向量似變分不等式的間隙函數(shù)的可微性和靈敏性

張 悅，劉學(xué)文，譚仁新

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

設(shè)S是Rm中的閉凸點(diǎn)錐，且intS≠?，K是Rn中任意給定的非空緊子集，L Rn，R( )m是表示從Rn到Rm的所有線性連續(xù)算子的集合，映射F:Rn→L( Rn，Rm)，單值映射η:K×K→Rn。向量似變分不等式問(wèn)題(VVLI)就是求 x∈K，使得對(duì)任意的 y∈K，有〈F(x)，η(x，y)〉? －S{0Rm}。弱向量似變分不等式問(wèn)題(WVVLI)就是:求 x∈K，使得對(duì)任意的 y∈K，有〈F(x)，η(x，y)〉? －intS。

本文令η(x，y)=t(x)－t(y)，其中t:K→Rn單值映射，則(VVLI)問(wèn)題變?yōu)?求x∈K，使得對(duì)任意的y∈K，有〈F(x)，t(x)－t(y)〉? －S{0Rm}，即(VVLI)*;求x∈K，使得對(duì)任意的y∈K，有〈F(x)，t(x)－t(y)〉? －intS，即(WVVLI)*問(wèn)題。

當(dāng)t是恒等映射，即對(duì)任意的x∈K，有t(x)=x，則(VVLI)*和(WVVLI)*就退化為一般的向量變分不等式和弱向量變分步等式，因此它們分別是向量變分不等式和弱向量變分不等式中更廣的形式。

1 基本知識(shí)

假設(shè)L Rn，R( )m是從Rn到Rm的所有線性連續(xù)算子的集合。對(duì)任意A∈L Rn，R( )m，A的模為

Rn是有限維空間，那么L Rn，R( )m也是有限維Banach空間。

定義1［1］稱向量值函數(shù) F:K→L Rn，R( )m在 x0處 Frechet可微，如果存在一個(gè)線性連續(xù)算子Ψ:Rn→L Rn，R( )m，使得:

則稱Ψ為F在x0處的導(dǎo)數(shù)，記為▽F( x0)。如果對(duì)任意的x∈K，F(xiàn)在x處都可微，則稱F在K上Frechet可微。

定義2［2－3］設(shè) C 是 Rn中的非空子集，令，則:

定義3［4］設(shè)C是Rn中的非空子集，向量值函數(shù)Φ:Rn→Rm。

注1 如果Φ:Rn→Rn是恒等映射，即Φ(x)=x，?x∈Rn，則C在處的Φ－相依錐就是C在處的相依錐，可見(jiàn)Φ－相依錐可看成是相依錐的推廣。同理，Φ－鄰接錐可以看成是鄰接錐的推廣。

命題1［4］設(shè)C是Rn的非空子集，向量值函數(shù)Φ:Rn→Rm在∈C處連續(xù)可微，如果，則

命題2［4］設(shè)C是Rn的非空緊子集，向量值函數(shù)Φ:Rn→Rm連續(xù)。令

定義4［2］稱graphG為集值映射G:Rn→2Rm的圖，如果

定義5［2］設(shè)，集值映射定義如下:

注2 由定義5可知:對(duì)任意的，當(dāng)且僅當(dāng)存在序列 { hn}?R+{0}:hn→0，{ ( xn，yn)}?Rn×Rm:(xn，yn)→(x，y)使得對(duì)任意的

引理1［5］設(shè)序列{αn}?R+:αn→0，{βn}?R+{0}:βn→0，則分別存在{αn}、{ βn}的子列 { αni}、使得

定義6［5］設(shè)S?Rm是閉凸點(diǎn)錐，A?Rm，記MaxSA和MaxintSA分別為A的極大點(diǎn)和弱極大點(diǎn)的集合，其中

1)對(duì)任意的a∈MaxSA，當(dāng)且僅當(dāng)a∈A，且不存在a*∈A，使得a*－a∈S{0Rm} 。

2)對(duì)任意的a∈MaxintSA，當(dāng)且僅當(dāng)a∈A，且不存在a*∈A，使得 a*－a∈intS。

定義7［6］稱S的子集B是S的基，如果0Rm?B，且對(duì)任意的d∈S，d≠0Rm可唯一表示成d=?b，其中?＞0，b∈B。

引理2［7］設(shè)A是Rm中的非空緊子集，S是Rm中的閉凸點(diǎn)錐，且intS≠?，則

2 集值映射G(x)的可微性

設(shè)K是Rn中的緊子集，F(xiàn):Rn→L Rn，R( )m連續(xù)Frechet可微，t:K→Rn連續(xù)可微，設(shè)集值映射

下面將討論G(x)的可微性。

定理1設(shè)，且，則對(duì)任意的，有定義

證明假設(shè)，由定義5 知對(duì)任意的，存在序列 { hn}?R+{0}:hn→0，，{ ( xn，yn)}?Rn×Rm:(xn，yn)→(x，y)，使得對(duì)任意的 n，有

