無功優(yōu)化算法綜述

劉桂龍，王維慶，張新燕，蔡靜靜

（1.新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047；2.同濟(jì)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，上海 200092）

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題是電力系統(tǒng)優(yōu)化問題研究的重要內(nèi)容之一。電力系統(tǒng)無功優(yōu)化，即以保證電力系統(tǒng)電壓質(zhì)量為前提，利用無功補(bǔ)償來改變?nèi)W(wǎng)潮流，使系統(tǒng)的有功損失和無功補(bǔ)償費(fèi)用最小。國內(nèi)外研究者提出了各種無功優(yōu)化算法，這些方法大多是把無功優(yōu)化問題看作數(shù)學(xué)問題，確立變量，建立數(shù)學(xué)模型。本文綜述了國內(nèi)外無功優(yōu)化領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，歸納了無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，簡要介紹了各種無功優(yōu)化算法及其優(yōu)缺點(diǎn)。

1 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、多目標(biāo)的、多約束的、不確定性的大規(guī)?；旌戏蔷€性優(yōu)化問題，其控制變量一般為離散變量。電力系統(tǒng)無功優(yōu)化控制數(shù)學(xué)模型：

式中，uk為控制變量，k為控制變量的個(gè)數(shù)；xi為狀態(tài)變量，i為狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)；對(duì)于大規(guī)模電力系統(tǒng)離散無功優(yōu)化問題的多區(qū)域分解形式，k逸2，i逸2；f為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，可為發(fā)電費(fèi)用、系統(tǒng)的有功網(wǎng)損、無功補(bǔ)償?shù)慕?jīng)濟(jì)效益等；g為等式約束條件，即約束的潮流平衡方程；h為控制變量與狀態(tài)變量須滿足的約束條件。

2 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化方法

2.1 常規(guī)優(yōu)化算法

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的常規(guī)優(yōu)化算法主要有非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃及動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等[1]，這類算法是以目標(biāo)函數(shù)和約束條件的一階或二階導(dǎo)數(shù)作為尋找最優(yōu)解的主要信息。

2.1.1 非線性規(guī)劃法

由于電力系統(tǒng)問題是非線性問題，所以最先應(yīng)考慮到用非線性規(guī)劃法。非線性規(guī)劃法主要有簡化梯度法、牛頓法、共軛梯度法、二次規(guī)劃法等。

簡化梯度法以極坐標(biāo)形式的牛頓-拉弗遜潮流計(jì)算為基礎(chǔ)，對(duì)等式約束用拉格朗日乘子法處理，對(duì)不等式約束用Kuhn-Tucke罰函數(shù)處理，沿控制變量負(fù)梯度方向?qū)?yōu)，具有一階收斂性。其算法簡單，存儲(chǔ)需求量小，程序設(shè)計(jì)運(yùn)行方便，便于求解較大規(guī)模最優(yōu)潮流問題，但計(jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，收斂性差，不能有效地處理函數(shù)不等式約束，在最優(yōu)點(diǎn)附近收斂速度慢，每次迭代都需要重新計(jì)算潮流且計(jì)算量大耗時(shí)多、用罰函數(shù)處理不等式時(shí)罰因子的選取對(duì)收斂速度影響大。

牛頓法求解原理是以非線性拉格朗日乘數(shù)法為基礎(chǔ)，利用目標(biāo)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)組成的海森矩陣與網(wǎng)絡(luò)潮流方程一階導(dǎo)數(shù)組成的雅可比矩陣來求最優(yōu)解。文獻(xiàn)[2]提出用以牛頓法為基礎(chǔ)的最優(yōu)潮流以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)無功優(yōu)化，但處理不等式函數(shù)約束問題效果不好。文獻(xiàn)[3]提出牛頓法具有二階收劍速度，充分利用了矩陣的稀疏性簡化計(jì)算，但在求解海森逆矩陣時(shí)浪費(fèi)時(shí)間，計(jì)算結(jié)果不精確。

