在軌服務(wù)飛行器服務(wù)范圍的定量分析

李巖，蔡遠(yuǎn)文，同江

(1.裝備指揮技術(shù)學(xué)院 航天裝備系，北京 101416;2.裝備指揮技術(shù)學(xué)院 試驗(yàn)指揮系，北京 101416)

目前對(duì)于在軌服務(wù)飛行器(on-orbit service vehicle，OSV)待機(jī)軌道服務(wù)范圍的研究［1-6］大多針對(duì)預(yù)定的單一服務(wù)對(duì)象，而OSV在執(zhí)行突發(fā)或應(yīng)急服務(wù)任務(wù)時(shí)，其待機(jī)軌道的選擇則需要兼顧可能出現(xiàn)服務(wù)需求的多個(gè)服務(wù)對(duì)象的群體.因此在選擇待機(jī)軌道時(shí)，需要分析OSV從該軌道出發(fā)，在變軌能力一定的約束下，能夠達(dá)到的空間范圍，本文將此范圍定義為OSV在該待機(jī)軌道的服務(wù)范圍，該范圍也是衡量OSV應(yīng)對(duì)突發(fā)任務(wù)時(shí)的適應(yīng)性和靈活性的重要指標(biāo).合理選擇待機(jī)軌道參數(shù)，可以使單艘OSV的服務(wù)范圍最大化，從而覆蓋更多的服務(wù)對(duì)象，提高OSV的利用效率.待機(jī)軌道服務(wù)范圍可以用OSV變軌后可達(dá)的目標(biāo)軌道集(軌道參數(shù)的范圍)來描述.以下從軌道平面的改變和軌道高度的改變兩方面入手進(jìn)行分析.

1 軌道平面的改變范圍

OSV的待機(jī)軌道，往往與突發(fā)任務(wù)中服務(wù)對(duì)象軌道不在同一平面內(nèi).OSV在待機(jī)軌道的不同位置以最大速度增量改變軌道平面時(shí)，能夠到達(dá)的目標(biāo)軌道(變軌后的軌道)的傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)在某范圍內(nèi)變化.該范圍決定OSV能否到達(dá)服務(wù)對(duì)象的軌道平面.如圖1所示，以圓形軌道為例，該問題可以描述為:已知待機(jī)軌道傾角i0，半徑r0(軌道高度為h0)，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω和OSV最大變軌速度增量Δv，確定變軌位置γ在(－π，π)變化過程中，目標(biāo)軌道傾角i1和升交點(diǎn)赤經(jīng)差ΔΩ的變化范圍.軌道平面的改變可以有圖1中(a)、(b)2種情形［7-9］.

圖1 軌道平面的改變Fig.1 The changing of orbit plane

由于軌道平面改變前后均為圓形軌道，則有

式中:Δi為軌道平面二面角，μ為地球引力常數(shù)，re為地球半徑.

設(shè)AC段對(duì)應(yīng)的地心角為β，以圖1(a)情形為例，根據(jù)球面三角關(guān)系，得到

從中解得ΔΩ(式中ΔΩ向西為正)和β后，代入下式，可得到軌道面改變后的傾角i1:

顯然，當(dāng)γ=0時(shí)，i1=i0－Δi，ΔΩ=0;當(dāng)γ=π時(shí)，i1=i0+Δi，ΔΩ=0;在這2個(gè)特殊位置，改變軌道平面可以只改變軌道的傾角，而不改變升交點(diǎn)赤經(jīng)，且軌道傾角的改變量最大.同樣可以找到另外的特殊位置γΩ，可以只改變升交點(diǎn)赤經(jīng)差ΔΩ，而不改變軌道傾角.此時(shí)的γΩ滿足:

此外，還可以找到使ΔΩ達(dá)到極值的變軌位置γΩmax，由式(3)和(4)得

由極值必要條件定理，γΩmax滿足:

由式(8)和(9)解得

式(10)在各分母不為零的情況下成立，特殊情況如i0=Δi，i0=0等，需要特殊分析.文中僅討論順行軌道范圍的特殊情況，即i0∈［0°，90°］.當(dāng)i0≤Δi時(shí)，說明OSV的軌道平面能夠從待機(jī)軌道改變到赤道平面，甚至越過赤道平面，使計(jì)算所得的最小傾角i1≤0°(i1=i0－Δi).實(shí)際上，此時(shí)變軌后的軌道傾角應(yīng)取絕對(duì)值|i1|，而升交點(diǎn)赤經(jīng)差突變180°.若規(guī)定Ω的變化范圍為［－180°，180°)，那么此時(shí)升交點(diǎn)赤經(jīng)能夠到達(dá)此區(qū)間內(nèi)的任何值.當(dāng)i0=0°時(shí)，向前進(jìn)方向右側(cè)變軌，升交點(diǎn)赤經(jīng)差與變軌位置γ相差180°.圖1(b)情況類似，不再贅述.