又由F連續(xù)Frechet可微，則可得F的Taylor展式為

又由式(3)可得

由式(4)可得

由式(5)得

情況1假設(shè)存在子列使得，根據(jù)假設(shè)條件知:，與式(7)矛盾。

情況2 假設(shè)存在M＞0，使得對(duì)任意的n有

因?yàn)閔n→0，而t連續(xù)，故由式(8)可知只有

由于Rn是有限維空間，故可設(shè)，有定義知z∈Tt(K，ˉx)，又根據(jù)式(6)和(9)可得

即

取序列 { xn}?Rn，{ yn}?Rm，使得 xn→x，令

則yn→y且

3 (VVLI)*與(WVVLI)*間隙函數(shù)的可微性與靈敏性

定義8 設(shè)S是Rm中的閉凸點(diǎn)錐，且intS≠?，集值映射N(xiāo):Rn→2Rm是向量似變分不等式(VVLI)*的間隙函數(shù)，如果

定義9 設(shè)S是Rm中的閉凸點(diǎn)錐，且intS≠?。集值映射W:Rn→2Rm是向量似變分不等式(WVVLI)*的間隙函數(shù)，如果

命題3 設(shè)S是Rm中的閉凸點(diǎn)錐，且intS≠?，

1)集值映射N(xiāo):Rn→2Rm，N(x):=MaxS[F(x)，t(x)－t(K)]，x∈K，則N(x)是(VVLI)*的間隙函數(shù);

2)設(shè)集值映射 W:Rn→2Rm，W(x):=MaxintS[F(x)，t(x)－t(K)]，x∈K，則 W(x)是(WVVLI)*的間隙函數(shù)。

證明

對(duì)于2)的證明與1)類似，只需將S和MaxS分別換成是intS和MaxintS即可。

定理2設(shè)，且，則對(duì)任意的，有

證明假設(shè)，顯然有如果，則根據(jù)極大元的定義，存在，使得

F連續(xù)Frechet可微，則可得F的Taylor展式

由式(12)、(13)，有

令

由式(11)、(14)有

定理3設(shè)，且

證明因?yàn)镹(x)?W(x)，故由定理2可知結(jié)論成立。

引理3 設(shè)，且，則對(duì)任意的，有

其中(G－S)(x)=G(x)－S。

證明顯然

如果d≠0Rm，則與矛盾。故d=0Rm，即dn→0Rm。對(duì) d{ }n分2種情況討論。

情況1 存在 n0，使得當(dāng) n≥n0時(shí)，dn=0Rm，則

情況2 存在 { d }的子列 { d }，不妨仍記為 { d }，滿足 d≠0，?n，則有界，否則

nninnRm無(wú)界。不妨設(shè)，于是S有一個(gè)緊基，再由文獻(xiàn)［8］中的引理3.1有

反之，由命題1［15］可知

定理4 設(shè)，如果，則對(duì)任意的，有

證明由引理3得，所以

4 (VVLI)*與(WVVLI)*的最優(yōu)性條件

定理5 假設(shè)下面條件成立:

證明因?yàn)镹(x)?G(x)，所以，又由條件3)可得{0Rm}。K是緊集，所以t(K)是緊集，對(duì)任意固定的x∈K，所以G(x)也是緊集。因此由引理2有G(x)－S=N(x)－S。

由定理4有

引理4［6］設(shè)S有一個(gè)基是一個(gè)非空閉凸錐，且，則也有一個(gè)基。

定理6假設(shè)下面的條件:

成立，則?x∈Dom(DN(^x，^y));，

證明由N(x)?W(x)和定理4，只需證明

K是緊集，對(duì)任意固定的x∈K，有t(K)是緊集，所以G(x)也是緊集。由引理2有，再由定理 3 有

推論1 假設(shè)下面的條件:

證明由定理2和定理5直接可得結(jié)論成立。

定理7設(shè)，如果是(WVVLI)*的解，則

證明設(shè)是(WVVLI)*的解，則對(duì)任意的

定理8 假設(shè)下面的條件:

證明是(WVVLI)*的解，0Rm∈MaxSG(x)，由定理7知

再由推論1知結(jié)論成立。

定理9 假設(shè)下面的條件:

2)存在閉凸錐 ?S，滿足 ?S

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