基于四階累積量的共形陣列波達(dá)方向估計(jì)算法

齊子森 郭 英 王布宏 王永良

(1.空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，陜西 西安 710077；2.空軍雷達(dá)學(xué)院兵器運(yùn)用工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430019)

1.引 言

共形陣列天線的諸多優(yōu)點(diǎn)[1]使其成為航空、航天和臨近空間探測(cè)成像系統(tǒng)中天線分系統(tǒng)發(fā)展的重要趨勢(shì)。共形陣列天線的空間譜估計(jì)技術(shù)是共形陣列天線信號(hào)處理理論體系的重要組成部分，對(duì)共形陣列天線高分辨波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方法的研究具有重要的意義。由于共形載體曲率的影響，共形陣列天線中各天線單元方向圖的法線指向不一致，即使天線單元極化純度很高(沒(méi)有交叉極化)，由于單元指向的差異，整個(gè)陣列將存在嚴(yán)重的交叉極化效應(yīng),這就導(dǎo)致了共形陣列天線的信源方位估計(jì)需要與信源的極化狀態(tài)聯(lián)合進(jìn)行。多極化特性(Polarization Diversity)是共形天線陣列流形的最大特點(diǎn)，在考慮共形陣列天線DOA估計(jì)問(wèn)題時(shí)，信源方位參數(shù)與信源極化參數(shù)的“耦合”使得許多適用于經(jīng)典陣列(如線陣、面陣等)的DOA估計(jì)方法均無(wú)法簡(jiǎn)單地移植應(yīng)用到共形陣列天線中。

對(duì)共形陣列天線DOA估計(jì)技術(shù)的已有研究主要集中在簡(jiǎn)化模型條件下的DOA估計(jì)算法研究[2-6]、共形天線陣列流形的極化建模[7-8]，信源極化狀態(tài)先驗(yàn)已知條件下不同陣列形式DOA估計(jì)算法的性能分析與比較[9]以及針對(duì)錐面共形載體的盲極化DOA估計(jì)方法[10]。充分考慮共形天線多極化特點(diǎn)，適用于多種共形載體的DOA估計(jì)方法還未見報(bào)道。本文針對(duì)共形陣列天線的DOA估計(jì)特點(diǎn)，在陣列接收信號(hào)為窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)非高斯獨(dú)立入射信號(hào)疊加高斯噪聲的前提下，通過(guò)合理的陣元排列方式，利用四階累積量對(duì)陣列孔徑的擴(kuò)展性，結(jié)合旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)算法[11]，提出了一種共形陣列天線盲極化DOA估計(jì)算法。該算法在入射信號(hào)極化參數(shù)未知條件下實(shí)現(xiàn)了多種幾何結(jié)構(gòu)的共形陣列天線高分辨DOA估計(jì)，具有一定的普適性。 以柱面共形陣列天線DOA估計(jì)為例，詳細(xì)推導(dǎo)了算法機(jī)理，給出了算法步驟。最后通過(guò)Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

2.共形陣列天線窄帶數(shù)據(jù)模型

準(zhǔn)確建立陣列接收數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行DOA估計(jì)的前提，導(dǎo)向矢量是陣列天線對(duì)單位強(qiáng)度入射信號(hào)空間響應(yīng)的本質(zhì)體現(xiàn)，也是獲得陣列快拍數(shù)據(jù)模型的基礎(chǔ)，共形陣列天線的數(shù)據(jù)模型與經(jīng)典陣列天線數(shù)據(jù)模型的不同完全由導(dǎo)向矢量的差異所決定。陣元個(gè)數(shù)為m的經(jīng)典陣列天線的導(dǎo)向矢量模型為

(1)

式中：Pi為第i個(gè)陣元在全局坐標(biāo)系中的位置矢量；u為窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)入射信號(hào)的方向矢量；λ為入射信號(hào)波長(zhǎng)。而在共形陣列天線中，由于共形載體曲率的影響，使得處于不同空間位置陣元的方向圖具有了不同的指向，所以共形陣列天線導(dǎo)向矢量的建模必須考慮各陣元方向圖的影響，此特點(diǎn)直接導(dǎo)致了共形天線陣列流形的多極化特性。文獻(xiàn)[7]-[9]通過(guò)完成單元方向圖的旋轉(zhuǎn)變換，給出了共形陣列天線導(dǎo)向矢量建模的統(tǒng)一方法，在此基礎(chǔ)上可獲得共形陣列天線對(duì)窄帶、遠(yuǎn)場(chǎng)入射信號(hào)的響應(yīng)模型如下

