基于LPV模型的航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制器Kalman濾波器設(shè)計(jì)

李述清，張勝修，劉毅男，周志清

（第二炮兵工程學(xué)院，西安 710025）

1 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，其氣動(dòng)參數(shù)隨外界條件及工況的變化改變較大。利用非線性數(shù)學(xué)模型對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以獲得很高的控制精度，但由于計(jì)算量巨大，算法復(fù)雜，使得動(dòng)態(tài)模型的計(jì)算速度和有效性在工程應(yīng)用中受到一定影響。因此，通常利用線性化方法建立航空發(fā)動(dòng)機(jī)線性模型，再根據(jù)線性系統(tǒng)理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，這樣便于解決工程問題[1]。發(fā)動(dòng)機(jī)線性模型雖然有很多優(yōu)點(diǎn)，但是主要應(yīng)用于穩(wěn)態(tài)控制分析，對(duì)于工況偏離線性模型設(shè)計(jì)點(diǎn)較大情形就不適合了。許多新型建模方法[2-5]同時(shí)考慮了模型的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，其中發(fā)動(dòng)機(jī)線性變參數(shù)（LPV）模型能夠方便地適應(yīng)發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)過程分析和控制器設(shè)計(jì)[4-9]，得到迅速發(fā)展。文獻(xiàn)[4,5]根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型，采用內(nèi)插或擬合方法求取線性狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣元素，建立基于局部線性模型的渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型，并在動(dòng)態(tài)過程中得到應(yīng)用。

同時(shí)，自從1960年卡爾曼濾波算法(Kalman filter：KF)[10]提出以來，成為控制、信號(hào)處理與通信等領(lǐng)域最基本最重要的計(jì)算方法和工具之一，并已成功地應(yīng)用到航空、航天、工業(yè)過程及社會(huì)經(jīng)濟(jì)等不同領(lǐng)域。然而KF算法主要針對(duì)線性系統(tǒng)模型，極大地限制了KF算法的應(yīng)用范圍[11]。為了把KF算法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，可把非線性模型線性化，然后再使用KF算法估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。其中，推廣卡爾曼濾波(EKF)是1種應(yīng)用最廣泛的非線性系統(tǒng)濾波方法。EKF與線性卡爾曼濾波公式完全類似，只是上述濾波公式中系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣需要在線由非線性函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算得到[12,13]。卡爾曼濾波方程的應(yīng)用都存在非線性系統(tǒng)線性化近似的問題，即需要實(shí)時(shí)更新系統(tǒng)的線性化模型，然后應(yīng)用Klaman濾波基本方程，解決非線性濾波的問題。由于需要不斷根據(jù)非線性系統(tǒng)方程進(jìn)行線性化處理，以修正系統(tǒng)線性化模型，這顯然增加了濾波算法的復(fù)雜性和計(jì)算量，不便進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

如前所述，對(duì)于LPV模型這類特殊的非線性系統(tǒng)，其模型描述形式具有線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，即其模型系數(shù)矩陣是關(guān)于1個(gè)調(diào)度變量的函數(shù)，而這個(gè)調(diào)度變量可以根據(jù)系統(tǒng)的可測(cè)量來定義。這樣，可以為Kalman濾波器方程中相關(guān)系數(shù)矩陣更新提供方便以快速跟蹤實(shí)際系統(tǒng)的變化，而無需進(jìn)行線性化過程的實(shí)時(shí)計(jì)算，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟。顯然，開展航空發(fā)動(dòng)機(jī)基于LPV模型的濾波方法研究，可以提高發(fā)動(dòng)機(jī)性能分析和控制器設(shè)計(jì)效能，并具有顯著的工程和理論意義。

本文針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)線性變參數(shù)模型，提出1種簡(jiǎn)便的改進(jìn)Kalman濾波方法，并通過仿真對(duì)比，檢驗(yàn)了該方法的有效性。

2 渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)LPV建模

某型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型為

對(duì)于本文研究的雙轉(zhuǎn)子幾何不可調(diào)渦扇發(fā)動(dòng)機(jī),只考慮2個(gè)獨(dú)立轉(zhuǎn)子部件為儲(chǔ)能元件，并取系統(tǒng)狀態(tài)變量x=[n1, n2]′，輸入為主燃室供油流量u=Wf，輸出為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速y=n1。

在渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)平衡點(diǎn)（u0,x0,y0）附近，可構(gòu)建局部線性模型，繼而可得到線性模型簇[4]

式中:A、B、C和D為常數(shù)矩陣。

根據(jù)LPV系統(tǒng)建模方法，基于發(fā)動(dòng)機(jī)線性模型（式（2）），采用內(nèi)插或擬合方法求取模型（式（2））中系數(shù)矩陣[4]，得到如下渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型

式中:系數(shù)矩陣 A(ρ)、B(ρ)、C(ρ)和 D(ρ)中各元素是調(diào)度變量ρ的函數(shù)；下標(biāo)“0”為仿真計(jì)算初始值。

如果ρ包含狀態(tài)變量的元素，則稱為準(zhǔn)LPV（quasi-LPV）模型。

為了建立上述航空發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型，在地面靜止?fàn)顟B(tài)(H=0,Ma=0)、標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下，通過發(fā)動(dòng)機(jī)非線性計(jì)算程序，在n1轉(zhuǎn)速范圍70%～110%間選取若干穩(wěn)定工作點(diǎn)，依次在這些工作點(diǎn)處使用動(dòng)態(tài)響應(yīng)擬合法[14]求得發(fā)動(dòng)機(jī)局部線性傳遞函數(shù)模型。

