考慮運(yùn)動(dòng)副間隙的雙滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

羅阿妮，鄧宗全，劉榮強(qiáng)，劉賀平

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

航天機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度要求都是很高的，而構(gòu)件的配合精度對運(yùn)動(dòng)精度有直接的影響［1］.構(gòu)件的配合精度受到加工和安裝等方面的影響，提高配合精度會(huì)大大增加制造成本［2-3］.因此，分析各運(yùn)動(dòng)副的配合精度對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的影響，確定主要影響因素，減小提高配合精度范圍是十分必要的.目前，間隙機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型有二狀態(tài)模型、三狀態(tài)模型和連續(xù)接觸模型，這里采用二狀態(tài)模型，即接觸－分離模型，來對機(jī)構(gòu)間隙進(jìn)行建模研究［4-5］.

1 空間一維伸展臂工作原理

ADAM伸展臂于2000年NASA在進(jìn)行SRTM (shuttle radar topography mission)項(xiàng)目時(shí)作為合成孔徑雷達(dá)的支撐構(gòu)件，其結(jié)構(gòu)組成的二維剖面如圖1所示.下面簡要介紹其結(jié)構(gòu)組成及伸展臂桿單元的工作原理.

如圖1所示，伸展臂完全收攏狀態(tài)放置在承載筒內(nèi).伸展臂由承載筒和伸展單元2部分組成.承載筒按照其功能可以劃分為3段，圖1中從左向右依次為:裝載段、消旋段、提升段.裝載段用來容納收攏狀態(tài)的伸展臂，由布置在圓筒內(nèi)的8條直軌道組成;消旋段用來把收攏狀態(tài)的伸展臂單元展開成具有良好剛性的空間立方體，由8條布置在圓筒內(nèi)壁的消旋軌道形成;提升段是整個(gè)伸展臂展開、收攏的動(dòng)力源，由螺旋提升筒和4條直軌道組成，在電機(jī)的帶動(dòng)下通過傳動(dòng)機(jī)構(gòu)使得螺旋筒轉(zhuǎn)動(dòng)從而帶動(dòng)伸展臂沿直軌道實(shí)現(xiàn)提升或收攏.伸展臂完全收攏在承載筒后由均布在筒內(nèi)的4條壓緊桿實(shí)現(xiàn)其軸向定位.伸展臂完全展開后由其根部的鎖緊機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)伸展臂與承載筒的定位鎖緊功能.

圖1 伸展臂結(jié)構(gòu)組成Fig.1 Structure of the deploy and retract mast

圖2為空間伸展臂根部的鎖緊機(jī)構(gòu)地面試驗(yàn)裝置的機(jī)構(gòu)簡圖.此鎖緊機(jī)構(gòu)安裝在空間伸展臂上，隨著伸展臂向上運(yùn)動(dòng).當(dāng)此機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，即軌道7與鎖定孔8(安裝于機(jī)架上)相對，軌道6與7被機(jī)架上的相應(yīng)結(jié)構(gòu)擋住，不能向上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)只有滑塊1隨著此伸展臂向上運(yùn)動(dòng).滑塊2在滑塊1的驅(qū)動(dòng)下沿著軌道7向左運(yùn)動(dòng).當(dāng)滑塊2運(yùn)動(dòng)到一定距離后，它就插入到孔8中.當(dāng)滑塊1運(yùn)動(dòng)到與軌道7所在的直線上時(shí)，伸展臂停止，滑塊2插入到孔8的深度最深，從而空間伸展臂被滑塊2鎖定在當(dāng)前位置.但是由于結(jié)構(gòu)方面的精度和控制方面的可靠性等問題，伸展臂停止的位移未必精確.因此，滑塊1的停止位置會(huì)有偏差，這樣滑塊2不能完全插入孔8中，從而空間伸展臂不能被完全鎖緊.因此滑塊1、2的連接采用連桿4、5和彈簧3的方式，這樣在滑塊1沒有運(yùn)動(dòng)到軌道7所在的直線上時(shí)滑塊2就可以在彈力的作用下完全插入孔8中，滑塊1停止的位置有所偏差也不會(huì)影響鎖緊.