共軛梯度法是為克服簡化梯度法出現(xiàn)的鋸齒現(xiàn)象和牛頓法求解海森矩陣?yán)速M(fèi)時(shí)間而提出的應(yīng)用一階梯度的共軛梯度來解最優(yōu)潮流的共軛方向法，是解非線性代數(shù)方程組的一個(gè)二階收斂算法，在目標(biāo)函數(shù)二次性較強(qiáng)區(qū)域中，有較強(qiáng)收斂性。文獻(xiàn)[4]在取定初值點(diǎn)后形成梯度向量和共軛系數(shù)，采用一維搜索法計(jì)算最優(yōu)步長，直到找出最優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]提出了結(jié)合系統(tǒng)的PQ解耦特性，采用簡化梯度法和共軛梯度法的組合算法求解系統(tǒng)優(yōu)化潮流問題，進(jìn)一步提高了計(jì)算速度，獲得了良好的收斂性，尤其是在最優(yōu)點(diǎn)附近域。用共軛梯度法解算動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度問題，文獻(xiàn)[6]提出此法需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值選取罰因子，對(duì)大系統(tǒng)而言維數(shù)過大，不能保證其收斂性和計(jì)算速度。

二次規(guī)劃法是將目標(biāo)函數(shù)作為二階泰勒級(jí)數(shù)展開，把非線性約束轉(zhuǎn)化為一系列線性約束，構(gòu)成二次規(guī)劃優(yōu)化模型，從而通過多次二次規(guī)劃來逼近最優(yōu)解。文獻(xiàn)[3]提出該法主要針對(duì)目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，收斂速度快，計(jì)算精度高且可以直接處理各種約束。文獻(xiàn)[7]提出了序列二次規(guī)劃法，其所優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為二次實(shí)函數(shù)，其約束一般為線性。二次規(guī)劃法解算最優(yōu)潮流，收斂速度快，精度高，能很好地解決耦合最優(yōu)潮流問題，但在變量和約束條件較多時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量大，過程復(fù)雜等問題，有時(shí)在求解臨界可行問題時(shí)會(huì)出現(xiàn)不收斂。

2.1.2 線性規(guī)劃法

1968年Maliszewki RM首次提出用線性規(guī)劃法（LP）研究系統(tǒng)無功優(yōu)化問題。線性規(guī)劃能直接對(duì)變量和線性函數(shù)的約束量方便地設(shè)定限制，其原理是把目標(biāo)函數(shù)和約束條件全部用泰勒公式展開，忽略高次項(xiàng)，使非線性規(guī)劃問題在初值點(diǎn)處轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。該法處理數(shù)據(jù)穩(wěn)定，精度高且可靠，計(jì)算速度快，適于處理多種約束條件下的無功優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]提出該法是把系統(tǒng)實(shí)際優(yōu)化模型作為線性近似處理，并對(duì)離散變量作連續(xù)化處理，通常優(yōu)化結(jié)果不準(zhǔn)確。文獻(xiàn) [9]Dantzing GB提出了一種求解線性規(guī)劃問題的單純形法。文獻(xiàn)[10]提出靈敏度分析法用于求解線性規(guī)劃問題。文獻(xiàn)[11]提出了基于靈敏度分析法的修正控制變量搜索方向與對(duì)偶線性規(guī)劃法相結(jié)合的方法，防止了目標(biāo)函數(shù)和控制變量的振蕩現(xiàn)象，減少了計(jì)算時(shí)間。文獻(xiàn)[12]利用原-對(duì)偶仿射尺度內(nèi)點(diǎn)法求解無功優(yōu)化的線性規(guī)劃模型，但該算法迭代初始點(diǎn)必須是內(nèi)點(diǎn)，并且尋優(yōu)過程必須沿原-對(duì)偶路徑。文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[12]基礎(chǔ)上給出了一種改進(jìn)算法，可以從任意初始點(diǎn)開始，不需要保證尋優(yōu)過程沿原-對(duì)偶路徑，最終仍能收斂于最優(yōu)解且具有穩(wěn)定的收斂性能。

2.1.3 混合整數(shù)規(guī)劃法（MIP）

混合整數(shù)規(guī)劃法是能夠解決優(yōu)化計(jì)算中變量的離散性問題的有效方法。文獻(xiàn)[14]提出其原理是先確定整數(shù)變量，再與線性規(guī)劃法協(xié)調(diào)處理連續(xù)變量?；旌险麛?shù)規(guī)劃法數(shù)學(xué)模型能夠較準(zhǔn)確地體現(xiàn)無功優(yōu)化實(shí)際，但是分2步優(yōu)化削弱了它的總體最優(yōu)性，同時(shí)由于無功和電壓的非線性函數(shù)關(guān)系，在問題求解過程中常會(huì)發(fā)生振蕩發(fā)散，計(jì)算量大，解算復(fù)雜，且隨著維數(shù)增加，計(jì)算時(shí)間會(huì)急劇增加。

