液壓驅(qū)動冗余振動臺自由度控制及內(nèi)力協(xié)調(diào)

何景峰，李保平，佟志忠，楊宏斌，韓俊偉

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，哈爾濱 150001;2.中兵光電科技股份有限公司，北京 100176)

高層建筑、橋梁、基礎(chǔ)設(shè)施等大型結(jié)構(gòu)在施工建設(shè)前，通常需要利用振動臺進行抗震性能評估的模型試驗。日本國家防震減災(zāi)中心(NIED)［1］于2005年，建成了目前世界上最大的六自由度(6－DoF)液壓驅(qū)動振動臺E－Defense，該振動臺共有24個液壓激振器，能夠?qū)?層建筑結(jié)構(gòu)進行全尺寸試驗。美國于2003年建造了世界上最大的室外振動臺LHPOST，該振動臺曾對7層建筑結(jié)構(gòu)和大型風(fēng)力發(fā)電設(shè)備進行了全尺寸抗震性能試驗［2］。

對于大型振動臺來說，普遍采用液壓激振器驅(qū)動。而為了提高振動臺的試驗量級和有效載荷，大部分振動臺采用了冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)。近年來，國內(nèi)建造了多個三向六自由度振動臺，但這些振動臺主要是從國外(如 MTS，Servotest、IST 公司)進口［3］。2005 年，哈工大電液伺服仿真及試驗系統(tǒng)研究所［4］為中國物理研究院建造了一臺六自由度液壓驅(qū)動振動臺。不過，對于具有多冗余驅(qū)動的大型振動臺來說，國內(nèi)還是個空白，而國外大型振動臺廠家對國內(nèi)存在技術(shù)封鎖。為此，需要我國自主開展研制具有多冗余的大型振動臺，以適應(yīng)抗震減災(zāi)對建筑結(jié)構(gòu)的性能試驗要求。

冗余驅(qū)動振動臺由于采用了冗余激振器，這些激振器如果控制不當，激振器之間將存在很大內(nèi)力，會嚴重影響振動臺的振動模擬效果［5］。為此，如何協(xié)調(diào)各個激振器的運動，盡可能降低或消除激振器間的內(nèi)力耦合，對于大型冗余振動臺具有至關(guān)重要的意義。韓俊偉［7］根據(jù)冗余振動臺的結(jié)構(gòu)特點，提出了采用自由度控制方式，并在中國地震局工程力學(xué)研究所的三向六自由度振動臺中得到應(yīng)用。關(guān)廣豐［8］提出采用八自由度思想來解決冗余振動臺的自由度控制問題。Zhao和Gao［9－11］分析了冗余驅(qū)動振動臺的多剛體動力學(xué)、機構(gòu)特性和機構(gòu)設(shè)計問題。Tagawa［1］針對 E-Defense振動臺給出了一種總體控制結(jié)構(gòu)。作為冗余機構(gòu)來說，Cheng［12］針對電動冗余機構(gòu)，研究了該機構(gòu)的動力學(xué)和計算力矩等控制方法。

本文根據(jù)冗余振動臺機械和液壓驅(qū)動系統(tǒng)的作用機理，首先建立冗余振動臺的整體動力學(xué)模型，并根據(jù)液壓驅(qū)動冗余振動臺的結(jié)構(gòu)特點，提出了自由度控制結(jié)構(gòu)，并采用內(nèi)力協(xié)調(diào)控制方法，對液壓驅(qū)動冗余振動臺激振器間內(nèi)力進行協(xié)調(diào)控制。

1 冗余振動臺自由度合成

本文所研究的冗余振動臺結(jié)構(gòu)如圖1所示。該冗余振動臺由運動平臺、8套垂直激振器、8套水平激振器和反力基礎(chǔ)組成。其中，水平激振器在縱向和橫向分別對稱布置4套激振器。激振器采用液壓激振方式，每套激振器由伺服閥、對稱液壓缸、LVDT位移傳感器和壓差傳感器組成。

圖1 大型液壓驅(qū)動冗余振動臺Fig.1 The redundant actuated hydraulic shaking table

為了描述振動臺的運動狀態(tài)，在振動臺的負載與運動平臺的綜合質(zhì)心處建立兩個直角坐標系，分別為慣性參考坐標系{g}:Ob-bYbZb和體坐標系{p}:Op-XpYpZp，體坐標系隨著運動平臺一起運動，而慣性坐標系始終保持不動。初始狀態(tài)下這兩個坐標系重合，如圖2所示。