(2)

=|gi‖pl|cos(θigk)

=gi·pl

=giθkθ+giφkφ

(3)

kθ,kφ分別為入射信號(hào)極化矢量在極化基矢量uθ,uφ上的分量，uθ和uφ為正交單位矢量；gi為單元方向圖；pl為信號(hào)電場(chǎng)方向矢量；giθ，giφ分別表示第i個(gè)陣元單元方向圖在uθ,uφ上的分量；θigk表示矢量gi與矢量pl的夾角。當(dāng)信源個(gè)數(shù)為n時(shí)，共形陣列天線的快拍數(shù)據(jù)模型為[9-10]

X=AS+N=(AθKθ+AφKφ)S+N

(4)

S=[s1，s2,…，sn]T

(5)

N=[n1，n2,…，nn]T

(6)

Aθ=[aθ(θ1,φ1)，aθ(θ2,φ2)，…，aθ(θn,φn)]

(7)

Aφ=[aφ(θ1,φ1)，aφ(θ2,φ2)，…，aφ(θn,φn)]

(8)

Kθ=diag(k1θ,k2θ,…，knθ)

(9)

Kφ=diag(k1φ,k2φ,…，knφ)

(10)

式中：A為流形矩陣；S為信號(hào)矢量；N為噪聲矢量；n為信源個(gè)數(shù)；K=diag(k1,k2,…,kn)表示矩陣K為以k1,k2,…,kn為主對(duì)角線元素構(gòu)成的對(duì)角陣；θi,φi表示第i個(gè)入射信號(hào)在全局坐標(biāo)系中的俯仰角與方位角；kiθ,kiφ分別為第i個(gè)入射信號(hào)極化矢量在uθ,uφ上的分量。

綜合上述分析可知：共形陣列天線快拍數(shù)據(jù)模型中含有信源方位參數(shù)與入射信號(hào)的極化參數(shù)，這不同于以往經(jīng)典陣列天線的快拍數(shù)據(jù)模型。所以，共形陣列天線DOA估計(jì)具有其特殊性：

1) 向矢量建模需考慮單元天線方向圖的影響，使得共形天線陣列流形具有多極化特點(diǎn)；

2) 陣列接收數(shù)據(jù)由信源方位參數(shù)(俯仰角參數(shù)和方位角參數(shù))與入射信號(hào)極化參數(shù)聯(lián)合決定；

3) 進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，通常需要DOA與信源極化狀態(tài)去耦(或聯(lián)合)估計(jì)。

針對(duì)共形陣列天線DOA估計(jì)的上述特點(diǎn)，在信號(hào)矢量S服從非高斯獨(dú)立分布，噪聲矢量N服從高斯分布的前提下，本文利用四階累積量的陣列擴(kuò)展特性，結(jié)合ESPRIT算法，實(shí)現(xiàn)了共形陣列天線DOA與信源極化狀態(tài)的去耦估計(jì)。

3.四階累積量的陣列擴(kuò)展

利用ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計(jì)的前提條件是構(gòu)建完全相同的成對(duì)子陣，且子陣對(duì)之間相應(yīng)陣元的距離矢量相同，應(yīng)用ESPRIT算法進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，僅利用了子陣對(duì)間距離矢量引起的采樣相差，而對(duì)子陣導(dǎo)向矢量的具體形式不敏感。若在共形陣列天線中可以構(gòu)建出ESPRIT算法所需要的子陣對(duì)，且成對(duì)子陣間的距離矢量與天線單元方向圖無(wú)關(guān)，那么即可實(shí)現(xiàn)DOA與信源極化狀態(tài)的去耦，完成共形陣列天線的盲極化DOA估計(jì)。但是共形載體幾何結(jié)構(gòu)的任意性給構(gòu)建ESPRIT算法的子陣對(duì)帶來(lái)了巨大的難度，文獻(xiàn)[12]指出實(shí)際陣元(實(shí)際存在的陣元)接收數(shù)據(jù)的四階累積量運(yùn)算可等效于實(shí)際陣元與在某些特殊位置虛擬的陣元(實(shí)際不存在的陣元)之間以及虛擬的陣元之間接收數(shù)據(jù)的相關(guān)運(yùn)算，即通過(guò)四階累積量可獲得陣列擴(kuò)展后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，從而實(shí)現(xiàn)陣列口徑的擴(kuò)展。虛擬陣元的出現(xiàn)為在共形陣列天線中構(gòu)建ESPRIT算法的子陣對(duì)提供了方便，使共形陣列天線的盲極化DOA估計(jì)成為可能。

