒有特別的轉(zhuǎn)矩脈動。圖4對應(yīng)的性能指標如表2所示。

表2 性能指標

由以上兩種情況對所設(shè)計的指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制器進行分析可知，該控制器能實現(xiàn)快速跟蹤的功能，較明顯的效果就是沒有出現(xiàn)超調(diào)，極大地抑制了外界干擾的影響，符合設(shè)計要求。

4 結(jié)語

本文通過分析BLDCM控制系統(tǒng)，并對速度控制環(huán)節(jié)進行指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制策略設(shè)計，所設(shè)計方法簡單，易于實現(xiàn)?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制由于其自身的設(shè)計方法，使它具有克服系統(tǒng)外界干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動的良好特性;當系統(tǒng)處于滑動模態(tài)時，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移不受原有參數(shù)變化和外部擾動影響，具有完全自適應(yīng)性和魯棒性。仿真結(jié)果證明，指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、誤差小、無超調(diào)、抗干擾能力強和實時性能好等優(yōu)點，極大地提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

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