頻率估計(jì)的時(shí)頻分析方法研究

郭 振，郭建濤

（1.信陽(yáng)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2.信陽(yáng)師范學(xué)院 物理電子工程學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000）

信號(hào)處理與分析中最重要也是最基本的兩個(gè)變量是時(shí)間和頻率。隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的發(fā)展使其信號(hào)形式越來(lái)越復(fù)雜，信號(hào)的非線性、非平穩(wěn)時(shí)變特性已經(jīng)成為信號(hào)的主要特征，單純的時(shí)域或者頻域處理已經(jīng)不能滿足需要。采用時(shí)頻分析可以在時(shí)頻二維平面給出信號(hào)的時(shí)變頻譜，是解決上述問(wèn)題的一種有效方法。

現(xiàn)代通信，特別是跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，通過(guò)頻率和相位調(diào)制來(lái)展寬信號(hào)的頻譜。在雷達(dá)、聲納以及電子對(duì)抗中的信號(hào)探測(cè)系統(tǒng)中，系統(tǒng)和目標(biāo)之間的相對(duì)移動(dòng)，傳播媒質(zhì)的擾動(dòng)都會(huì)使頻率發(fā)生改變。信號(hào)頻率的時(shí)變已經(jīng)成為其非平穩(wěn)性的主要表現(xiàn)之一，因此在很多實(shí)際信號(hào)的處理中，估計(jì)一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程的瞬時(shí)頻率是一項(xiàng)重要的工作。利用時(shí)頻分析研究瞬時(shí)頻率估計(jì)及各種方法的性能對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和國(guó)防建設(shè)有重要的意義。筆者闡述了瞬時(shí)頻率時(shí)頻分析理論研究和應(yīng)用發(fā)展概況，給出了幾種典型的估計(jì)算法以及相應(yīng)的性能評(píng)價(jià)。

1 瞬時(shí)頻率

瞬時(shí)頻率這個(gè)概念起源于通信中的調(diào)頻研究。Armstrong[1]發(fā)現(xiàn)進(jìn)行頻率調(diào)制可以有效地壓制噪聲，從而引起人們對(duì)調(diào)頻信號(hào)中“頻率”這個(gè)物理量的興趣，促使人們?nèi)ド钊胙芯款l率調(diào)制和瞬時(shí)頻率的概念及其數(shù)學(xué)描述。

1）解析信號(hào)的相位差分

Gabor[2]提出了從實(shí)信號(hào)產(chǎn)生相應(yīng)復(fù)信號(hào)的方法，這對(duì)瞬時(shí)頻率概念的進(jìn)一步發(fā)展起了重要作用。實(shí)信號(hào)s（t）=a（t）cos（φ（t））的瞬時(shí)頻率定義式為：

其中，z（t）為實(shí)信號(hào)的解析信號(hào)，φ（t）為解析信號(hào)相位。

2）基于時(shí)頻分布矩（特定時(shí)間的頻率平均）：許多TFD例如WVD的一階矩給出瞬時(shí)頻率值，另外一些TFD例如STFT的一階矩給出瞬時(shí)頻率的近似值。定義式為：

應(yīng)用時(shí)頻分布WVD的時(shí)間一階條件矩計(jì)算得到的瞬時(shí)頻率和應(yīng)用解析信號(hào)有限差分法得到的瞬時(shí)頻率結(jié)果完全相同。估計(jì)過(guò)程存在噪聲時(shí)，估計(jì)性能下降，統(tǒng)計(jì)上次優(yōu)化，而且計(jì)算耗時(shí)，所以一階矩方法應(yīng)用較少。

對(duì)于實(shí)際應(yīng)用需要將定義式離散化，通常采用差分形式，且以中心有限差分最為常見(jiàn)。對(duì)于多分量信號(hào)，瞬時(shí)頻率的定義就失去了它的意義。這種情況下，一般根據(jù)應(yīng)用的需要，分離各個(gè)分量，再分別求出每個(gè)分量的瞬時(shí)頻率。

瞬時(shí)頻率提供一種作為時(shí)間函數(shù)的頻域能量集中的表現(xiàn)形式，在信號(hào)識(shí)別、跟蹤、估計(jì)和建模方面有重要意義。針對(duì)瞬時(shí)頻率的時(shí)頻分析方法主要從估計(jì)精度、計(jì)算復(fù)雜性、信號(hào)包含噪聲的特點(diǎn)以及信號(hào)本身的多分量特性等方面進(jìn)行研究。

