基于不同故障類型的不完全預(yù)防維護(hù)模型

曲玉祥，吳 更生

(清華大學(xué) 工業(yè)工程系，北京 100084)

1 概述

維護(hù) (或維修) 是使系統(tǒng)或設(shè)備維持在可用狀態(tài)或恢復(fù)故障缺陷的所有活動(dòng)。如果維修可以使系統(tǒng)修復(fù)達(dá)到全新的狀況，稱為完全維護(hù)；現(xiàn)實(shí)中大部分系統(tǒng)很難通過維修活動(dòng)達(dá)到全新的狀況，即不完全維護(hù)，如對(duì)機(jī)車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行定期檢修，可以在極大程度上改善發(fā)動(dòng)機(jī)的工作狀況，卻難以達(dá)到全新的效果。不完全維護(hù)是使系統(tǒng)的失效率恢復(fù)程度介于完全維護(hù)和最小修復(fù)之間，系統(tǒng)狀態(tài)介于“全新”和“如舊”狀態(tài)之間的維護(hù)活動(dòng)[1-2]。目前，描述不完全維護(hù)對(duì)系統(tǒng)失效率的改善程度是研究不完全維護(hù)的一個(gè)關(guān)鍵性問題[2-6]。

Malik[2]在維修排序問題中引入改善因子的概念描述維修后系統(tǒng)失效率的改進(jìn)程度。Lie 和 Chun[3]給出了維修費(fèi)用與系統(tǒng)工齡函數(shù)關(guān)系的一系列曲線描述改善因子。Suresh 和 Chaudhuri[4]利用改善因子找出系統(tǒng)維修 后的初始狀態(tài)。Jayabalan和Chaudhui[5]利用常數(shù)的改善因子，通過分支演算法求解維修時(shí)間。Pham和Wang[6]將不完全維護(hù)的處理方法系統(tǒng)地歸納為8種類型。Martorell等[7]提出了工齡比例恢復(fù)和工齡比例減少兩種不同模型描述設(shè)備經(jīng)過維護(hù)變“年輕”的效果。

構(gòu)建不完全維護(hù)模型通過將維護(hù)對(duì)象視為單一部件系統(tǒng)，針對(duì)具有耗損特性的設(shè)備，考慮失效限度，實(shí)施周期預(yù)防維護(hù)策略；假設(shè)維護(hù)時(shí)間間隔為τ，通過單位時(shí)間維護(hù)成本最小化確定具體的維護(hù)策略。維護(hù)間隔內(nèi)發(fā)生故障包含兩種類型，即Type I 和Type II[8](簡(jiǎn)稱 I 型故障和 II 型故障)。I 型故障指系統(tǒng)故障可修，并進(jìn)行最小修復(fù)，假設(shè)最小修復(fù)不改變?cè)O(shè)備的可靠度和失效率。II 型故障是指系統(tǒng)故障嚴(yán)重以至不得不更換全新部件甚至廠修的情況，此時(shí)最小修復(fù)無(wú)效，設(shè)備需要更換或進(jìn)廠維修；執(zhí)行一定次數(shù)的預(yù)防維護(hù)后進(jìn)行預(yù)防更換。以鐵路機(jī)車故障維修為例，主要為機(jī)故 (機(jī)故是指機(jī)車在牽引中出現(xiàn)故障，申請(qǐng)到下一站側(cè)線進(jìn)行修理，修理時(shí)間超過 30 min，機(jī)故不影響其他列車行駛) 導(dǎo)致的臨修和機(jī)破 (機(jī)破指機(jī)車在牽引過程中出現(xiàn)了難以修復(fù)的故障并且不能繼續(xù)前行) 導(dǎo)致的臨修或段修，此類維修以排除故障使機(jī)車恢復(fù)正常運(yùn)行狀態(tài)為目標(biāo)，對(duì)機(jī)車既有壽命及失效率產(chǎn)生的影響很小，視為最小修復(fù)。

不完全維護(hù)模型的基本假設(shè)包括每次投入的預(yù)防維護(hù)成本Cpm、預(yù)防更換成本Cpr及最小修復(fù)成本Cmr為常數(shù)，預(yù)防維護(hù)成本及最小修復(fù)成本不大于預(yù)防更換成本。相比設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間，預(yù)防維護(hù)、最小修復(fù)及預(yù)防更換所需時(shí)間可以忽略不計(jì)。改善因子受設(shè)備有效工齡、預(yù)防維護(hù)成本率等因素影響，忽略環(huán)境條件、操作條件及人為操作不當(dāng)?shù)纫蛩亍?/p>