圖2 鎖緊機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 Sketch of lock mechanism

根據(jù)此鎖緊機(jī)構(gòu)的功能和動(dòng)作的分析，其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖如圖3所示.由圖3可以看出，此機(jī)構(gòu)能夠被簡化為一個(gè)帶有彈簧的雙滑塊機(jī)構(gòu).

圖3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖Fig.3 Sketch of the bi-slide flex link mechanism

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

在圖3所示機(jī)構(gòu)位置，軌道6、7與機(jī)架固定，滑塊1在運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)下勻速直線運(yùn)動(dòng)，而滑塊2在滑塊1的驅(qū)動(dòng)下水平向左運(yùn)動(dòng).首先，不考慮間隙和連桿變形的理想狀態(tài)下分析其他各構(gòu)件運(yùn)動(dòng).在局部坐標(biāo)系Osxsys中，xs軸始終與連桿的軸線重合.這里，設(shè)mi(i=1，2，3，4，5)為構(gòu)件i的質(zhì)量，F(xiàn)3為彈簧產(chǎn)生的彈力，f為滑塊與軌道的摩擦系數(shù)，Lj(j=4，5)為構(gòu)件j的長度，S為滑塊2在y軸上的位移.因此，滑塊2和連桿5在局部坐標(biāo)系中的振動(dòng)方程為

式中:xs為滑塊2和連桿5沿著局部坐標(biāo)系中的xs軸的位移，c為與速度相關(guān)的阻尼系數(shù)，k為彈簧的彈性系數(shù)，Q為振動(dòng)體在軸向受到的外力［6］.

根據(jù)振動(dòng)體的受力［7］，可得

對方程求解，得到滑塊2在局部坐標(biāo)系中的位移.由于整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換矩陣為

經(jīng)過坐標(biāo)變換，就可以獲得滑塊2在整體坐標(biāo)系中的位移:

式中:H1、S1為Δt時(shí)間間隔前滑塊1和2的位移，S2為Δt時(shí)間間隔后滑塊2的位移.

3 間隙的數(shù)學(xué)模型的建立

圖4所示為鉸鏈的孔與銷，設(shè)鉸鏈間存在間隙值為r，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)鉸鏈的孔與銷的中心的距離大于等于r時(shí)，構(gòu)成鉸鏈的2個(gè)構(gòu)件會(huì)發(fā)生碰撞.2個(gè)構(gòu)件碰撞時(shí)的相互作用力可以利用非線性彈簧－阻尼的形式來描述，即

式中，δ為2個(gè)構(gòu)件接觸時(shí)法向的變形量，F(xiàn)n為法向碰撞力，kj、cj1和cj2分別為2個(gè)構(gòu)件的接觸剛度、法向阻尼系數(shù)和切向阻尼系數(shù)，F(xiàn)t為切向碰撞力，f為兩構(gòu)件的摩擦系數(shù)，vt為2個(gè)構(gòu)件的切向相對速度［8-9］.

設(shè)O1為滑塊1上的銷軸中心，O2為構(gòu)件4上孔的中心.考慮鉸鏈間隙時(shí)，就要增加2個(gè)坐標(biāo)和1個(gè)夾角，即(xO1，yO1)、(xO2，yO2)和夾角θ.

圖4 鉸鏈?zhǔn)疽釬ig.4 Sketch map of joint

由此來判斷2個(gè)構(gòu)件是否接觸，是否有碰撞力的作用.

圖5 移動(dòng)副示意Fig.5 Sketch map of slider

圖5為移動(dòng)副示意圖，設(shè)滑塊垂直于移動(dòng)方向的位移為xL1，導(dǎo)軌垂直于移動(dòng)方向的位移為xL2，設(shè)移動(dòng)副的間隙為r'，則

碰撞力的計(jì)算公式與式(2)相同［10］.