以軌道傾角i0=30°，軌道高度h0=300 km，OSV單次最大脈沖速度增量Δv=1 km/s的情況為例.由式(2)得 Δi=7.421 4°，即軌道傾角在22.578 6°～37.421 4°變化;根據(jù)式(6)和(7)可得，當(dāng) γΩ=±83.550 3°時(shí)，軌道傾角不變，此時(shí)ΔΩ=±14.874 1°;由式(8)～(10)可得，ΔΩ的變化范圍為－14.971 1°～14.971 1°，達(dá)到極值時(shí)γΩmax= ±76.9612°.因此，OSV在該待機(jī)軌道上向前進(jìn)方向右側(cè)變軌范圍:傾角為22.578 6°～37.421 4°，升交點(diǎn)赤經(jīng)為(Ω－14.971 1°)～(Ω+14.971 1°)之間的圓形軌道集，如圖2所示.

圖2 Δv=1 km/s時(shí)，OSV從待機(jī)軌道出發(fā)的可達(dá)軌道集Fig.2 When Δv=1 km/s，the reachable orbits of the OSV

2 軌道高度的改變范圍

仍以圓形待機(jī)軌道為例，設(shè)待機(jī)軌道高度為h0，半徑r0，OSV以最大機(jī)動(dòng)速度增量Δv(矢量)在軌道平面內(nèi)變軌.變軌后的瞬時(shí)速度矢量為v0+ Δv，由軌道活力公式可得變軌后的軌道半長軸a:

可見，變軌后瞬時(shí)速度的大小越大，半長軸越大.矢量v0的大小和方向確定，而Δv的大小確定、方向不定.顯然，當(dāng)Δv與v0方向一致時(shí)，|v0+Δv|得到最大值，此時(shí)向高軌變軌后的軌道半長軸達(dá)到最大值amax，所達(dá)到的軌道高度為軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度，也取最大值，設(shè)為hmax:

當(dāng)Δv與v0方向相反時(shí)，|v0+Δv|得到最小值，此時(shí)向低軌變軌后的軌道半長軸達(dá)到最小值amin:

例如:Δv=1 km/s時(shí)，軌道傾角為30°，高度為300 km的圓形待機(jī)軌道的可達(dá)區(qū)域?yàn)?0～5 382.2 km.

Δv=1 km/s時(shí)，OSV可達(dá)區(qū)域隨待機(jī)軌道高度的變化曲線如圖3所示.

然而，在上述過程中，變軌后軌道為霍曼橢圓軌道，并沒有完成軌道間的轉(zhuǎn)換.要使OSV最終進(jìn)入另一圓形軌道，還需要再次施加速度增量.所以，hmax和hmin表征了在一定機(jī)動(dòng)能力下，OSV可以到達(dá)的最大軌道范圍，僅有理論性的指標(biāo)意義.在軌道高度變化的實(shí)際操作過程中，一般不會(huì)將OSV的機(jī)動(dòng)能量僅用于一次變軌，到達(dá)上述最大高度;較常用的是通過至少2次速度脈沖，使OSV完成兩共面不相交軌道的過渡.以兩圓形軌道的霍曼轉(zhuǎn)移過程為例進(jìn)行分析，圖4中描述了霍曼轉(zhuǎn)移的基本過程［10-13］.

圖3 待機(jī)軌道高度的最大可達(dá)范圍Fig.3 The maximum reachable range from the parking orbit

圖4 霍曼軌道轉(zhuǎn)移Fig.4 The Hochmann transfer model

圖4中低軌半徑為rp，高軌半徑為ra，點(diǎn)P和A分別為霍曼橢圓軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，設(shè)低軌運(yùn)行速度為vL，高軌為vH，則

而霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)速度分別為vp和va:

那么，兩次速度脈沖增量的和Δv:

為了方便計(jì)算，令ra/rp=b，由低軌向高軌轉(zhuǎn)移時(shí)，rp取待機(jī)軌道半徑r0，則

若僅研究同步軌道以內(nèi)的目標(biāo)軌道和待機(jī)軌道時(shí)，b的取值范圍約為［1，7).要分析在最大速度增量Δv=1 km/s的前提下，OSV從待機(jī)軌道出發(fā)能夠達(dá)到的最高軌道高度hmax，需要根據(jù)式(17)求解半徑比b，進(jìn)而得出最高軌道范圍hmax=b×r0－re.hmax解析表達(dá)式比較復(fù)雜，利用牛頓迭代法或直接搜索法得到數(shù)值解，如圖5所示.