2 耗損型設(shè)備不完全維護(hù)模型的構(gòu)建

2.1 改善因子

參考維護(hù)活動(dòng)改善效應(yīng)的相關(guān)研究，應(yīng)用改善因子ηi，受設(shè)備工齡和預(yù)防維護(hù)成本率 (預(yù)防維護(hù)成本Cpm與預(yù)防更換成本Cpr的比值) 的影響。取值范圍0≤ηi≤1，當(dāng)ηi=0 時(shí)表示最小修復(fù)，ηi=1代表完全維護(hù)，具體表達(dá)式如下。

2.2 有效工齡和可靠度

考慮維護(hù)活動(dòng)的工齡恢復(fù)效應(yīng)，由改善因子確定設(shè)備維護(hù)后的狀態(tài)，即設(shè)備的有效工齡，計(jì)算可靠度等指標(biāo)。由公式(1)可知，若預(yù)防維護(hù)成本Cpm與預(yù)防更換成本Cpr的比值越大，改善因子越大，恢復(fù)效果越好，有效工齡越小。采用工齡比例減少模型，即只有前一次維護(hù)后的工齡可以得到比例恢復(fù)，則設(shè)備在第i次維護(hù)前后的有效工齡分別如公式(2)、公式(3)所示。

式中：τ為設(shè)備預(yù)防維護(hù)時(shí)間間隔；W-i、分別為設(shè)備在第i次維護(hù)前、后的有效工齡。

隨著維修次數(shù)的增加，即i的增加，改善因子減小，即隨著時(shí)間的增加，即使投入相同的預(yù)防維護(hù)成本，對(duì)系統(tǒng)的改善也會(huì)變差。設(shè)備執(zhí)行完N－1 次預(yù)防維護(hù)后，在第N次進(jìn)行預(yù)防更換，可以得到預(yù)防更換的時(shí)間點(diǎn)。

相應(yīng)時(shí)間點(diǎn)的可靠度由設(shè)備的可靠度函數(shù)R(t)求出：

2.3 維護(hù)成本函數(shù)

假設(shè)設(shè)備使用期限為無(wú)限時(shí)間域時(shí)，以單位時(shí)間期望成本作為維護(hù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)?？紤]2種故障類型[6]，假設(shè)系統(tǒng)發(fā)生 I 型故障的概率為1－θ，此時(shí)系統(tǒng)可以進(jìn)行最小修復(fù)；當(dāng)系統(tǒng)以概率θ發(fā)生 II 型故障時(shí)，最小修復(fù)無(wú)效，系統(tǒng)進(jìn)行更換。鑒于我國(guó)目前的檢修現(xiàn)狀，考慮失效限度成本率最小化的預(yù)防維護(hù)模型。這種預(yù)防維護(hù)模型的成本函數(shù)包含3個(gè)部分：預(yù)防維護(hù)成本、最小修復(fù)成本和預(yù)防更換成本。期望總成本TC的表達(dá)式為：

式中：pi表示第i次發(fā)生故障的概率。

確定設(shè)備的壽命分布是進(jìn)行維修決策的一個(gè)重要前提，由于威布爾分布具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和工程意義，在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用，能夠較好描述具有耗損特型的機(jī)械設(shè)備的壽命分布。假設(shè)系統(tǒng)的壽命分布為二參數(shù)威布爾分布，其失效率函數(shù)為：

式中：α為尺度參數(shù)，也稱為特征壽命，當(dāng)可靠度R=e－1=0.368 時(shí)的壽命，用以描述產(chǎn)品達(dá)到的總體壽命水平；β為形狀參數(shù)，數(shù)值的大小決定失效率曲線的形狀。當(dāng)β=1 時(shí)，威布爾分布簡(jiǎn)化為指數(shù)分布，失效率是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)；β＞2 時(shí)，失效率函數(shù)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，即耗損型部件所具備的失效率特征。

問題在哪里，監(jiān)督就要跟進(jìn)到哪里。“奇葩”案例的背后是違紀(jì)違法問題呈現(xiàn)出的新特點(diǎn)，我們要準(zhǔn)確把握，加強(qiáng)監(jiān)督，對(duì)癥下藥。

當(dāng)系統(tǒng)的預(yù)防維護(hù)時(shí)間間隔為τ，則單位時(shí)間期望維護(hù)成本最小化的目標(biāo)函數(shù)為：