4 考慮間隙時(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

本文認(rèn)為滑塊1和連桿4連接的鉸鏈、連桿5和滑塊2連接的鉸鏈、滑塊2和導(dǎo)軌連接的移動(dòng)副存在間隙.設(shè)xi和yi(i=1，2，4，5)為構(gòu)件i的平動(dòng)位移，βj(j=4，5)為連桿j繞鉸鏈中心的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移，F(xiàn)nij、Ftij和θij(i=1，2和j=4，5)分別為構(gòu)件i和j構(gòu)成的鉸鏈在碰撞時(shí)的法向力、切向力和兩中心連線的偏角，F(xiàn)Ni和FTi(i=1，2)為滑塊i與導(dǎo)軌間碰撞時(shí)的法向力和切向力，F(xiàn)N45為連桿4和5的法向作用力，Ji(i=4，5)為連桿i繞鉸鏈中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［11］.

根據(jù)滑塊2的受力，建立滑塊2在x和y方向的動(dòng)力學(xué)方程.當(dāng)滑塊2的鉸鏈和移動(dòng)副都發(fā)生碰撞時(shí)，

各碰撞力的方向由具體的位置決定.當(dāng)鉸鏈或移動(dòng)副不接觸時(shí)，相應(yīng)的碰撞力為0.這樣通過初始條件，可以求出較小時(shí)間間隔后的滑塊2的加速度，再通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出相應(yīng)的位移S和速度S·［12］.

當(dāng)鉸鏈中2個(gè)構(gòu)件接觸時(shí)，連桿4的動(dòng)力學(xué)方程為

因?yàn)棣?=90°－α，因此

當(dāng)鉸鏈中2個(gè)構(gòu)件不接觸時(shí)，上面的動(dòng)力學(xué)方程中相應(yīng)的碰撞力為零，即可得到此狀態(tài)時(shí)連桿4的動(dòng)力學(xué)方程.按照初始條件和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可進(jìn)一步得到連桿4在迭代時(shí)間間隔后相應(yīng)的位移和速度.利用相同方法，也可求出連桿5的位移和速度.

5 仿真分析

根據(jù)前面的分析獲得的數(shù)學(xué)模型，利用Matlab軟件，編寫程序，獲得運(yùn)動(dòng)參數(shù)的分析結(jié)果.令彈簧剛度k=0.5 N/mm，迭代時(shí)間間隔Δt=0.001 s，孔8最深處距離整體坐標(biāo)系原點(diǎn)0.45 m.在初始狀態(tài)，滑塊1的位移為 H0=0.4 m，滑塊2的位移為S0=0.3 m，滑塊1勻速運(yùn)動(dòng)，其速度為－1 m/s，滑塊2靜止，彈簧的彈力為0，kj=7.15×10－4N/mm，cj1=0.175 N·s/mm，cj2=0，摩擦系數(shù)都為0.05，運(yùn)動(dòng)副的最大間隙值都取0.1 mm.

圖6 兩滑塊位移曲線Fig.6 Displacement curves of two sliders

在圖6中，滑塊1勻速運(yùn)動(dòng)，因此其位移曲線為一條斜線.滑塊2首先由初始位置按照一定的曲線規(guī)律運(yùn)動(dòng)到孔8的最深處，由于2具有一定的速度，所以滑塊2與孔8發(fā)生碰撞.應(yīng)力波在滑塊2中往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次后，滑塊2以碰撞時(shí)具有的速度反向向后運(yùn)動(dòng).由于彈簧給滑塊2和連桿5的彈力是向左的(圖3所示)，所以滑塊2在碰撞后，水平向左減速運(yùn)動(dòng)一段距離，而后再向右運(yùn)動(dòng)，與孔8再次碰撞.滑塊2按照這一規(guī)律運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，滑塊1運(yùn)動(dòng)到H=－0.1這一位置停止，滑塊2稍后也達(dá)到了平衡.