由于零均值高斯分布平穩(wěn)過(guò)程的四階累積量為零，所以當(dāng)陣列接收數(shù)據(jù)是服從非高斯獨(dú)立分布的入射信號(hào)疊加高斯噪聲時(shí)，四階累積量在陣列天線DOA估計(jì)中具有廣泛的應(yīng)用，其陣列擴(kuò)展性和抑制加性高斯噪聲的特性給DOA估計(jì)帶來(lái)了極大的方便。快拍數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣是由各陣元接收數(shù)據(jù)的相關(guān)運(yùn)算獲得，在不考慮噪聲協(xié)方差矩陣的前提下，快拍數(shù)據(jù)的相關(guān)運(yùn)算可以理解為陣元空間位置矢量的求和運(yùn)算，接收數(shù)據(jù)的四階累積量變換亦可以理解為陣元空間位置矢量的求和運(yùn)算，但四階累積量運(yùn)算可實(shí)現(xiàn)實(shí)際陣元與虛擬陣元間采樣數(shù)據(jù)的相關(guān)運(yùn)算，以及虛擬陣元間采樣數(shù)據(jù)的相關(guān)運(yùn)算，即可實(shí)現(xiàn)陣列口徑的擴(kuò)展[12]。所以對(duì)陣列實(shí)際陣元接收數(shù)據(jù)進(jìn)行四階累積量變換，可以得到虛擬陣元與實(shí)際陣元以及虛擬陣元之間的相關(guān)數(shù)據(jù)，從而獲得陣列擴(kuò)展后的協(xié)方差矩陣，擴(kuò)展后的導(dǎo)向矢量由實(shí)際陣元與虛擬陣元共同決定，等同于增加了陣元個(gè)數(shù)，所以四階累積量的陣列擴(kuò)展性可完全反映在導(dǎo)向矢量上[12]。其具體細(xì)節(jié)如下：

陣元個(gè)數(shù)為m，單元方向圖為gi的陣列，當(dāng)波束矢量為u時(shí)，其導(dǎo)向矢量為

a(θ,φ) =[r1exp(-jk0p1·u),…，

rmexp(-jk0pm·u)]

(11)

式中：Pi為第i個(gè)陣元在全局坐標(biāo)系中的位置矢量；k0=2π/λ.經(jīng)四階累積量陣列口徑擴(kuò)展后的陣列導(dǎo)向矢量為原導(dǎo)向矢量(如式(11)所示)與其本身共軛的Kronecker積

b(θ,φ)=a(θ,φ)?a*(θ,φ)

=[r1exp(-jk0p1·u),…，

rmexp(-jk0pm·u)]?

[r1exp(jk0p1·u),…，

rmexp(jk0pm·u)]

r1rmexp{-jk0(p1-pm)·u},

r2r1exp{-jk0(p2-p1)·u},

?

rmr1exp{-jk0(pm-p1)·u},…,

rmrm-1exp{-jk0(pm-

(12)

當(dāng)快拍數(shù)據(jù)為非高斯獨(dú)立窄帶信號(hào)疊加高斯噪聲時(shí)，四階累積量可以將噪聲抑制，所以考慮加性高斯噪聲時(shí)上述分析亦適合。對(duì)實(shí)際陣元接收數(shù)據(jù)進(jìn)行四階累積量變換可得擴(kuò)展后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣[13]

Rcum4((k1-1)2m+k3,(k2-1)2m+k4)

=B(θ,φ)C4BH(θ,φ)

(13)

B(θ,φ)=[A(θ,φ)?AH(θ,φ)]