2.4 模型的其他約束條件及求解

以維護(hù)時(shí)間間隔τ和預(yù)防更換點(diǎn)N為決策變量，在單位時(shí)間期望成本最小的目標(biāo)下，求取τ和N的最優(yōu)解：

在此基礎(chǔ)上，為了滿足系統(tǒng)運(yùn)行的需要，可以預(yù)先設(shè)定可靠度水平Rmin，當(dāng)系統(tǒng)可靠度等于此限制時(shí)，執(zhí)行預(yù)防更換動(dòng)作。若為設(shè)備預(yù)防更換時(shí)間點(diǎn)，則要求：

由系統(tǒng)的失效率函數(shù)，即可得到最優(yōu)維護(hù)間隔，利用 Matlab 對(duì)模型編程求解。

3 數(shù)值驗(yàn)證與分析

對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，確認(rèn)2種預(yù)防維護(hù)模型的求解方法是可行的。為此，需要給定部件失效模式、維護(hù)成本等相關(guān)參數(shù)，如表1所示。

表 1 用于驗(yàn)證模型的相關(guān)參數(shù)

3.1 成本率曲線、預(yù)防更換時(shí)間及最優(yōu)化維修策略

假設(shè)模型中的可靠度限制水平Rmin=0.6 和Rmin=e－1=0.368，取發(fā)生 II 型故障的概率為θ= 0.1，另有預(yù)防更換的壽命為T=Nτ。通過計(jì)算，可以得到在不同可靠度要求下的成本率曲線和系統(tǒng)的預(yù)防更換壽命曲線，如圖1所示。

從圖 1a 中可以看出：系統(tǒng)預(yù)防更換的壽命會(huì)隨著總預(yù)防維護(hù)次數(shù)的增加而先增加后降低，也就是系統(tǒng)的預(yù)防更換壽命存在極值點(diǎn)，極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最優(yōu)維護(hù)成本率時(shí)的預(yù)防維修次數(shù)。此外，預(yù)先設(shè)定的可靠性水平越高，則系統(tǒng)越容易被淘汰，即相同條件下，預(yù)防更換的壽命相對(duì)較短。

圖 1b 表示了不同的可靠度要求時(shí)，系統(tǒng)預(yù)防維護(hù)成本率隨著總預(yù)防維修次數(shù)的變化曲線。系統(tǒng)的維護(hù)成本率存在極值點(diǎn)。當(dāng)Rmin=0.6 時(shí)，最優(yōu)維護(hù)次數(shù)為 25，其所對(duì)應(yīng)的預(yù)防維護(hù)成本率為 0.436萬(wàn)元；當(dāng)Rmin=0.368 時(shí)，最優(yōu)維護(hù)次數(shù)為 24，所對(duì)應(yīng)的預(yù)防維護(hù)成本率為 0.407 萬(wàn)元。較高的可靠度限制水平對(duì)應(yīng)較高的預(yù)防維護(hù)成本，表明了成本率對(duì)可靠度的敏感度關(guān)系。

圖 1 系統(tǒng)的預(yù)防更換壽命及維護(hù)成本率隨預(yù)防維修次數(shù)的變化曲線

模型考慮了失效限度使得系統(tǒng)在運(yùn)行和維護(hù)過程中具有較好的可靠性能，更符合實(shí)際應(yīng)用的需要，設(shè)定可靠度限制水平Rmin對(duì)系統(tǒng)的不完全維護(hù)策略具有重要意義。因此，在制定設(shè)備維護(hù)方案時(shí)，決策者需要對(duì)設(shè)備可靠運(yùn)行的需求進(jìn)行綜合考慮，在可靠度限制水平與維護(hù)成本間找到一個(gè)平衡點(diǎn)。

3.2 II型故障對(duì)成本率曲線的影響

模型中考慮了2種故障類型，即存在 Type II 故障類型，它的發(fā)生幾率θ對(duì)成本率也具有較大的影響。在不同θ的情況下，預(yù)防維護(hù)成本率的變化，如圖2所示。

由圖2中可以看出，θ的增加會(huì)降低系統(tǒng)預(yù)防維護(hù)的成本。一般情況下，發(fā)生II型故障，必須更換新的器件，最小修復(fù)不再起作用，維護(hù)終止，維護(hù)成本整體會(huì)降低。隨著θ的增加，系統(tǒng)維護(hù)成本率最小值所對(duì)應(yīng)的最佳維修次數(shù)隨之增加，即系統(tǒng)需要進(jìn)行更加頻繁的預(yù)防維護(hù)。

