一類Weierstrass型函數(shù)的分?jǐn)?shù)階W-M導(dǎo)數(shù)圖象的分形維數(shù)

李紅娟

(太原理工大學(xué) 理學(xué)院,太原 030024)

自微積分誕生之日起人們就提出了分?jǐn)?shù)階形式的微積分問題,只是沒有引起人們的重視,直到非線性問題的研究與分形幾何的出現(xiàn)才使得分?jǐn)?shù)階微積分再一次回到人們的視野,分?jǐn)?shù)階微積分與分形、特別是分形函數(shù)緊密相連,它為處理處處連續(xù)但處處不可微的分形函數(shù)及其圖像提供了一種可行的工具。

分?jǐn)?shù)階微積分最早有系統(tǒng)化的研究是由 Liouville(1832年),Riemann(1853年)和Holmgren(1864年)在19世紀(jì)初期和中葉完成的,但Grunwald和Krug最先統(tǒng)一了Liouville和Riemann分?jǐn)?shù)階微積分定義。針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分,人們又提出許多不同的定義,例如Grunwald分?jǐn)?shù)階微積分,Weyl-Marchaud分?jǐn)?shù)階微積分,局部分?jǐn)?shù)階微分,Caputo分?jǐn)?shù)階微分等等。分?jǐn)?shù)階微積分是研究分形函數(shù)的有力工具,B.B.Mandelbrot,F.B.Tatom,M.Zahle,K.M.Kolwankar,W.Y.Su等在這方面作了許多有益的工作。

近年來人們將分形函數(shù)與分?jǐn)?shù)階微積分的理論相結(jié)合,求出了一些分形函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分函數(shù),并對(duì)其圖像和分形維數(shù)進(jìn)行了討論。姚奎、蘇維宜、周頌平等人針對(duì)分形函數(shù)中的一類典型函數(shù)Weierstrass函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分函數(shù)的圖像的分形性質(zhì)和分形維數(shù)進(jìn)行了較全面的研究,應(yīng)用Riemann-Liouville的分?jǐn)?shù)階微積分的定義得出了這類函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分函數(shù),對(duì)函數(shù)圖像的分形維數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究[1-4]。另外他們將Weierstrass函數(shù)擴(kuò)展成更一般的Besicovitch函數(shù),并對(duì)此函數(shù)的一些相應(yīng)性質(zhì)和結(jié)論進(jìn)行了進(jìn)一步的探討。本文在前人對(duì)Weierstrass函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分及其維數(shù)的研究基礎(chǔ)上,引入一類更一般的Weierstrass型函數(shù),應(yīng)用Weyl-Marchaud分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義求出了類分形函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)函數(shù)圖像的維數(shù)。

1 主要定義

定義1 Weierstrass型函數(shù)

分別稱為f的ν階Weyl-Marchaud左、右導(dǎo)數(shù)。如果 Dνl f(x)=Dνrf(x),我們稱 f(x)的 ν階 Weyl-Marchaud可導(dǎo),記為 Dνf。

定義3 記：

表示ψ(ax)的ν階W-M 導(dǎo)數(shù)。記：

是W(t)的ν階分?jǐn)?shù)階W-M 導(dǎo)數(shù)。

定義4 設(shè) ψ：[0,1]→R為連續(xù)函數(shù),記函數(shù)ψ(t)在區(qū)間Ι上的振幅為

記函數(shù)ψ(t)的圖像為

2 主要定理的證明

定理1 設(shè)0＜ν＜α＜1,ψ∈ A,那么

所以

由文獻(xiàn)[5]可得出：

dim BΓ(W,I)=dim KΓ(W,I) ≤2- α.

那么

由文獻(xiàn)[5]可得出：

dim BΓ(W*,I)=dim KΓ(W*,I) ≤2- α+v.

引理1 設(shè) ψ∈A,0＜ν＜1,則

而C*是一定正常數(shù)。

證明：

定理2 設(shè)I=[0,1],ψ∈A,0＜ν＜α＜1并且u=min(1- α,α- ν),

注意到λ1＞3,則至少存在一點(diǎn) ti和δi,使得 ti∈A,(ti,ti+h)?δi,由引理1的3)得：

所以 OSC(W*,δi) ≥C(ν)bν-αN.

由文獻(xiàn)[5]可得出：

dim BΓ(W*,I)=dim KΓ(W*,I) ≥2- α+ν.

由上可知,設(shè)

0＜ν＜α＜1,ψ∈ A,

則

[1] 姚奎.分形函數(shù)與分?jǐn)?shù)階微積分：構(gòu)造性方法的應(yīng)用[D].杭州：浙江大學(xué),2003.

[2] 姚奎,蘇維宜,周頌平.關(guān)于一類Weier strass函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分函數(shù)[J].數(shù)學(xué)年刊,2004,25A(6)：711-716.

[3] Zahle M,Ziezold H.Fractional derivatives of Weierstrass-type functions[J].Computa-tional and Applied Mathematics,1996,76：265-275,265-273.

[4] Yao K,Su W Y,Zhou S P.On the fractional calculus functions of a fractal function[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B,2002,17(4)：377-381.

[5] Falconer J.Fractal geometry ：Mathematical foundations and Applications[M].New York：John Wiley Sons Inc,1990.

[6] 華宇明.Weierstrass型函數(shù)圖像的分形函數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,8(1)：78-85.