考慮低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n1是表征渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)工作、實(shí)施發(fā)動(dòng)機(jī)控制的重要參數(shù)，且為發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的測(cè)量參數(shù)，因此，選取n1作為發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型調(diào)度變量ρ是合適的，即ρ=y=n1。

然后對(duì)各工作點(diǎn)對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)模型的系數(shù)進(jìn)行關(guān)于調(diào)度變量的2次多項(xiàng)式擬合，擬合效果如圖1所示（圖中：“model”對(duì)應(yīng)實(shí)際值，“fit”對(duì)應(yīng)擬合值）。

3 基于LPV模型的Kalman濾波器設(shè)計(jì)

對(duì)于下面考慮控制作用的線性系統(tǒng)

經(jīng)典線性離散卡爾曼濾波方程[12]為

在一般工程實(shí)踐中，濾波方程的狀態(tài)方程或測(cè)量方程常是非線性方程，經(jīng)典濾波方程（式（4））并不能直接使用?；贚PV模型（式（1））具有線性模型結(jié)構(gòu)形式的特點(diǎn)，采用與Kalman濾波器類似的預(yù)測(cè)修正結(jié)構(gòu)，給出如下離散濾波器

由此，根據(jù)濾波方程（式（（5）），可以通過調(diào)度變量ρ(k)=y(k)實(shí)時(shí)更新Kalman濾波器系統(tǒng)方程的系數(shù)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)Kalman濾波器方程與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性相匹配，從而提高濾波準(zhǔn)確性。方便起見，本文記為L(zhǎng)PV-KF。

于是，根據(jù)渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型（式（3））及LPV-KF方程（式（（5）），即可構(gòu)造渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)LPV-KF濾波器。

4 基于Klaman濾波器的渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制回路

通過渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制回路，可以實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定控制。發(fā)動(dòng)機(jī)主供油量執(zhí)行機(jī)構(gòu)可視為時(shí)間常數(shù)為0.1 s的慣性環(huán)節(jié)。控制器設(shè)計(jì)，可考慮地面靜止?fàn)顟B(tài)(H=0,Ma=0)條件下，根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型在90%轉(zhuǎn)速穩(wěn)定工況近似線性模型，采用增益成形PID設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)得PID參數(shù)：Kp=0.5628,Ki=0.6966,Kd=0.0298。

再結(jié)合前面所建立LPV-KF環(huán)節(jié)，容易構(gòu)建基于Kalman濾波器的發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

5 仿真

為了檢驗(yàn)本文改進(jìn)LPV-KF方法的有效性，利用該型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)部件非線性模型，進(jìn)行仿真檢驗(yàn)。假設(shè)1個(gè)典型發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制過程：從穩(wěn)態(tài)低工況約80%轉(zhuǎn)速點(diǎn)，以階躍響應(yīng)形式依次加速過渡到穩(wěn)態(tài)工況90%和100%轉(zhuǎn)速點(diǎn)，然后減速到80%轉(zhuǎn)速點(diǎn)。對(duì)此轉(zhuǎn)速控制過程進(jìn)行仿真，并分別采用本文所構(gòu)造渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)LPV-F進(jìn)行濾波，估計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)模型狀態(tài)x=[nl,nh]T，以及輸出y=n1，并與非線性模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

其中，根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)燃油流量傳感器性能，設(shè)系統(tǒng)噪聲Q=0.00012；根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速傳感器性能，設(shè)測(cè)量噪聲R=0.0052；系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)=[0.8 0.894]2，濾波誤差方差陣初值P0=diag([0.12,0.12])，仿真計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)0.01s。

不考慮該LPV-KF環(huán)節(jié)（圖中虛線所示）和考慮該LPV-KF環(huán)節(jié)（如圖中實(shí)線所示）作用所得燃油流量響應(yīng)如圖3所示。顯然，該LPV-KF環(huán)節(jié)能夠有效改善平滑供油，并有利于改善控制的準(zhǔn)確性和平穩(wěn)性。

圖4～6分別給出了考慮該LPV-KF環(huán)節(jié)時(shí)，在上述轉(zhuǎn)速控制過程仿真中所得發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)輸出低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速y和系統(tǒng)狀態(tài)低、高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速nl、nh的響應(yīng)值（圖中虛線所示）和濾波值（圖中實(shí)線所示）效果。一方面，轉(zhuǎn)速控制過程平穩(wěn)、準(zhǔn)確；另一方面，該LPV-KF環(huán)節(jié)對(duì)各參量均達(dá)到良好的跟蹤和濾波平滑效果，濾波后的噪聲明顯減小，這顯然有利于改善控制的準(zhǔn)確性和平穩(wěn)性。

6 結(jié)束語

本文針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型，提出了1種改進(jìn)Kalman濾波器設(shè)計(jì)方法，并應(yīng)用于某型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)中。通過對(duì)渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)寬工況變化過程進(jìn)行仿真，表明該濾波器可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)輸出和狀態(tài)的有效跟蹤和濾波。

同時(shí)，本方法無需在線對(duì)系統(tǒng)的線性化模型進(jìn)行計(jì)算，求解過程簡(jiǎn)潔，可以簡(jiǎn)化相關(guān)的理論分析、計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn)。

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