=[a(θ1,φ1)?aH(θ1,φ1),a(θ1,φ1)?aH(θ2,φ2)，

…，a(θ1,φ1)?aH(θn,φn),

a(θ2,φ2)?aH(θ1,φ1),a(θ2,φ2)?aH(θ2,φ2),

…,a(θ2,φ2)?aH(θn,φn),

?

a(θn,φn)?aH(θ1,φ1),a(θn,φn)?aH(θ2,φ2),

…,a(θn,φn)?aH(θn,φn)]

(14)

C4((l1-1)n+l3,(l2-1)n+l4)

(15)

式中：Rcum4(i,j)表示矩陣Rcum4的第i行，第j列元素；C4(i,j)表示矩陣C4的第i行，第j列元素； ?表示Kronecker積；ki表示第ki個(gè)陣元，且ki∈(1,2,…,2m)；li表示第li個(gè)入射信號(hào)，且li∈(1,2,…,2n)； 因?yàn)槿肷湫盘?hào)為零均值的非高斯信號(hào)，所以C4中僅有n個(gè)非零元素，即l1=l2=l3=l4時(shí)獲得，且非零元素對(duì)應(yīng)與式(14)中的a(θi,φi)?aH(θi,φi)相乘。

綜上分析可知：通過(guò)在式(12)所示導(dǎo)向矢量中選擇陣元即可構(gòu)建ESPRIT算法所需要的子陣對(duì)，且子陣對(duì)間的距離矢量與單元方向圖無(wú)關(guān)，從而可實(shí)現(xiàn)共形陣列天線的盲極化DOA估計(jì)。

4.算法設(shè)計(jì)

4.1 共形載體上的陣元設(shè)置

ESPRIT算法是利用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變性進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的子空間類算法，此方法假設(shè)存在兩個(gè)完全相同的子陣，且兩子陣的距離d(即子陣對(duì)中對(duì)應(yīng)陣元的距離，一般選為λ/2)已知，以d對(duì)每個(gè)入射信號(hào)ui引起的空間采樣相差exp(-jk0d·ui)為主對(duì)角元素可構(gòu)成兩子陣流形矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣φ，通過(guò)特征值分解可從兩子陣接收數(shù)據(jù)中獲得張成同一信號(hào)子空間的矩陣US1，US2，進(jìn)而可求得US1，US2的旋轉(zhuǎn)矩陣ψ，利用φ與ψ的相似性進(jìn)行DOA估計(jì)。ESPRIT算法每估計(jì)一個(gè)參數(shù)就需要一對(duì)結(jié)構(gòu)完全相同且具有一定距離的子陣對(duì)，所以應(yīng)用ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)二維角參數(shù)的估計(jì)需要兩個(gè)子陣對(duì)，且二者具有不同的距離矢量。綜上分析可知利用ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)盲極化二維角參數(shù)估計(jì)的條件為

1) 構(gòu)建出具有不同距離矢量的兩對(duì)子陣；

2) 兩對(duì)子陣的距離矢量與天線單元方向圖無(wú)關(guān)；

3) 實(shí)現(xiàn)參數(shù)配對(duì)。

共形陣列天線中的陣元設(shè)置與共形載體的幾何形狀有關(guān)，靠實(shí)際陣元構(gòu)建兩對(duì)具有不同距離矢量的子陣對(duì)不易實(shí)現(xiàn)，然而利用四階累積量的陣列擴(kuò)展性，通過(guò)虛擬陣元可方便構(gòu)造適合ESPRIT算法的子陣對(duì)，進(jìn)而完成共形陣列天線的DOA估計(jì)。

從式(12)中選擇陣元構(gòu)成導(dǎo)向矢量如下

b1(θ,φ) =[r1r2exp{-jk0(p1-p2)·u},

r3r4exp{-jk0(p3-p4)·u},

…,r2k-1r2kexp{-jk0(p2k-1-p2k)·u}]

(16)

b2(θ,φ)=[r2r1exp{-jk0(p2-p1)·u},

r4r3exp{-jk0(p4-p3)·u},

…,r2kr2k-1exp{-jk0(p2k-p2k-1)·u}]

(17)

若：

p1-p2=p3-p4=…

=p2k-1-p2k=Δp

(18)

r1r2≠r3r4≠…≠r2kr2k-1

(19)

且

r2k-1(θi,φi)r2k(θi,φi)

