能量積分模型和擬合回歸模型的應(yīng)用

鄧亞昊，游厚秀，陳金梅，李 爽

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

1 問(wèn)題分析

飛輪組由若干個(gè)飛輪組成，使用時(shí)根據(jù)需要選擇幾個(gè)飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎(chǔ)慣量稱為機(jī)械慣量。一般假設(shè)試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比（比例系數(shù)取為1.5 A/N·m）;且試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)主軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬時(shí)扭矩是可觀測(cè)的離散量。工程實(shí)際中常用的計(jì)算機(jī)控制方法是:把整個(gè)制動(dòng)時(shí)間離散化為許多小的時(shí)間段，然后根據(jù)前面時(shí)間段觀測(cè)到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬時(shí)扭矩，設(shè)計(jì)出本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流的值，這個(gè)過(guò)程逐次進(jìn)行，直至完成制動(dòng)。問(wèn)題一評(píng)價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小，建立電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴于可測(cè)量的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)，初始速度為50 km/h，制動(dòng)5.0 s后車速為零，計(jì)算驅(qū)動(dòng)電流。問(wèn)題二對(duì)于與所設(shè)計(jì)的路試等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為48 kg·m2，機(jī)械慣量為35 kg·m2，主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/min，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/min，時(shí)間步長(zhǎng)為10 ms的情況。

2 模型的建立與求解

2.1 模型的假設(shè)

不考慮輪胎與地面之間的滑動(dòng);主軸的角速度與車輪的角速度一致;忽略車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量;不考慮觀測(cè)誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問(wèn)題離散化所產(chǎn)生的誤差;假設(shè)試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比;假設(shè)飛輪與轉(zhuǎn)軸之間不存在摩擦力;不考慮轉(zhuǎn)軸與飛輪之間產(chǎn)生的熱量。

2.2 問(wèn)題一模型的建立:能量積分模型

由于電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流在試驗(yàn)臺(tái)工作時(shí)主軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬時(shí)扭矩是可觀測(cè)的離散量，根據(jù)前述要求，建立電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流與可測(cè)量的數(shù)學(xué)模型。因此，從能量守恒思想出發(fā)可顯而易見(jiàn)力矩做功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，即應(yīng)用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可建立能量積分模型，模型如下:

根據(jù)角加速度是角速度對(duì)時(shí)間的微分，所以可利用微分算得角加速度的公式如下:

式（1）中，ω表示轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，由于一般假設(shè)試驗(yàn)臺(tái)采用的電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的扭矩成正比。因此列出驅(qū)動(dòng)電流與扭矩的關(guān)系:

式（2）中，k=1.5 A/N·m在能量積分模型中，最主要的思想是能量的相互轉(zhuǎn)化。根據(jù)能量轉(zhuǎn)移思想可容易看出力矩做功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，也就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理?？紤]每一瞬時(shí)的能量變化，可得出能量的瞬時(shí)積分方程。設(shè)Mi為第i段時(shí)間的瞬時(shí)扭矩，ri為第i段時(shí)間的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速，J1和J2分別表示等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和機(jī)械慣量，ωi表示第i時(shí)刻的瞬時(shí)角速度。則可列出能量積分公式，如下:

最后聯(lián)立上述3個(gè)方程，即建立了完整的能量積分模型，得到驅(qū)動(dòng)電流與瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與瞬時(shí)扭矩的關(guān)系。

2.3 問(wèn)題一的求解

主要是利用上述模型——能量積分模型來(lái)求解。求解的思路是利用模型所建立的方程，將具體問(wèn)題具體分析。列出能量積分方程，如下:

其中，R為前輪的滾動(dòng)半徑，ω1和ω2為轉(zhuǎn)軸的初始角速度和末角速度，J1和J2為等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和機(jī)械慣量。根據(jù)角加速度的公式ω2=ω1+αt，可聯(lián)立求得角加速度的值，將題目中已知數(shù)據(jù)代入式（2）求得電流產(chǎn)生的扭矩為116.38 N·m。根據(jù)驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩之間的比例關(guān)系，計(jì)算出最終所要求得的驅(qū)動(dòng)電流為174.57 A。

2.4 問(wèn)題二模型的建立:擬合回歸模型

對(duì)于問(wèn)題二的模型建立，觀測(cè)到時(shí)間、扭矩以及轉(zhuǎn)速之間存在著一定的關(guān)系，又因?yàn)檗D(zhuǎn)速與角速度也存在一定關(guān)系。因此，可以運(yùn)用Matlab擬合時(shí)間與角速度之間的關(guān)系，得到二者之間的函數(shù)關(guān)系。再由題意知，對(duì)于該方法的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)即為能量損失相對(duì)值的大小。若能量相對(duì)誤差較小，則說(shuō)明該種控制方法比較好。因此，只需求解出能量相對(duì)誤差大小即可。通過(guò)上述思想:由物理知識(shí)可得能量損失為實(shí)際能量值與理論能量值之間的差值:ΔE=E實(shí)際－E理論，建立擬合回歸模型。