2 估計(jì)方法

對(duì)于一個(gè)合理的時(shí)頻分布，其能量峰脊應(yīng)出現(xiàn)在瞬時(shí)頻率的跡線附近，利用時(shí)頻分布可以從兩個(gè)角度估計(jì)瞬時(shí)頻率：基于時(shí)間一階條件矩的瞬時(shí)頻率估計(jì)和基于譜峰檢測(cè)的瞬時(shí)頻率估計(jì)。基于能量檢測(cè)方法進(jìn)行頻率估計(jì)實(shí)際上是依據(jù)式（1）進(jìn)行的。已經(jīng)知道這兩種定義對(duì)于WVD分布是等價(jià)的，但基于一階矩方法由于有較大的計(jì)算量，而沒(méi)有額外的性能優(yōu)勢(shì)，所以文獻(xiàn)中多采用能量檢測(cè)的瞬時(shí)頻率估計(jì)方法。

2.1 線性時(shí)頻方法

常見(jiàn)的線性時(shí)頻表示主要有短時(shí)傅里葉變換、Gabor變換以及小波變換。從考察信號(hào)的頻率成分隨時(shí)間的演化特性角度來(lái)說(shuō)，小波變換的結(jié)果令人費(fèi)解，因?yàn)樗举|(zhì)上是一種時(shí)間—尺度的多分辨分析。而且一旦母小波選擇不當(dāng)，應(yīng)用效果大受影響。

短時(shí)傅里葉變換方法又稱加窗傅里葉變換算法，它的基本思想是假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)的一個(gè)短的時(shí)間間隔內(nèi)是準(zhǔn)平穩(wěn)，并移動(dòng)分析窗函數(shù)，計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。對(duì)頻譜進(jìn)行峰值檢測(cè)即完成了對(duì)信號(hào)瞬時(shí)頻率的估計(jì)。

該時(shí)頻方法所加的時(shí)窗平滑了噪聲的影響，使STFT有較好的抗噪聲干擾的能力。同時(shí)該方法是線性，不會(huì)產(chǎn)生交叉項(xiàng)干擾，而且方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小。主要缺陷是：對(duì)于一定的時(shí)刻，只是對(duì)附近窗口內(nèi)的信號(hào)作分析，存在所謂的“窗效應(yīng)”，其時(shí)間和頻率分辨率受窗長(zhǎng)的約束，不能同時(shí)優(yōu)化。通常將其作為粗略估計(jì)值，作為精確估計(jì)的基礎(chǔ)。

2.2 雙線性時(shí)頻表示

克服時(shí)頻分辨率受限的一種方法是引入雙線性時(shí)頻表示。這類分布多是魏格納分布的變形，可以用統(tǒng)一的形式表示，習(xí)慣稱之為Cohen類時(shí)頻分布。

2.2.1 Wigner-Ville分布（WVD）

WVD最早由Wigner[3]于1932年提出，Ville[4]于1948年把它應(yīng)用到信號(hào)處理領(lǐng)域。WVD定義為：

它是雙線性乘積核或瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)關(guān)于時(shí)延的傅里葉變換。

對(duì)于常數(shù)振幅二次相位的線性調(diào)頻信號(hào)，WVD方法具有理想的時(shí)頻聚集性能，可以使瞬時(shí)頻率曲線和時(shí)頻能量峰脊重合，得到無(wú)偏的瞬時(shí)頻率估計(jì)。文獻(xiàn)[5]指出存在高斯白噪聲的情況下，線性調(diào)頻信號(hào)需要SNR在3 dB以上，估計(jì)性能才是優(yōu)化的，并隨著SNR的下降而緩慢下降；在3 dB以下，性能顯著變差。

對(duì)于其他頻率特征的信號(hào)，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，使窗內(nèi)的頻率特征近似線性，也可得到無(wú)偏估計(jì)的效果，但是信號(hào)必須限制在較高的信噪比水平。當(dāng)信號(hào)信噪比較低時(shí)，這種方法表現(xiàn)出較高的方差。由此可以看出，WVD適應(yīng)于線性時(shí)頻信號(hào)，或者高信噪比的高階調(diào)頻信號(hào)；相應(yīng)地研究WVD分布，需要克服強(qiáng)噪聲、非線性調(diào)頻以及算法固有的交叉項(xiàng)問(wèn)題。這些問(wèn)題的改善分散在下述不同的時(shí)頻分析中。