≠r2k-1(θj,φj)r2k(θj,φj)

(20)

對(duì)比式(16)與式(17)可知，構(gòu)成b1(θ,φ)與b2(θ,φ)的相應(yīng)陣元的距離為2Δp，即此子陣對(duì)的距離為2Δp，與單元方向圖無(wú)關(guān)。若此距離不大于入射信號(hào)的半個(gè)波長(zhǎng)，則在此基礎(chǔ)上利用ESPRIT算法可實(shí)現(xiàn)共形陣列天線的盲極化高分辨DOA估計(jì)，式(20)用以保證協(xié)方差矩陣的秩與入射信號(hào)的個(gè)數(shù)相同。通過(guò)此方法可方便構(gòu)建子陣對(duì)，針對(duì)不同幾何形狀(以柱面、錐面與球面共形載體為例)的共形載體其陣元設(shè)置與子陣選擇方法如下：

由于共形載體的遮蔽效應(yīng)，每個(gè)陣元并不能保證接收到任意方位信源的輻射信號(hào)。為了實(shí)現(xiàn)方位角的360度覆蓋，克服共形載體的遮蔽效應(yīng)，可將共形陣列天線劃分為若干個(gè)子陣，每個(gè)子陣覆蓋一定的角度范圍，并保證每個(gè)子陣的所有陣元可接收此角度范圍內(nèi)所有方位的入射信號(hào)，這樣每個(gè)子陣就不再受載體遮蔽效應(yīng)的影響，可實(shí)現(xiàn)其所負(fù)責(zé)角度范圍的方位估計(jì)，然后通過(guò)綜合每個(gè)子陣的估計(jì)結(jié)果即可獲得全方位的角度估計(jì)。本文將共形陣列天線劃分為三個(gè)子陣，每個(gè)陣列負(fù)責(zé)120度(在此陣列的坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)方位角范圍為30°～150°)的方位角覆蓋，因?yàn)閯澐值拿總€(gè)子陣參數(shù)估計(jì)過(guò)程完全相同，只針對(duì)一個(gè)子陣展開算法討論，其他同理可得。

1) 柱面共形載體的陣元設(shè)置與子陣對(duì)構(gòu)建

柱面共形載體上的陣元設(shè)置如圖1所示：柱面共形陣列天線的全局坐標(biāo)原點(diǎn)在柱面上底面圓心位置，坐標(biāo)軸X,Y,Z如圖1(a)中所示，每個(gè)柱面橫截面圓周上放置兩個(gè)天線單元，且其間隔為ΔP1=λ/4(如圖1(b)中所示)，放置天線單元的橫截面圓周之間的距離為ΔP2=λ/4(如圖1(c)中所示)。在圖1(a)所示陣列結(jié)構(gòu)前提下，應(yīng)用四階累積量的陣列擴(kuò)展性可得擴(kuò)展后導(dǎo)向矢量(如式(12)所示)，圖1(b)中的虛擬陣元v11,v12為實(shí)際陣元1,2擴(kuò)展獲得，圖1(c)中的虛擬陣元v21,v22為實(shí)際陣元1,3擴(kuò)展獲得。以v11為第一對(duì)子陣中一子陣的第一個(gè)陣元，以v12為第一對(duì)子陣中二子陣的第一個(gè)陣元，以v21為第二對(duì)子陣中一子陣的第一個(gè)陣元，以v22為第二對(duì)子陣中二子陣的第一個(gè)陣元。通過(guò)對(duì)擴(kuò)展后導(dǎo)向矢量中元素(對(duì)應(yīng)著實(shí)際或者虛擬陣元)的適當(dāng)選擇，即可獲得兩對(duì)子陣，分別具有距離為ΔP1與ΔP2，且滿足ΔP1垂直ΔP2，此特殊關(guān)系給DOA求解帶來(lái)了極大的方便，子陣對(duì)的導(dǎo)向矢量形式如式(16)～式(20)所示。

(a) (b)

