非線性半?yún)?shù)回歸模型中參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)歐氏似然置信域*

方連娣

（銅陵學(xué)院文學(xué)與藝術(shù)傳媒系，安徽銅陵 244000）

考慮非線性半?yún)?shù)回歸模型:

其中f（.，.）為已知可測(cè)函數(shù)，g（.）是定義在［0，1］上的未知函數(shù)，（xi，ti）是在Rd×R上取值的可觀測(cè)隨機(jī)點(diǎn)列，εi是i.i.d.隨機(jī)誤差，其均值為零，方差σ2＜∞，β為待估計(jì)的p維參數(shù)向量.在模型（1）中，當(dāng)f（x，β）=xτβ時(shí)，該模型即為部分線性回歸模型;當(dāng)g（t）=0時(shí)，該模型即為非線性回歸模型;當(dāng)f（x，β）=xτβ且g（t）=0時(shí)，該模型即為線性回歸模型.因此，模型（1）是一類非常廣泛的統(tǒng)計(jì)模型.

經(jīng)驗(yàn)似然是由Owen［1，2］提出的一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，在構(gòu)造置信域方面有很多突出的優(yōu)點(diǎn)，Qin與Lawless［3］將該方法引入到半?yún)?shù)模型，并提出可用歐氏距離代替距離.羅旭［4］對(duì)半?yún)?shù)模型構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)歐氏似然函數(shù)，并討論了得到的參數(shù)估計(jì)的大樣本性質(zhì).由此，利用經(jīng)驗(yàn)歐氏似然方法構(gòu)造了模型（1）中未知參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)歐氏似然比統(tǒng)計(jì)量，在一定條件下，證明了所提出的統(tǒng)計(jì)量具有漸近χ2分布，并利用所得結(jié)果，構(gòu)造了參數(shù)的漸近置信域.

1 主要結(jié)果

C7 對(duì)于t∈［0，1］，g（t）和hj（t，β）滿足一階 Lipschitz條件，1≤j≤p.

注:條件C1，C7是研究非參數(shù)所需的基本條件，C2，C6是研究非線性回歸模型的正則條件.

定理1 假設(shè)條件C1－C7成立，如果β為參數(shù)真值，則:

2 定理的證明

為證明定理，先給出下面兩個(gè)引理:

引理1 在定理1的條件下，當(dāng)β是參數(shù)真值時(shí)，有:

對(duì)所有k=1，2，…，p均成立.

證明 類似于文獻(xiàn)［5］，由條件C1和C5及密度核估計(jì)的一致相合性可證式（4）成立，在利用Bernstein不等式可證式（5）和式（6）成立.

證明 利用定理?xiàng)l件和引理1，類似于文獻(xiàn)［5］即證.

定理1的證明 由引理2知:

由式（7）和式（8）知定理1成立.

［1］OWEN A B.Empirical likelihood ratio confidence intervials for a single function［J］.Riometrika，1988，75:237-249

［2］OWNG A B.Empirical likelihood confidence regions［J］.Ann Statist，1990，18（1）:90-120

［3］QIN J，LAWLESS J F.Empirical likelihood and general estimating equations［J］.Ann Statist，1994，22:300-325

［4］羅旭.半?yún)?shù)模型的經(jīng)驗(yàn)歐氏似然估計(jì)的大樣本性質(zhì)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1994，10（4）:344-352

［5］馮三營(yíng).非線性半?yún)?shù)回歸模型中參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然置信域［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2009，29A（5）:1338-1349