滑塊2處鉸鏈存在間隙時(shí)，滑塊2的中心在x、y方向的誤差值如圖7所示.由圖可知，x方向誤差值以間隙值為中心波動(dòng)，y方向誤差值以0為中心往復(fù)振動(dòng)，二者最終都收斂于各自的平衡點(diǎn).由于滑塊2的重力始終沿x正方向，所以其波動(dòng)中心偏于正方向.而滑塊2在y方向上受力隨著運(yùn)動(dòng)而變化，沒有方向固定的力作用，所以收斂點(diǎn)為0.因此，當(dāng)此系統(tǒng)平衡時(shí)，在重力的作用下，鉸鏈的銷和孔的頂點(diǎn)接觸.圖8為此間隙處的碰撞力，最大值約為18 N.

圖7 滑塊2的鉸鏈間隙位移曲線Fig.7 Displacement curves of sliders 2 clearance

圖8 滑塊2的鉸鏈間隙碰撞力Fig.8 Force curves of sliders 2 backlash

圖9和圖10分別為滑塊2在x方向和y方向的誤差變化曲線.通過改變各處間隙值可知，滑塊1帶動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，因此滑塊1的鉸鏈中兩構(gòu)件主要處于接觸狀態(tài)，振動(dòng)幅度較小.滑塊與導(dǎo)軌間隙可以限制滑塊2在x方向(即垂直于滑塊2導(dǎo)路)的振動(dòng)幅度，滑塊2鉸鏈間隙處的振動(dòng)對x方向誤差影響最大.滑塊2的間隙對滑塊2的y方向位移誤差起決定作用，通過提高滑塊2和連桿5的配合精度、減小滑塊2和導(dǎo)軌的間隙值可以減小滑塊2的運(yùn)動(dòng)誤差、提高其運(yùn)動(dòng)精度，因此這兩處的配合精度要高.而滑塊1處鉸鏈的誤差值對滑塊2的運(yùn)動(dòng)影響較小，此處的配合精度可以低些.

由于間隙存在而產(chǎn)生的碰撞，使得機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件受到碰撞力的影響.碰撞力會(huì)引起構(gòu)件的彈性變形，連桿的受力變形量要比滑塊的大得多，碰撞力會(huì)通過使連桿變形而影響滑塊2的運(yùn)動(dòng)精度.但是碰撞力的作用時(shí)間短，而且2個(gè)連桿通過彈簧連接，連桿一端的連接具有一定的柔性，因此碰撞力對連桿的軸向變形影響很小.2個(gè)連桿的連接處的導(dǎo)向長度較長，限制了連桿的橫向(垂直于軸線方向)變形，因此碰撞力對連桿的橫向變形的影響也很小.這也是彈簧系統(tǒng)改善機(jī)構(gòu)受力狀況的優(yōu)勢體現(xiàn).

圖9 滑塊2在x方向的誤差曲線Fig.9 x direction clearance of slider 2

圖10 滑塊2在y方向的誤差曲線Fig.10 y direction clearance of slider 2

6 結(jié)論

通過空間伸展臂的根部鎖緊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的理論研究和仿真分析，得到如下結(jié)論:

1)在此機(jī)構(gòu)中，滑塊2上的移動(dòng)副和鉸鏈間隙對滑塊2的運(yùn)動(dòng)影響最大，提高這2個(gè)運(yùn)動(dòng)副的配合精度，能夠顯著地減小滑塊2的運(yùn)動(dòng)誤差.

2)間隙存在，碰撞力就存在.碰撞力的數(shù)值都較大，因此完全作用在機(jī)構(gòu)上，會(huì)使構(gòu)件產(chǎn)生大的彈性變形而影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度.而彈簧使構(gòu)件柔性連接，緩解了碰撞力對構(gòu)件的影響，對機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度和運(yùn)動(dòng)都有利.

這樣的分析，確定了機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副的配合精度對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的影響.根據(jù)分析結(jié)果，對各配合精度進(jìn)行正確選擇，可以減小加工成本.

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