(c)圖1 柱面共形載體上的陣元設(shè)置

2) 錐面共形載體的陣元設(shè)置與子陣對(duì)構(gòu)建

陣元設(shè)置如圖2所示：錐面共形陣列天線的全局坐標(biāo)原點(diǎn)在錐面頂點(diǎn)位置，坐標(biāo)軸X,Y,Z如圖2(a)中所示，每個(gè)橫截面圓周上放置三個(gè)天線單元，且左右兩個(gè)(如1與2，3與4，…，2m與2m-1)間隔為ΔP1=λ/4(如圖2(b)中所示)；每個(gè)橫截面圓周上中間位置陣元與相鄰圓周上中間陣元間隔為ΔP2=λ/4，且各圓周上中間陣元在同一母線上(如圖2(a)、2(c)中所示)。在此陣列結(jié)構(gòu)下，同理柱面共形陣列天線子陣選擇，即可獲得錐面共形陣列天線的兩對(duì)子陣。兩對(duì)子陣的距離分別為ΔP1與ΔP2(如圖2(b)、2(c)中所示)，且滿足ΔP1垂直ΔP2.

(a) (b)

(c)圖2 錐面共形載體上的陣元設(shè)置

3) 球面共形載體的陣元設(shè)置與子陣對(duì)構(gòu)建

球面共形載體上的陣元設(shè)置如圖3所示：球面共形陣列天線的全局坐標(biāo)原點(diǎn)在球心位置，坐標(biāo)軸X，Y，Z如圖3(a)中所示，球形載體上天線單元放置分為兩部分，一部分為1～2m號(hào)陣元構(gòu)成，其每?jī)申囋g距如圖3(b)所示：1與2，3與4，…，2m-1與2m的間距為ΔP1=λ/4；另一部分為1，2，3，4，2m+1，2m+2，…，4m-5，4m-4號(hào)陣元構(gòu)成，其每?jī)申囋g距如圖3(c)所示(僅以2m+1與2m+2號(hào)兩陣元示意，其他同理)：1與3，2與4，2m+1與2m+2，…，4m-5與4m-4的間距為ΔP2=λ/4。第一部分陣元構(gòu)成第一對(duì)子陣，第二部分陣元構(gòu)成第二對(duì)子陣。兩對(duì)子陣間距分別為ΔP1與ΔP2(如圖3(b)、3(c)中所示)，且滿足ΔP1垂直ΔP2.

(a) (b)

(c)圖3 球面共形載體上的陣元設(shè)置

由上述分析可知，對(duì)常用的共形載體(柱面、錐面與球面)均可構(gòu)建兩對(duì)子陣對(duì)，且二者的距離矢量ΔP1，ΔP2不同，在此基礎(chǔ)上利用ESPRIT算法，通過(guò)參數(shù)配對(duì)，即可實(shí)現(xiàn)共形陣列天線的盲極化DOA估計(jì)。

4.2 盲極化DOA估計(jì)算法

由上述給出的陣元排列方式與子陣對(duì)構(gòu)建方法可獲得ESPRIT算法所必須的陣列結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上本節(jié)將以柱面共形陣列天線為例，詳細(xì)推導(dǎo)共形陣列天線的盲極化DOA估計(jì)方法。

圖1所示的柱面共形陣列天線接收的快拍數(shù)據(jù)由式(4)～式(10)所示，其中入射信號(hào)服從零均值獨(dú)立非高斯分布，噪聲為加性高斯噪聲，且與信號(hào)相互獨(dú)立。由式(4)表示的快拍數(shù)據(jù)結(jié)合式(13)可求得陣列擴(kuò)展后的協(xié)方差矩陣Rcum4.從擴(kuò)展后陣列中選擇陣元構(gòu)成如下子陣(以導(dǎo)向矢量的形式表示)

b11(θi,φi) =[r1r2exp{-jk0(p1-p2)·ui},

r3r4exp{-jk0(p3-p4)·ui},…,

r2m-1r2mexp{-jk0(p2m-1-p2m)·ui}]

=[r1r2exp(-jk0Δp1·ui),

r3r4exp(-jk0Δp1·ui),…,

r2m-1r2mexp(-jk0Δp1·ui)]

(21)

b12(θi,φi) =[r2r1exp{-jk0(p2-p1)·ui},

r4r3exp{-jk0(p4-p3)·ui},…,

r2mr2m-1exp{-jk0(p2m-p2m-1)·ui}]

=[r2r1exp(jk0Δp1·ui),

r4r3exp(jk0Δp1·ui),…,

r2mr2m-1exp(jk0Δp1·ui)]