2.1.4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是一種研究多階段決策過程最優(yōu)解的有效方法，原理是從動(dòng)態(tài)過程的總體進(jìn)行尋優(yōu)。文獻(xiàn)[3]提出按時(shí)間或空間順序?qū)栴}分解為一系列相互聯(lián)系的階段，每階段均包含一個(gè)變量，并依次對(duì)每一階段做出決策，最后獲得整個(gè)過程的最優(yōu)解。文獻(xiàn)[8]提出該法對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件沒有嚴(yán)格的限制，與線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃法要求必須嚴(yán)格遵守線形和凸性不同，它所得的最優(yōu)解通常是全局最優(yōu)解。該法可以利用多階段決策過程來求解變量較多較大的靜態(tài)問題和離散性問題，求解容易，過程清晰，收斂性好，但隨著變量個(gè)數(shù)的增多會(huì)出現(xiàn)建模復(fù)雜，計(jì)算速度慢，維數(shù)災(zāi)問題，限制了在工程上的廣泛應(yīng)用。

2.2 現(xiàn)代人工智能方法

由于常規(guī)無功優(yōu)化方法均不同程度存在問題，人們逐漸把研究系統(tǒng)無功優(yōu)化方法轉(zhuǎn)向人工智能優(yōu)化方向。人工智能算法主要包括遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、專家系統(tǒng)、模糊優(yōu)化法、禁忌搜索、模擬退火算法、模糊理論法、多智能體優(yōu)化法以及這些算法的組合法等。

2.2.1 遺傳算法

遺傳算法（GA）是一種模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進(jìn)化過程而形成的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化隨機(jī)搜索法。與常規(guī)算法相比，遺傳算法具有算法簡單，對(duì)目標(biāo)函數(shù)不要求可導(dǎo)可微，處理離散變量方便，能夠獲得全局最優(yōu)解等優(yōu)點(diǎn)，已被人們廣泛地應(yīng)用于組合優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、自適應(yīng)控制和人工生命等領(lǐng)域[15]。文獻(xiàn)[16]提出該算法存在迭代次數(shù)多，計(jì)算時(shí)間長等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[17]提出利用函數(shù)連接網(wǎng)絡(luò)將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，采用免疫遺傳算法進(jìn)行求解，提出分區(qū)分層的多變電所電壓無功協(xié)調(diào)控制專家系統(tǒng)的設(shè)計(jì)思想，使系統(tǒng)具有較高的優(yōu)化精度、簡單的求解過程。文獻(xiàn)[18]針對(duì)遺傳法存在早熟收斂和后期收斂速度慢，提出了小生境遺傳算法，可在短時(shí)間內(nèi)以極大概率值尋找全網(wǎng)最優(yōu)補(bǔ)償配置，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)補(bǔ)償，顯示了該算法的有效性，顯著提高了收斂速度。

2.2.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及專家系統(tǒng)

隨著人工智能的發(fā)展，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及專家系統(tǒng)已被國內(nèi)外學(xué)者引入無功優(yōu)化領(lǐng)域，該方法控制規(guī)則包含語言變量，把計(jì)算方法和啟發(fā)式技巧結(jié)合，能夠有效控制電壓偏移，目前應(yīng)用于大型電力系統(tǒng)最優(yōu)無功潮流計(jì)算。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）是由大量簡單元件廣泛連接而成的用以模擬人腦行為的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，以高維性、并行分布式信息處理、非線性及自組織自學(xué)習(xí)等良好特性應(yīng)用于電力系統(tǒng)。文獻(xiàn)[3]提到人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有分布式存儲(chǔ)信息、集體運(yùn)算和自適應(yīng)學(xué)習(xí)的能力，具有預(yù)測性、指導(dǎo)性、靈活性、收斂性好等特點(diǎn)，但缺乏有效的學(xué)習(xí)方法，易陷入局部極小域，不利于多節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在線快速實(shí)時(shí)控制。專家系統(tǒng)（ES）是在結(jié)合其他方法的基礎(chǔ)上，模擬人類專家解決實(shí)際問題的計(jì)算機(jī)程序，根據(jù)專家的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型設(shè)置初始值，不斷調(diào)整參數(shù)的大小，直到取得最優(yōu)解。文獻(xiàn)[17]提出為了提高無功電壓控制的有效性、魯棒性和快速性，采用專家系統(tǒng)和遺傳算法相結(jié)合，建立全網(wǎng)網(wǎng)損盡可能小、電壓合格率盡可能高的優(yōu)化方法及控制判斷規(guī)則。文獻(xiàn)[19]提出該方法與運(yùn)行人員的知識(shí)相結(jié)合，功能將大大加強(qiáng)，缺點(diǎn)是極易由于初始點(diǎn)的選擇不當(dāng)而陷入局部極值區(qū)。