由高軌向低軌轉(zhuǎn)移時(shí)，ra取待機(jī)軌道半徑r0，則

此時(shí)，b的取值范圍為［1，r0/re).同樣利用數(shù)值計(jì)算方法得到hmin=r0/b－re，如圖5所示.

圖5 霍曼轉(zhuǎn)移時(shí)，待機(jī)軌道可達(dá)范圍Fig.5 The maximum reachable range from the parking orbit，when Hochmann transfer

對(duì)比可見，在圖5中，采用2次沖量轉(zhuǎn)移的待機(jī)軌道的可達(dá)范圍大大縮小.在待機(jī)軌道高度為0～1 992 km時(shí)，待機(jī)軌道以下的同平面軌道區(qū)域全部可達(dá);軌道高度大于1 992 km后，低軌不可達(dá)的區(qū)域逐漸增加;在待機(jī)軌道高度大于17 481 km之后，從待機(jī)軌道到同步軌道高度36 000 km之間的區(qū)域均可達(dá).所以，在最大速度增量為1 km/s約束下，OSV采用霍曼二次脈沖增量轉(zhuǎn)移時(shí)，針對(duì)低軌目標(biāo)的待機(jī)軌道高度可以控制在1 992 km以內(nèi);針對(duì)中高軌目標(biāo)，則可將待機(jī)軌道的高度選為高于10 000 km;針對(duì)同步軌道目標(biāo)，則要高于17 481 km.

3 軌道高度和軌道平面改變的綜合分析

OSV的最大脈沖速度增量與可用于軌道機(jī)動(dòng)的推進(jìn)劑質(zhì)量相關(guān).在執(zhí)行服務(wù)任務(wù)時(shí)，OSV需要對(duì)推進(jìn)劑質(zhì)量進(jìn)行合理分配，分別用于改變軌道平面和軌道高度.推進(jìn)劑質(zhì)量的分配等價(jià)于最大速度增量Δv的分配.

下面以最大速度增量Δv=1 km/s為例，研究OSV從圓形待機(jī)軌道出發(fā)，進(jìn)行一次軌道平面改變和一次雙脈沖霍曼轉(zhuǎn)移時(shí)，能夠到達(dá)的圓形目標(biāo)軌道集，從而確定OSV從該待機(jī)軌道變軌的可達(dá)范圍.

設(shè)OSV用于改變軌道平面的速度增量為Δvp= kΔv，其中k∈［0，1］，定義為用于改變軌道平面的速度增量分配系數(shù).那么，用于改變軌道高度的速度增量為Δvh=(1－k)Δv.由前兩小節(jié)的分析，可知目標(biāo)軌道集的傾角i1、待機(jī)軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)差ΔΩ以及軌道高度h1的變化范圍，即待機(jī)軌道的可達(dá)范圍.這些參數(shù)是待機(jī)軌道傾角i0，高度h0和OSV速度增量Δv的函數(shù)為便于表述，分別用fi，fΩ和fh表示，關(guān)系式分別為式(1)～(5)、式(8)～(10)和式(14)～(18).按照軌道平面和軌道高度改變的先后順序不同分為2種情況.

先改變軌道平面然后改變軌道高度的情況:先改變軌道高度然后改變軌道平面的情況:

由上述關(guān)系式可知，目標(biāo)軌道集高度的變化范圍僅與待機(jī)軌道高度和分配的速度增量有關(guān)，與軌道傾角無關(guān)，所以h1的變化范圍與軌道平面和高度改變先后順序無關(guān).而軌道平面改變帶來的軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)差的變化在變軌順序不同時(shí)，存在差異.由軌道動(dòng)力學(xué)常識(shí)可知，同樣的速度增量在較高軌道產(chǎn)生的軌道平面改變范圍較大.以高度h0= 17 481 km，傾角i0=30°，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω0=0°的圓形待機(jī)軌道為例，圖6為不同變軌順序時(shí)，軌道高度和傾角可達(dá)范圍比較.

可見，在確定OSV空間部署和變軌策略時(shí)，為了使OSV在有限的機(jī)動(dòng)能力限制下，達(dá)到最大的服務(wù)范圍或盡可能節(jié)省燃料消耗，需要遵循“在高軌道改變軌道平面”的原則.最大服務(wù)范圍如圖7所示.

升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化范圍，同樣與軌道平面的改變范圍有關(guān)，其分析過程與軌道傾角變化范圍相似，這里僅給出其變化范圍與軌道高度可達(dá)范圍的關(guān)系，如圖7(c).