(22)

b21(θi,φi) =[r1r3exp{-jk0(p1-p3)·ui},

r3r5exp{-jk0(p3-p5)·ui},…,

r2m-3r2m-1exp{-jk0(p2m-3-p2m-1)·ui}

r2r4exp{-jk0(p2-p4)·ui},

r4r6exp{-jk0(p4-p6)·ui},…,

r2m-2r2mexp{-jk0(p2m-2-p2m)·ui}]

=[r1r3exp(-jk0Δp2·ui),

r3r5exp(-jk0Δp2·ui),…,

r2m-3r2m-1exp(-jk0Δp2·ui)，

r2r4exp(-jk0Δp2·ui),

r4r6exp(-jk0Δp2·ui),…,

r2m-2r2mexp(-jk0Δp2·ui)]

(23)

b22(θi,φi) =[r3r1exp{-jk0(p3-p1)·ui},

r5r3exp{-jk0(p5-p3)·ui},…,

r2m-1r2m-3exp{-jk0(p2m-1-p2m-3)·ui},

r4r2exp(-jk0(p4-p2)·ui),

r6r4exp(-jk0(p6-p4)·ui),…,

r2mr2m-2exp(-jk0(p2m-p2m-2)·ui)}]

=[r3r1exp(jk0Δp2·ui),

r5r3exp(jk0Δp2·ui),…,

r2m-1r2m-3exp(jk0Δp2·ui)，

r4r2exp(jk0Δp2·ui),

r6r4exp(jk0Δp2·ui),…,

r2mr2m-2exp(jk0Δp2·ui)]

(24)

式中：Δp1,Δp2如圖1所示，且|Δp1|=|Δp2|=λ/4。各天線單元方向圖滿足式(19)與式(20)，式(21)～式(24)給出了兩對(duì)具有不同距離矢量2Δp1,2Δp2的子陣對(duì)

b11(θi,φi)=b12(θi,φi)exp(-jk02Δp1·ui)

(25)

b21(θi,φi)=b22(θi,φi)exp(-jk02Δp2·ui)

(26)

對(duì)應(yīng)式(4)得子陣l11接收數(shù)據(jù)如下

X11=B11S+N11

=(B11θKθ+B11φKφ)S+N11

(27)

子陣l12接收數(shù)據(jù)如下

X12=B12S+N12

=(B12θKθ+B12φKφ)φ1S+N12

(28)

φ1=diag[exp(-jw11),…,exp(-jw1n)]

(29)

w1i=(2π/λ)2Δp1·ui=4πΔp1·ui/λ

=π[sin(θΔp1)cos(φΔp1)sin(θi)cos(φi)+

sin(θΔp1)sin(φΔp1)sin(θi)sin(φi)+

cos(θΔp1)cos(θi)]

(30)

式中：B11，B12分別由式(21)、式(22)接收不同方位的入射信號(hào)構(gòu)成。同理由第二對(duì)子陣對(duì)l21,l22可得

φ2=diag[exp(-jw21),…,exp(-jw2n)]

(31)

w2i=(2π/λ)2Δp2·ui=4πΔp2·ui/λ

=π[sin(θΔp2)cos(φΔp2)sin(θi)cos(φi)+

sin(θΔp2)sin(φΔp2)sin(θi)sin(φi)+

cos(θΔp2)cos(θi)]

(32)

(33)

(34)

=span{B12}

(35)

=span{B22}

(36)

式中：B21,B22分別由式(23)、式(24)接收不同方位的入射信號(hào)構(gòu)成；span{(·)}表示由矩陣(·)的列矢量張成的空間。由于有

B12=B11φ1

(37)

B22=B21φ2

(38)

所以

(39)

(40)

對(duì)應(yīng)最小二乘ESPRIT算法有：

(41)

(42)

式中：(·)-1表示取(·)的逆矩陣。用矩陣Ψ1，Ψ2的特征值分別構(gòu)成對(duì)角陣一定等于矩陣φ1,φ2.故可通過(guò)獲得旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣Ψ1，Ψ2，結(jié)合式(30)與式(32)求解二維角參數(shù)。設(shè)矩陣Ψ1，Ψ2的第i個(gè)特征值分別為t1i，t2i則有

exp(-jw1i)=t1i

(43)

exp(-jw2i)=t2i

(44)