圖2 冗余振動臺激振器布置與坐標系Fig.2 The layout of actuators and the coordinate system of the redundant shoking table

該冗余振動臺具有空間六自由度運動能力，分別為:X向平移、Y向平移、Z向平移，橫滾(繞X軸旋轉(zhuǎn))Φ、縱搖(繞Y軸旋轉(zhuǎn))θ、偏航(繞Z軸旋轉(zhuǎn))Ψ。為了方便描述，將水平和垂直激振器進行編號，X向作動器的依次為 x1、x2、x3、x4，Y 向作動器為 y1、y2、y3、y4，Z 向作動器為 z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8。

這樣，根據(jù)冗余振動臺的結(jié)構(gòu)布局，可以利用這16個激振器的位移來表示冗余振動臺的自由度。當冗余振動臺處于工作零位時(所有激振器處于其行程的中間位置，此時平臺水平，記此時激振器位移為0 m，激振器上、下鉸點間距為l2)，得到自由度的合成公式如下:

將式(1)～式(6)寫成矩陣形式，即:

其中:

而根據(jù)式(1)～式(6)容易寫出H的表達式，篇幅限制，這里不再列出。

2 冗余振動臺逆動力學(xué)

對于冗余振動臺而言，其負載連同運動平臺的質(zhì)量很大，而液壓缸的活塞桿和缸筒質(zhì)量相比之下要小得多，在建立冗余振動臺逆動力學(xué)方程時，將活塞桿和缸筒質(zhì)量忽略，這樣冗余振動臺就可看作一個單剛體系統(tǒng)。對于這樣的單剛體來說，其動力學(xué)非常簡單，利用牛頓－歐拉方程就可以直接得到其逆動力學(xué)方程。

由牛頓定律，平移自由度方向的力平衡可以描述為:

式中:fa為激振器出力組成的列向量;g為重力加速度向量;mP為上平臺連同負載質(zhì)量;Ln為激振器單位方向矢量組成的矩陣;t為體坐標系相對慣性坐標系原點的位移矢量，t=［X Y Z］T;··t 為體坐標系相對慣性坐標系原點的加速度矢量，

根據(jù)歐拉方程，旋轉(zhuǎn)方向運動方程為:

式中:ω為上平臺相對靜坐標系的角速度向量;R為旋轉(zhuǎn)矩陣;IP為上平臺連同負載在慣性坐標系中的慣量矩陣，

式中:Ω為由角速度向量ω各元素組成的斜對稱矩陣;

I為單位矩陣;AP為上鉸點在體坐標系中的坐標矩陣。

式(10)可以寫成冗余振動臺的一般動力學(xué)方程的形式:

式中:MP(q)為質(zhì)量陣，6 ×6;CP(q，q·)為哥氏/向心項系數(shù)矩陣，6×6;GP(q)為重力項，6×1;Jlq(q)為雅克比矩陣，16 ×6，簡記為:

至此，我們就得到了冗余振動臺的單剛體動力學(xué)方程，利用該方程可以對冗余振動臺的動力學(xué)進行分析。對于冗余振動臺而言，由于振幅很小，振動臺位姿幾乎處于工作零位附近，此時，Jlq(q)中的旋轉(zhuǎn)矩陣近似為單位陣，即R=I，而激振器方向矢量lni與相應(yīng)坐標軸平行，這樣，Ln簡化為由坐標軸單位向量組成，例如，In1=［1 0 0］T。

同時，注意到該方程是關(guān)于驅(qū)動力fa的非齊線性方程組，即:

其中:

由于未知變量fa多于方程數(shù)，該方程組是欠定方程組，具有無窮多組解。不過，它的最小范數(shù)解是唯一的，即:

另一方面，可以利用雅克比矩陣表示冗余振動臺的自由度與激振器空間的速度變換關(guān)系，即:

3 冗余振動臺整體模型

冗余振動臺運動所需的驅(qū)動力由6套液壓激振系統(tǒng)提供。6套激振器的動力學(xué)模型可以用向量形式的微分方程表示，可以寫成下面幾個方程。

(1)伺服閥流量方程

(2)激振液壓缸流量連續(xù)性方程

式中，Cr為液壓缸油液壓縮系數(shù)

(3)激振器與載荷間的力平衡方程

方程式(16)～(18)中未標符號的物理意義見文獻［13］。

上面分別得到了冗余振動臺的單剛體動力學(xué)方程和激振器液壓驅(qū)動系統(tǒng)方程?？梢愿鶕?jù)二者間相互作用關(guān)系，得到冗余振動臺的完整動力學(xué)模型。

冗余振動臺的運動主要由激振器來驅(qū)動，因此，激振器液壓系統(tǒng)對冗余振動臺剛體部分的輸入作用為驅(qū)動力向量fa。冗余振動臺剛體系統(tǒng)在該驅(qū)動力作用下，產(chǎn)生一定的位移、速度和加速度輸出，并將運動回饋給激振器的液壓系統(tǒng)。根據(jù)這樣的作用過程，將式(12)、式(16)～式(18)聯(lián)立，從而構(gòu)成完整的冗余振動臺系統(tǒng)模型，如圖3所示。有了這一整體模型，可以對冗余振動臺的特性進行分析，并在此基礎(chǔ)上進行控制方法的研究。

圖3 冗余振動臺整體模型Fig.3 The integrated dymanic model of redundant shaking table

4 基于工作空間的自由度控制

對于冗余振動臺而言，通常采用加速度控制方式，如文獻［4］所述，采用三狀態(tài)順饋將加速度信號轉(zhuǎn)換為自由度位置信號，因此，冗余振動臺的控制核心問題是如何進行有效的位置控制。

從機構(gòu)學(xué)上來講，冗余振動臺是一種冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)。根據(jù)冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)關(guān)系，可以構(gòu)造如圖4所示的面向工作空間自由度的控制結(jié)構(gòu)。

由圖4可見，冗余振動臺的參考位移輸入qd與由激振器位移輸出l合成的自由度反饋信號比較，得到的偏差信號e在自由度位置控制增益Kp和雅克比矩陣的作用后，該自由度誤差信號被分配給各套液壓激振系統(tǒng)中，作為液壓激振系統(tǒng)的驅(qū)動信號，各液壓激振器的伺服閥在該信號作用下，產(chǎn)生相應(yīng)的閥開口xv控制激振器產(chǎn)生動作，并最終推動振動臺連同負載實現(xiàn)相應(yīng)的運動。

圖4 液壓驅(qū)動冗余振動臺自由度控制框圖Fig.4 The DoF control diagram of the hydraulically redundant actuated shaking table

需要說明的是，該控制結(jié)構(gòu)不同于Cheng［11］提出的用于伺服電機驅(qū)動冗余機構(gòu)的控制結(jié)構(gòu)。對于伺服電機驅(qū)動系統(tǒng)，通常采用PD控制方式。其PD控制輸出為力矩信號，隨后該信號經(jīng)雅克比矩陣的偽逆的作用后，得到所需的伺服電機驅(qū)動力矩，并控制伺服電機達到該伺服驅(qū)動力矩要求即可。而液壓驅(qū)動系統(tǒng)本質(zhì)上是速度控制系統(tǒng)，常采用P控制而不是PD控制作為控制律，P控制輸出是自由度偏差信號，采用雅克比矩陣將該誤差變換為驅(qū)動系統(tǒng)的速度，并利用液壓激振器加以復(fù)現(xiàn)，從而實現(xiàn)冗余振動臺的自由度控制。可見，二者控制結(jié)構(gòu)還是存在一定差異的。

5 內(nèi)力協(xié)調(diào)控制

本文研究的冗余振動臺具有6個自由度輸出，而其激振系統(tǒng)卻多達16個，是一種典型的多冗余驅(qū)動機構(gòu)。我們知道，對于冗余機構(gòu)來說，如果控制不當，各個激振器很難同時協(xié)調(diào)運動，這會在冗余激振器處將產(chǎn)生很大內(nèi)力。為此，有必要對冗余驅(qū)動振動臺的內(nèi)力進行協(xié)調(diào)控制，這也被稱為力平衡控制(Force balance control)。