圖6 變軌策略不同時(shí)，軌道高度和傾角可達(dá)范圍比較Fig.6 Different reachable range of height and inclination angle according to different orbit changing

4 服務(wù)范圍隨待機(jī)軌道高度、傾角和OSV機(jī)動(dòng)能力的變化分析

為了更清楚的了解待機(jī)軌道高度、傾角以及OSV機(jī)動(dòng)能力不同時(shí)，服務(wù)范圍的變化情況，設(shè)計(jì)如下仿真試驗(yàn)(數(shù)據(jù)見表1).

圖7 待機(jī)軌道最大可達(dá)范圍Fig.7 The maximum reachable range from the parking orbit

軌道高度選取1 992 km和17 481 km，由前述分析可知，它們分別為OSV在1 km/s機(jī)動(dòng)能力下，能夠?qū)崿F(xiàn)向低軌全部覆蓋的最高高度和到達(dá)GEO的最低高度.試驗(yàn)1(圖8)可以看出，可達(dá)目標(biāo)軌道集(服務(wù)范圍)的軌道高度范圍、傾角范圍、升交點(diǎn)赤經(jīng)差變化范圍均隨著高度的增高而增大，服務(wù)范圍的空間體積也變大.

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Simulation data

試驗(yàn)2(圖9)中選擇了軌道傾角為0°時(shí)的特殊情況進(jìn)行對(duì)比.圖9(a)中軌道傾角為0°時(shí)待機(jī)軌道的服務(wù)范圍并非減半，由于此時(shí)無論OSV向前進(jìn)方向右側(cè)或左側(cè)變軌，其軌道平面法線與地軸交角(軌道傾角定義)只能取正值，而其升交點(diǎn)赤經(jīng)則相差180°，如圖9(b)所示.因此，其服務(wù)范圍的空間體積并沒有減半.相比之下其升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化范圍增大，可以在(－180°，180°)取值.事實(shí)上，只要k≠0，其升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化范圍均為(－180°，180°)，圖9(b)中傾角為0°時(shí)的升交點(diǎn)變化范圍應(yīng)當(dāng)近似矩形，誤差是由于繪圖時(shí)中間變量k的取值步長較大(0.1)造成的.因此，軌道傾角在順行軌道范圍變化時(shí)，可達(dá)目標(biāo)軌道集的軌道高度范圍不變;軌道傾角范圍隨待機(jī)軌道傾角變化而整體平移;升交點(diǎn)赤經(jīng)差變化范圍隨著待機(jī)軌道傾角增大而減小;服務(wù)范圍的空間體積無變化.

圖8 試驗(yàn)1服務(wù)范圍比較Fig.8 Servicing area comparison of simulation 1

圖9 試驗(yàn)2服務(wù)范圍比較Fig.9 Servicing area comparison of simulation 2

顯然，試驗(yàn)3(圖10)中，服務(wù)范圍的各個(gè)參數(shù)均隨軌道機(jī)動(dòng)能力的減小而減小.

從上述對(duì)比和分析可以看出，若不考慮發(fā)射成本和消耗，為了使機(jī)動(dòng)能力有限的單艘OSV服務(wù)范圍最大化，需要在滿足預(yù)定覆蓋要求的前提下，選擇高度盡可能大，傾角盡可能小的待機(jī)軌道.

圖10 試驗(yàn)3服務(wù)范圍比較Fig.10 Servicing area comparison of simulation 3

5 結(jié)束語

以上分析基于二體問題動(dòng)力學(xué)模型，以待機(jī)軌道為圓形的情況為例，討論單艘OSV以一定機(jī)動(dòng)能力從待機(jī)軌道變軌可達(dá)的空間范圍.在三維空間中，該范圍是如圖7(b)中近四邊形區(qū)域繞過地心的待機(jī)軌道平面法線旋轉(zhuǎn)360°得到的輪環(huán)形空域(如圖7(a)).

從空域覆蓋性角度，提出了待機(jī)軌道選擇的基本原則和思路，即OSV待機(jī)軌道的選擇至少應(yīng)使其服務(wù)范圍能夠到達(dá)服務(wù)目標(biāo)的運(yùn)行空間.文中提出的服務(wù)范圍的計(jì)算方法為多OSV組網(wǎng)策略的研究提供了理論依據(jù).但該方法采用的軌道動(dòng)力學(xué)模型較簡單，未考慮攝動(dòng)影響以及橢圓軌道等復(fù)雜情況，為得到更加準(zhǔn)確和實(shí)用的待機(jī)軌道及其服務(wù)范圍，需要考慮多種復(fù)雜條件，進(jìn)一步細(xì)化模型和算法.

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