2.2.3 禁忌搜索（Tabu）與模擬退火算法

禁忌搜索法是以較強(qiáng)的局部尋優(yōu)和爬坡能力而受到普遍關(guān)注的一種高效率的現(xiàn)代啟發(fā)式優(yōu)化算法。原理是利用一種靈活的“記'”技術(shù)，對(duì)已經(jīng)進(jìn)行的優(yōu)化過程進(jìn)行記錄和選擇，指導(dǎo)下一步搜索方向。該法尋優(yōu)較快，但當(dāng)精度要求較高時(shí)全局搜索能力差，且必須從一個(gè)可行的初始解開始，這對(duì)于約束條件苛刻的無功優(yōu)化來說是不好的。文獻(xiàn)[20]提出了改進(jìn)禁忌算法，該法不僅對(duì)初值沒有特殊要求，還減少了大量的搜索與計(jì)算，同時(shí)解決了禁忌算法在高精度情形下無法爬坡的缺點(diǎn)。模擬退火算法（SA）是一種基于熱力學(xué)的退火原理建立的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法，能以較大概率得到全局最優(yōu)解；但其參數(shù)的選取比較復(fù)雜，為使最終解盡可能地接近全局最優(yōu)，退火速度不能太快，這就意味著計(jì)算時(shí)間延長。文獻(xiàn)[21]針對(duì)無功優(yōu)化采用粒子群算法易陷入局部最優(yōu)、模擬退火算法約束條件多和收斂速度慢等問題，提出一種基于粒子群與模擬退火相結(jié)合的算法。該算法根據(jù)粒子群的易實(shí)現(xiàn)性、快速收斂性和模擬退火的全局收斂性，進(jìn)行協(xié)同搜索，求取系統(tǒng)無功優(yōu)化最優(yōu)解。模擬退火法是一種常用的全局搜索算法，可以有效地跳出局部最優(yōu)解，但計(jì)算時(shí)間長，收斂效率低；禁忌搜索法通過引入靈活的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的禁忌準(zhǔn)則可以避免迂回搜索，提高搜索效率：將2種算法有機(jī)結(jié)合，既可以使算法避免局部收斂，又可以提高收斂效率。

2.2.4 模糊集理論（FS）

模糊集理論誕生于20世紀(jì)60年代。模糊算法基于模糊集理論，將多目標(biāo)函數(shù)和負(fù)荷電壓模糊化，利用這種獨(dú)特的模糊特性處理電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中的參數(shù)不確定問題。文獻(xiàn)[22]提出利用模糊邏輯的優(yōu)越性得出有功損耗最小的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)；用于配電網(wǎng)并聯(lián)電容器組投切可以實(shí)現(xiàn)電壓控制和無功優(yōu)化，符合配電網(wǎng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行實(shí)情；利用模糊推理的無功電壓控制專家系統(tǒng)能有效控制配電系統(tǒng)的電壓偏移；與動(dòng)態(tài)規(guī)劃法結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)配電站電容器優(yōu)化法所需的信息量少、智能性強(qiáng)、迭代次數(shù)少的要求，能很好地反映電壓的變化情況，解算速度快于非模糊控制。該法只對(duì)不確定性問題解算，對(duì)確定性問題會(huì)使其復(fù)雜化。

2.2.5 多智能體優(yōu)化算法

多智能體優(yōu)化算法是優(yōu)化算法和多智體系統(tǒng)結(jié)合而成的，是一種人工智能新興算法。文獻(xiàn)[23]提出根據(jù)多智能體系統(tǒng)的廣義思想構(gòu)造粒子間信息交互環(huán)境，更新每個(gè)粒子在解空間的位置，使其能夠更快更精確地收斂到全局最優(yōu)。文獻(xiàn)[24]提出了多智能體粒子群優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)電壓和無功功率最優(yōu)控制和調(diào)度，該算法吸收了多智體系統(tǒng)和粒子群優(yōu)化技術(shù)雙方優(yōu)點(diǎn)，能夠更快地、更精確地收斂到全局最優(yōu)解。與其他4種智能算法相比，多智體算法計(jì)算精度、收斂穩(wěn)定性、尋優(yōu)時(shí)間都具有優(yōu)勢。