（1）由Matlab擬合時(shí)間與角速度之間的擬合曲線，得到擬合曲線為圖1。圖1為最初的時(shí)間與角速度之間的擬合圖，觀察圖1可知，其前段時(shí)間的觀測(cè)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)誤差較大。

（2）作出時(shí)間與角速度之間的殘差圖，如圖2所示。通過(guò)觀察殘差圖可知，前100個(gè)數(shù)據(jù)偏離時(shí)間與角速度擬合的曲線較遠(yuǎn)，從而說(shuō)明誤差較大。因此對(duì)該擬合圖進(jìn)行了改進(jìn)，則改進(jìn)后的擬合圖為圖3。

觀察圖3便可發(fā)現(xiàn)該時(shí)間與角速度之間的擬合關(guān)系較好，因此采用圖3的擬合圖。發(fā)現(xiàn)時(shí)間與角速度成線性關(guān)系。通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可擬合出該直線。然后用Matlab編程求解出回歸直線方程，回歸方程為:

根據(jù)能量損失的公式求得能量的相對(duì)誤差大小:

（4）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。若相對(duì)誤差較大，則說(shuō)明該模型不符合。若相對(duì)誤差較小，則說(shuō)明該模型合理。從而判斷該法的好壞。通過(guò)題目給出的扭矩與電流之間的關(guān)系，建立方程。將電流作為一種控制方法，由Matlab編程可同樣擬合電流與時(shí)間之間的擬合圖，擬合圖形如圖4，根據(jù)擬合圖可發(fā)現(xiàn)擬合效果很好，因此采用該擬合圖進(jìn)行求解時(shí)間與電流之間的函數(shù)關(guān)系其方程如下:

I=t10－21t9+221t8－131 6t7+483 2t6－112 41t5+163 49t4－139 37t3+576 3t2－293t+64 （5）

由于分析題目后可發(fā)現(xiàn)控制方法的一個(gè)控制指標(biāo)就是電流，因此式（5）也就是電流與時(shí)間構(gòu)成的控制方程。

對(duì)于問(wèn)題二的求解，利用上述擬和回歸模型，可對(duì)題目給出的467個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，計(jì)算出每一個(gè)能量的損失量，再進(jìn)行分析。利用Excel統(tǒng)計(jì)計(jì)算出相對(duì)誤差，如表1所示。

表1 相對(duì)誤差表

根據(jù)表1可以明顯看出能量的相對(duì)誤差值最大也不超過(guò)2.5%，則說(shuō)明該種控制方法具有可操作性。同時(shí)也說(shuō)明該建模建立的較為合理，且數(shù)學(xué)邏輯性較強(qiáng)，精確度較高。

3 結(jié)果的評(píng)價(jià)及改進(jìn)

汽車制動(dòng)器的設(shè)計(jì)是車輛設(shè)計(jì)中最重的環(huán)節(jié)之一，直接影響著人身和車輛安全。為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，必須進(jìn)行相應(yīng)的測(cè)試。從材料及數(shù)據(jù)可知，問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立驅(qū)動(dòng)電流與瞬時(shí)轉(zhuǎn)速、瞬時(shí)扭矩之間的模型以及建立計(jì)算機(jī)的控制方法模型，解決這兩個(gè)問(wèn)題對(duì)整個(gè)方案起到了決定性的作用。總的來(lái)說(shuō)，主要根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，運(yùn)用數(shù)學(xué)中的定積分知識(shí)，建立了能量積分模型，進(jìn)而求解問(wèn)題一。該模型具有較強(qiáng)的實(shí)用性，且考慮全面。模型二具有可操作性，與給出數(shù)據(jù)差距不大，相對(duì)誤差最大不超過(guò)2.5%。

需要改進(jìn)的方面:對(duì)于所建立的模型中轉(zhuǎn)軸及飛輪均要產(chǎn)生溫度，而溫度產(chǎn)生的能量卻在模型中沒(méi)有考慮到。同時(shí)，模型二對(duì)該控制方法的結(jié)果評(píng)價(jià)有部分誤差。

總的來(lái)說(shuō)模型的建立具有特色性強(qiáng)及結(jié)合數(shù)學(xué)物理多方面知識(shí)具有綜合性的特點(diǎn)，具有可操作性，結(jié)果合理。

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［2］馬文蔚.物理學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006

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