圖 2 不同的II型故障發(fā)生率情況下的成本率隨預(yù)防維護(hù)次數(shù)變化曲線 (Rmin=0.368)

3.3 威布爾參數(shù)的敏感度分析

對(duì)部件的威布爾分布參數(shù)進(jìn)行敏感度分析中，形狀參數(shù)β是最重要的參數(shù)，決定了威布爾分布的形狀和變化趨勢(shì)。只改變形狀參數(shù)β，表1中的其他參數(shù)保持不變，對(duì)模型進(jìn)行求解優(yōu)化。從圖3中可以看出，當(dāng)單位時(shí)間成本C(τ，N) 最小時(shí)，β越大，模型的維護(hù)時(shí)間間隔τ和預(yù)防更換點(diǎn)N越小，維護(hù)成本率因總時(shí)間T的縮減而增加，更換點(diǎn)的可靠度水平因T的縮減而增加，總體上都比較低。β較小時(shí)，τ、N以及維護(hù)成本率受β的影響較為顯著。

按照類似的方法對(duì)尺度參數(shù)α進(jìn)行敏感度分析，只改變尺度參數(shù)α，其他參數(shù)保持不變。從圖4可以看出，模型維護(hù)時(shí)間間隔都隨著α的增加而增加，維護(hù)成本率則相應(yīng)地減小。

圖 3 不同 β 條件下預(yù)防維護(hù)時(shí)間間隔及成本率隨預(yù)防維護(hù)次數(shù)的變化

圖 4 不同 α 條件下預(yù)防維護(hù)時(shí)間間隔及成本率隨預(yù)防維護(hù)次數(shù)的變化

4 結(jié)束語(yǔ)

通過引入受維修次數(shù)、預(yù)防維護(hù)費(fèi)用共同制約的改善因子，全面考慮兩種不同的故障類型，建立不完全維護(hù)模型，以壽命期內(nèi)的最小維護(hù)成本率為目標(biāo)，求解相應(yīng)系統(tǒng)裝備的維修策略，即最佳的預(yù)防維修時(shí)間間隔以及最佳的預(yù)防維修次數(shù)。模型假設(shè)部件壽命服從威布爾分布，引入第二種故障類型發(fā)生概率為θ的假設(shè)，給出成本率的解析表達(dá)式?？梢灶A(yù)先設(shè)定系統(tǒng)可靠度的最低值，實(shí)現(xiàn)不同可靠度條件下的系統(tǒng)最優(yōu)維護(hù)方案。

通過設(shè)定不同的參數(shù)β、θ等，分析成本率曲線、時(shí)間間隔，以及系統(tǒng)壽命對(duì)不同參數(shù)的敏感度，并且對(duì)各種參數(shù)對(duì)系統(tǒng)最佳維修次數(shù)的影響進(jìn)行了詳細(xì)的分析。模型重點(diǎn)考慮單部件耗損型設(shè)備，對(duì)于其他類裝備的不完全維修策略也具有一定的參考價(jià)值。

[1] Wireman T. World class maintenance management[M]. New York：Industrial Press，1990.

[2] Malik V，Jardine A K S. Optimal replacement for a general model with imperfect repair[J]. Journal of the Operational Research Society，1992，43 (2)：111-120.

[3] Lie C H，Chun Y H. An algorithm for preventive maintenance policy[J]. IEEE Transactions on Reliability，1986，35(1)：71-75.

[4] Sruesh P V，Chaudhuri D. Preventive maintenance scheduling for a system with assured reliability using fuzzy set theory[J].International Journal of Reliability，Quality and Safety Engineering，1994，1(4)：497-513.

[5] Jayabalan V，Chaudhuri D. Optimal maintenance replacement policy under imperfect maintenance[J]. Reliability Engineering and System Safety，1992(36)：l65-l69.

[6] Pham H，Wang H. Imperfect maintenance[J]. European Journal of Operational Research，1996，94(11)：425-437.

[7] Martorell S，Sanchez A and Vicente Serradell. Age-dependent reliability model considering effects of maintenance and working conditions[J]. Reliability Engineering and System Safety，1999，64(1)：19-31.

[8] Sheu S H，Chen J A. Optimal lot-sizing problem with imperfect maintenance and imperfect production[J]. International Journal of System Science 2004，35(1)：69-77.