WVD計(jì)算量大，沒(méi)有合適的快速算法，離實(shí)時(shí)處理還有一定的距離。已有的WVD快速算法，一般采用快速傅里葉變換的方法，包括Boashash[6]等提出的重排核函數(shù)法和Martin[7]等人提出共軛對(duì)消法。

2.2.2 多項(xiàng)式魏格納分布

Boashash[8]等提出了多項(xiàng)式魏格納分布（PolynomialWigner-Ville Distribution，PWVD），目的在于解決多項(xiàng)式相位調(diào)頻情況下的頻率估計(jì)。PWVD定義：

其中 Kz（t，τ）為核函數(shù)：

在c=0.5，b=1，q=2的情況下，PWVD轉(zhuǎn)化為WVD。

非線性調(diào)頻問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定上述核函數(shù)中系數(shù)使多項(xiàng)式核可以將二次或多次調(diào)頻信號(hào)轉(zhuǎn)換成正弦波，從而使PWVD對(duì)多項(xiàng)式調(diào)頻信號(hào)具有理想的時(shí)頻聚集性。但是對(duì)于多分量信號(hào)，PWVD的交叉項(xiàng)將變得更加復(fù)雜，將噪聲的影響在時(shí)頻平面彌散化，加劇了噪聲的干擾。因此，在信噪比較低時(shí)，基于PWVD的瞬時(shí)頻率估計(jì)的方差較高，即使采用優(yōu)化的核設(shè)計(jì)，與線性調(diào)頻情況下的方差也要高出4 dB以上。另外，PWVD在實(shí)現(xiàn)時(shí)，必須對(duì)原信號(hào)插值，多項(xiàng)式核相乘使計(jì)算變得復(fù)雜。

2.2.3 交叉魏格納分布

與WVD類似，可以定義兩個(gè)信號(hào)或者一個(gè)信號(hào)的多分量的交叉魏格納分布（Cross Wigner-Ville Distribution XWVD），即瞬時(shí)互相關(guān)函數(shù)關(guān)于時(shí)延的傅里葉變換，表達(dá)式為：

應(yīng)用XWVD[9]估計(jì)瞬時(shí)頻率的基本原理是在每次迭代過(guò)程這中，應(yīng)用基于XWVD的譜峰檢測(cè)估計(jì)出的瞬時(shí)頻率來(lái)產(chǎn)生新的參考信號(hào)，新的參考信號(hào)和待估計(jì)的信號(hào)生成一個(gè)新的XWVD，再?gòu)男律傻腦WVD估計(jì)出瞬時(shí)頻率。通過(guò)迭代使信號(hào)能量聚集程度增加，從而使在噪聲中估計(jì)出瞬時(shí)頻率的概率增加，而且算法具有收斂性。選擇合適的幅度變化率，達(dá)到C-R界的估計(jì)方差，信噪比最小可以約為-2 dB。XWVD的定義不僅克服了WVD中交叉項(xiàng)問(wèn)題，而且提高了頻率估計(jì)在低信噪比情況下的性能。缺點(diǎn)是不能處理多分量信號(hào)，而且是迭代算法。

2.2.4 偽 WVD（Ps.WVD）

WVD本質(zhì)上是一種二次型時(shí)頻分布，對(duì)多分量信號(hào)將出現(xiàn)交叉項(xiàng)，在時(shí)頻平面引入了模糊，這是WVD的一個(gè)重大缺陷，主要通過(guò)核函數(shù)的設(shè)計(jì)來(lái)加以抑制。其中偽Wigner-Ville分布通過(guò)與窗函數(shù)的卷積實(shí)現(xiàn)平滑操作，減少交叉項(xiàng)影響，變換結(jié)果出現(xiàn)負(fù)值。雖然采用平滑偽魏格納分布，可以得到正值結(jié)果，但是由于平滑作用使得時(shí)頻面出現(xiàn)模糊，影響時(shí)頻分辨率。另外，窗函數(shù)設(shè)計(jì)應(yīng)用于STFT或者WVD，從本質(zhì)上存在一個(gè)前提，即信號(hào)在窗口內(nèi)滿足平穩(wěn)性的假設(shè)，對(duì)于快速時(shí)變信號(hào)，這個(gè)條件很難在任意時(shí)刻得到滿足。因此，該類分布在時(shí)頻估計(jì)方面應(yīng)用較少，并出現(xiàn)了大量的基于自適應(yīng)時(shí)頻表示的頻率估計(jì)方法。