2.3 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化計(jì)算的其他新型方法

除上述算法以外，目前應(yīng)用比較多的還有免疫算法、人工魚群算法、分解協(xié)調(diào)算法、Box算法、模擬植物生長算法、小生境遺傳算法、混合蛙跳算法、差分進(jìn)化算法、尺度混沌優(yōu)化法、粒子群優(yōu)化法及蟻群算法等新型算法。免疫算法是依據(jù)生物免疫系統(tǒng)原理提出的，具有抗原識(shí)別、記'、抗體的多樣性、自適應(yīng)調(diào)節(jié)抑制和促進(jìn)等優(yōu)點(diǎn)。與遺傳算法相比，免疫算法有更快的收斂速度，更好的全局尋優(yōu)能力。人工魚群算法是一種基于模擬魚群行為的隨機(jī)搜索算法，通過魚群中個(gè)體的局部尋優(yōu)達(dá)到總體全局尋優(yōu)。分解協(xié)調(diào)算法是將無功優(yōu)化問題分解成一系列相互聯(lián)系的子優(yōu)化問題，每個(gè)子優(yōu)化問題對(duì)應(yīng)于進(jìn)化算法的一個(gè)優(yōu)化種群，各種群通過共同的系統(tǒng)模型相互作用，不斷進(jìn)化，從而達(dá)到全局最優(yōu)化。Box算法是一種直接搜索法，源于非線性規(guī)劃中的單純形法，通過復(fù)合形的反射、收縮來尋求問題最優(yōu)解。模擬植物生長法是將優(yōu)化問題的可行域作為植物的生長環(huán)境，將全局最優(yōu)解當(dāng)作光源，模擬植物生長的向光性原理，建立枝葉在不同光強(qiáng)下有不同的生長速度的動(dòng)力機(jī)制。文獻(xiàn)[25]提出小生境遺傳算法是利用一種特定的生物環(huán)境小生境，更好地保持解的多樣性，同時(shí)又具有很高的尋優(yōu)能力和收斂速度，提高了遺傳算法處理多峰函數(shù)的優(yōu)化問題?；旌贤芴惴ㄊ且环N模擬青蛙群體搜索食物進(jìn)行思想傳遞的協(xié)同搜索方法，文獻(xiàn)[26]提出該法是全局信息交換和局部深度搜索相結(jié)合，使算法向著全局最優(yōu)（食物地點(diǎn)）方向逼近。差分進(jìn)化算法是一種基于生物群體智能的新型優(yōu)化算法，文獻(xiàn)[27]提出該法模擬群體內(nèi)生物個(gè)體間的合作與競爭而產(chǎn)生的群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索。尺度混沌優(yōu)化算法是基于混沌優(yōu)化算法，不斷縮小優(yōu)化變量的搜索空間，并不斷提高搜索精度，從而有較高的搜索效率的新型算法。粒子群算法是優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域中的一個(gè)新的分支，其源于對(duì)鳥群和魚群群體運(yùn)動(dòng)行為的研究，具有并行處理、魯棒性好、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，已成功應(yīng)用于各種復(fù)雜的優(yōu)化問題。蟻群算法是一種新型的模仿螞蟻群體行為而提出的仿生學(xué)算法。相對(duì)于傳統(tǒng)的智能算法，蟻群算法具有收斂速度快、計(jì)算精度高、可靠等優(yōu)點(diǎn)。

表1給出了各種用于無功優(yōu)化的算法特點(diǎn)之間的比較。

表1 電力系統(tǒng)優(yōu)化算法比較

3 結(jié)論

本文對(duì)電力系統(tǒng)無功優(yōu)化方法進(jìn)行分類比較，總結(jié)了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。提出了每種方法所使用的領(lǐng)域。隨著電力系統(tǒng)的復(fù)雜化發(fā)展，對(duì)電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的最優(yōu)解精度、算法簡易度、收斂速度、質(zhì)量要求越來越高，本文所述方法很難獨(dú)自承擔(dān)解算電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題的任務(wù)，因此，尋求多種算法互補(bǔ)結(jié)合是最佳的無功優(yōu)化算法策略。

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