由圖3可知，θΔp1=90°；φΔp1=180°；θΔp2=0°；φΔp2=90°結(jié)合式(30)、式(32)、式(43)、式(44)有

θi=acos[angle(t2i)/π]

(45)

φi=acos{angle(t1i)/[-πsin(θi)]}

(46)

4) 利用式(41)與式(42)求得旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣ψ1,ψ2；

5) 通過(guò)矩陣ψ1,ψ2的特征值分析得到特征值t1i，t2i，以及特征矢量矩陣T1，T2；

6) 利用T1，T2的相關(guān)性對(duì)特征值進(jìn)行參數(shù)配對(duì)；

7) 利用式(45)與式(46)求得二維角參數(shù)，此時(shí)估計(jì)結(jié)果的單位為弧度。

借鑒上述推導(dǎo)過(guò)程，同理可得錐面與球面共形陣列天線的盲極化DOA估計(jì)方法。

5.仿真實(shí)驗(yàn)

上述各節(jié)給出了陣元設(shè)置方法，并詳細(xì)推導(dǎo)了盲極化DOA估計(jì)算法，給出了算法步驟。本節(jié)以柱面共形陣列天線為例，進(jìn)行100次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性。其中，估計(jì)方差定義為：估計(jì)值與估計(jì)均值之差的均方值。

2) 仿真結(jié)果：見圖4、圖5、圖6。

3) 結(jié)果分析：在其他條件相同時(shí)，估計(jì)效果隨著快拍數(shù)與陣元個(gè)數(shù)的增加以及信噪比的改善而逐漸變好。當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí)(L=200)估計(jì)均值較好，但方差很大(如圖4(a)所示)；當(dāng)快拍數(shù)增加到L=1000時(shí)，估計(jì)方差有明顯減小，均值也有所改進(jìn)，二者均達(dá)到了較好的估計(jì)效果(如圖5(a)所示)；當(dāng)快拍數(shù)增加到L=3000時(shí)，估計(jì)效果非常好，均值基本等于真值，估計(jì)方差很小(如圖6(a)所示)。信噪比的改善對(duì)估計(jì)效果有較明顯的影響，當(dāng)信噪比SNR=30 dB時(shí)，即使快拍數(shù)很小，也獲得了很好的估計(jì)效果(如圖5(c)所示)。陣元個(gè)數(shù)的增加對(duì)估計(jì)效果亦有很大影響，隨陣元個(gè)數(shù)的增多，估計(jì)效果都得到很好的改善(如圖4(a)、4(b)與5(a)、5(b)以及6(a)、6(b)所示)。

(a) SNR=20 dB m=8

(b) SNR=20 dB m=16

(c) SNR=30 dB m=8圖4 快怕數(shù)L=200時(shí)的估計(jì)結(jié)果

(a) SNR=20 dB m=8

(b) SNR=20 dB m=16

(c) SNR=30 dB m=8圖5 快怕數(shù)L=1000時(shí)的估計(jì)結(jié)果

(a) SNR=20 dB m=8

(b) SNR=20 dB m=16

(c) SNR=30 dB m=8圖6 快怕數(shù)L=3000時(shí)的估計(jì)結(jié)果

6. 結(jié) 論

本文針對(duì)共形陣列天線高分辨DOA估計(jì)的特點(diǎn)，通過(guò)合理的陣元排列方式，利用快怕數(shù)據(jù)的四階累積量與ESPRIT算法，將信源極化參數(shù)與二維角參數(shù)去耦合，提出了一種適合于多種幾何結(jié)構(gòu)的共形陣列天線盲極化DOA估計(jì)算法。以柱面共形陣列天線DOA估計(jì)為例，詳細(xì)推導(dǎo)了算法機(jī)理，給出了算法步驟。計(jì)算機(jī)Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)表明:所提方法可以很好地解決共形陣列天線盲極化DOA估計(jì)問(wèn)題，達(dá)到了很好的效果，從而驗(yàn)證了所提算法的有效性。但是，計(jì)算快拍數(shù)據(jù)的四階累積量是算法的運(yùn)算瓶頸，引入高速、高效的四階累積量運(yùn)算方法，進(jìn)一步減小算法復(fù)雜度將是后續(xù)工作的重點(diǎn)。

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