2.3 自適應(yīng)時(shí)頻表示

2.3.1 自適應(yīng)窗口長(zhǎng)度選擇

短時(shí)傅里葉變換和WVD變形中采用固定長(zhǎng)度窗函數(shù)，很難在所有時(shí)刻滿足平穩(wěn)性的假設(shè)，從而引起頻率估計(jì)偏差或者方差的增大，相應(yīng)于大的或小的窗口長(zhǎng)度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以采用自適應(yīng)于估計(jì)頻率的窗口長(zhǎng)度。這種方法可以應(yīng)用于SFTF或WVD的多種變形形式。基本方法一般是首先推導(dǎo)基于時(shí)頻頻譜分布進(jìn)行頻率估計(jì)的偏差和方差的表達(dá)式，通過(guò)均方誤差的表達(dá)式在偏差和估計(jì)方差之間進(jìn)行折中，從而得到自適應(yīng)的窗口長(zhǎng)度。

為解決STFT的“窗效應(yīng)”問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]中提出了一種自適應(yīng)窗長(zhǎng)的STFT方法，該窗函數(shù)為含兩個(gè)控制函數(shù)的高斯窗函數(shù)，該方法對(duì)于瞬態(tài)信號(hào)和長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)分量有一定的自適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[11]中提出短時(shí)線性調(diào)頻窗函數(shù)的STFT對(duì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[12]利用自適應(yīng)方法估計(jì)各種調(diào)頻信號(hào)，通過(guò)蒙特卡羅仿真，指出除了三角形式的調(diào)頻信號(hào)以外，包括階梯狀、三角函數(shù)形式的調(diào)頻，其估計(jì)的累積偏差和方差都明顯低于偽魏格納分布的結(jié)果。

2.3.2 自適應(yīng)核函數(shù)方法

為了更好地在抑制交叉項(xiàng)的同時(shí)保持很好的信號(hào)時(shí)頻聚集性，對(duì)于具有不同時(shí)變頻率特性的信號(hào)，核函數(shù)也要根據(jù)每個(gè)信號(hào)不同的特性來(lái)選取，每一步的最佳參數(shù)通過(guò)基函數(shù)與信號(hào)殘余內(nèi)積的模的最大化確定。信號(hào)自適應(yīng)擴(kuò)展得到基函數(shù)后，再利用不同的時(shí)頻分布，利用能量峰值探測(cè)求較好的瞬時(shí)頻率估計(jì)。

S.Mallat和Z.Zhang[13]提出在更大的范圍內(nèi)尋找匹配原始信號(hào)的基函數(shù)，利用Gauss函數(shù)的尺度變換、時(shí)頻移位組成一個(gè)Gabor函數(shù)集。然后根據(jù)最大匹配投影原理尋找最佳基函數(shù)的線性組合，以達(dá)到自適應(yīng)分解之目的。但是該迭代算法對(duì)時(shí)頻平面的劃分是一種格型分割（2j），當(dāng)待分析的信號(hào)是chirp信號(hào)時(shí)，這種匹配相當(dāng)于零階逼近，勢(shì)必會(huì)造成分解過(guò)程存在許多截?cái)嗪头至恐g的混合畸變。為克服這一缺陷，L.Angrisani等[14]提出了“小調(diào)頻波變換”，簡(jiǎn)稱 CT。該算法在核函數(shù)上乘以一個(gè)二次項(xiàng)的調(diào)頻信號(hào)，由兩個(gè)參數(shù)分布表示切率（chirprate）和時(shí)頻平面單元的曲率，并且采用高斯函數(shù)的開(kāi)方形式使其具有歸一化能量。對(duì)于多項(xiàng)式相位的頻率估計(jì)誤差在1～2%以內(nèi)；多分量情況下也給出了類似的結(jié)果，但是STFT和偽WVD卻出現(xiàn)了嚴(yán)重的干擾，只有部分瞬時(shí)頻率可以估計(jì)出來(lái)。當(dāng)待分析信號(hào)的瞬時(shí)頻率具有一定的周期性時(shí)，文獻(xiàn)[15]給出與CT類似地稱之為WT的時(shí)頻變換。在高斯母函數(shù)的基礎(chǔ)上，乘上一個(gè)用初始幅度、頻率、相位中心頻率的線性調(diào)頻信號(hào)，與仿真驗(yàn)證該方法在處理瞬時(shí)頻率具有時(shí)間周期性信號(hào)時(shí)頻率估計(jì)的均方誤差根的大小比CT變換要低3 dB以上。同樣的信號(hào)利用STFT處理，多分量之間的相互干擾使得即使經(jīng)過(guò)重排處理，其可讀性也較差。