冗余振動臺的逆動力學(xué)問題本質(zhì)上是求解一組非齊線性方程組，該非齊次方程組的通解由齊次線性方程組:

的通解和非齊線性方程組的一個特解組成，即:

根據(jù)冗余機構(gòu)內(nèi)力定義，振動臺各個激振器內(nèi)力表示為:

其中:ΔPL為激振器上下兩腔的壓差;A為激振器有效作用面積;W為內(nèi)力矩陣，

內(nèi)力協(xié)調(diào)控制就是通過采集激振器的兩腔壓差，通過式(20)得到激振器的內(nèi)力，并將該內(nèi)力反饋給激振器位置環(huán)，形成對位置的控制補償，從而減小或消除激振器間存在的內(nèi)力，使各個激振器協(xié)調(diào)一致地驅(qū)動運動平臺及負載運動。增加內(nèi)力協(xié)調(diào)控制后的自由度控制框圖如圖5所示。

6 仿真

本文研究的冗余振動臺的運動平臺臺面為10 m×6 m長方形，各激振器上鉸距平臺邊緣均為500 mm。平臺連同負載總質(zhì)量為50 t，平臺與負載綜合質(zhì)心位于平臺幾何中心以上2 m處，對體坐標系的X、Y、Z三軸轉(zhuǎn)動慣量分別為1.5 ×105 kgm2、4.2 ×105 kgm2、5.6 ×105kgm2，激振器最大行程為±200 mm，激振器采用活塞/活塞桿直徑為150 mm/100 mm的雙出桿對稱液壓激振器，伺服閥流量為400 L/min(7 MPa閥壓降下)，油源壓力28 MPa，冗余振動臺的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 液壓驅(qū)動冗余振動臺系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of hydraulically redundant actuated shaking table system

根據(jù)前文建立的冗余振動臺的整體模型，在Matlab/Simulink中搭建了該冗余振動臺的仿真用數(shù)學(xué)模型，如圖6所示。利用該模型能夠?qū)θ哂嗾駝优_特性和控制效果進行分析。

圖6 大型液壓驅(qū)動冗余振動臺Simulink模型Fig.6 The simulink model of the hydraulically redundant actuated shaking table

由于冗余振動臺的各套激振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和動態(tài)特性很難完全一致，這會直接造成激振器間不同步，從而會在激振器處產(chǎn)生內(nèi)力耦合。

為了驗證本文提出的內(nèi)力協(xié)調(diào)控制效果，利用上述液壓驅(qū)動冗余振動臺Simulink模型進行仿真分析。圖7(a)、圖7(b)分別給出了未采用和采用內(nèi)力協(xié)調(diào)控制時，冗余振動臺做Z向運動時，各個激振器的油液壓差。圖8為采用內(nèi)力協(xié)調(diào)控制前后，各激振器的內(nèi)力情況。

圖7 內(nèi)力協(xié)調(diào)控制前后各激振器壓差比較Fig.7 The comparisons of differential pressure in hydraulic actuators with and without inner force balance control

圖8 內(nèi)力協(xié)調(diào)控制前后各激振器內(nèi)力比較Fig.8 The comparisons of inner forces in hydraulic actuators with and without inner force balance control

從圖7和圖8可見，未采用內(nèi)力協(xié)調(diào)控制時，各激振器壓差很大，最大達6 MPa，各激振器內(nèi)力達60 kN，采用內(nèi)力協(xié)調(diào)控制后，各激振器壓差最大值小于3 MPa，激振器內(nèi)力降低為10 kN，減小為原來的1/6?？梢?，采用本文提出的內(nèi)力協(xié)調(diào)控制方法，能夠有效協(xié)調(diào)各個激振器出力，使內(nèi)力明顯減小。

7 結(jié)論

本文根據(jù)該冗余振動臺的機構(gòu)特點，建立了液壓驅(qū)動冗余振動臺的完整動力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上針對液壓驅(qū)動的特點，提出了液壓驅(qū)動冗余振動臺的自由度控制和內(nèi)力協(xié)調(diào)控制方法。利用該控制方法能夠使各個激振器協(xié)調(diào)出力，并明顯減小各激振器內(nèi)力耦合，這也必將有助于冗余振動臺的總體性能的提高。

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