文獻(xiàn)[16]采用高斯函數(shù)的尺度變換、旋轉(zhuǎn)、時(shí)移和頻移構(gòu)成一簇基函數(shù)。其中旋轉(zhuǎn)通過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)旋轉(zhuǎn)角度的調(diào)節(jié)，可使基函數(shù)在頻帶中心的鄰域內(nèi)更好地匹配信號(hào)。該方法適應(yīng)于局部波形具有高斯形狀的特征，具有較好的時(shí)頻聚集性和抗噪聲干擾的能力。但由于基于高斯函數(shù)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的自適應(yīng)時(shí)頻分布不滿足時(shí)頻邊緣特性，因此不能用時(shí)間一階條件矩的方法估計(jì)瞬時(shí)頻率。文獻(xiàn)[17]在2 dB噪聲的環(huán)境中，準(zhǔn)確地估計(jì)出瞬時(shí)頻率，而應(yīng)用WVD估計(jì)出的瞬時(shí)頻率由于受噪聲的影響而出現(xiàn)了鋸齒，特別是在兩端，估計(jì)值出現(xiàn)振蕩，且遠(yuǎn)小于實(shí)際值。

N.E.Huang提出了著名的Hilbert-Huang變換方法（簡(jiǎn)稱為 HHT），其主要內(nèi)容是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头纸?（Empirical Mode Decomposition，簡(jiǎn)稱為EMD）和Hilbert譜。在這一理論中，Huang等人引入了一種單分量的數(shù)學(xué)模型，他稱之為內(nèi)模函數(shù)（Intrinsic Mode Function，簡(jiǎn)稱為 IMF），并給出了將一個(gè)任意信號(hào)自適應(yīng)地分解成IMFs之和的分解算法，即EMD。這種方法主要是利用基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解方法，把復(fù)雜的數(shù)據(jù)序列分解為簡(jiǎn)單的、有限個(gè)基本模式分量，得到的基本模式分量具有很好的Hilbert變換特性，使得瞬時(shí)頻率具有實(shí)際的物理意義。同時(shí)對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)序列的瞬時(shí)頻率的引入，消除了傳統(tǒng)的信號(hào)分析方法如傅里葉分析所產(chǎn)生的表示非線性，非平穩(wěn)信號(hào)的偽諧波。由于它是基于信號(hào)局部特征的，因此它適用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的處理。

3 研究與發(fā)展趨勢(shì)

從考察信號(hào)的頻率成分隨時(shí)間的演化特性角度來(lái)說(shuō)，時(shí)頻分析技術(shù)力求在計(jì)算復(fù)雜性和時(shí)頻分辨率之間找到最佳平衡點(diǎn)。客觀地說(shuō)，各種時(shí)頻分析技術(shù)難分軒，關(guān)鍵是其適合何種類型的信號(hào)。從時(shí)頻分析技術(shù)應(yīng)用于瞬時(shí)頻率估計(jì)的研究過(guò)程中，不難發(fā)現(xiàn)以下的發(fā)展趨勢(shì)：

1）瞬時(shí)頻率與時(shí)頻分布關(guān)系密切，但時(shí)頻分布的計(jì)算量非常大，尋找WVD的快速計(jì)算方法，提高WVD的實(shí)現(xiàn)速度是一件十分有意義的跟蹤，必將進(jìn)一步推動(dòng)時(shí)頻分布在實(shí)際中的應(yīng)用。

2）高階時(shí)頻分布由于較好的時(shí)頻聚集性能，成為估計(jì)非線性瞬時(shí)頻率的有力工具，然而對(duì)于多分量信號(hào)，高階時(shí)頻分布的交叉項(xiàng)將變得非常復(fù)雜。如何在盡可能保留高階時(shí)頻分布好的時(shí)頻聚集性能前提下減少交叉項(xiàng)的干擾是一個(gè)重要的發(fā)展方向。

3）自適應(yīng)時(shí)頻分布的優(yōu)越性能使其必將成為瞬時(shí)頻率估計(jì)的趨勢(shì)。如何實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)信號(hào)分解，以及在信號(hào)長(zhǎng)度增加的情況下，如何實(shí)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化是很有前途的研究方向。

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