低能光子的量子引力“遺跡”效應(yīng)

邵立晶，馬伯強(qiáng)

(北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871)

隨著人們對(duì)于各類對(duì)稱性與對(duì)稱性破缺的深入理解，以及量子引力理論發(fā)展的需要，物理學(xué)家開(kāi)始考慮在極高能量下洛倫茲對(duì)稱性存在著破缺的可能性。 倘若量子引力能標(biāo)1.22×1019GeV下存在著洛倫茲破壞行為，那么，在低能下就會(huì)有微小的殘留“遺跡”效應(yīng)，比如說(shuō)，對(duì)正則能動(dòng)量色散關(guān)系E2＝p2＋m2會(huì)產(chǎn)生一個(gè)小的修正。進(jìn)一步地，這修正將體現(xiàn)出低能下豐富多彩的量子引力現(xiàn)象學(xué)，為量子引力理論的實(shí)驗(yàn)探索提供了一個(gè)寶貴的窗口[1]。

雖然洛倫茲破壞即使存在，修正項(xiàng)也會(huì)由于普朗克物理的壓低而很小，可是，令人感到幸運(yùn)的是，自然界存在一定的機(jī)制來(lái)“放大”量子引力的效應(yīng)，如，長(zhǎng)基線的宇宙距離的傳播，超精準(zhǔn)地球?qū)嶒?yàn)的測(cè)量等。 同時(shí)，如今的地球?qū)嶒?yàn)與天文觀測(cè)的技術(shù)發(fā)展，在精度上已部分達(dá)到探測(cè)量子引力“遺跡”的能力，并在未來(lái)的實(shí)驗(yàn)裝置中將有更好的改進(jìn)。這些觀測(cè)可用來(lái)探測(cè)與約束洛倫茲破壞效應(yīng)，并以此來(lái)區(qū)分、檢驗(yàn)或約束量子引力理論。

本文討論了在量子引力唯象學(xué)領(lǐng)域最熱門(mén)的“標(biāo)準(zhǔn)模型拓展”以及在此框架下的光子的色散關(guān)系。進(jìn)一步地，文章研究了量子引力在天體物理的高能光子領(lǐng)域上所體現(xiàn)出的效應(yīng)，并與最新的實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，對(duì)量子引力理論進(jìn)行一定的檢驗(yàn)與約束。

1 量子引力理論與光子的色散關(guān)系

不同的量子引力理論給出了不同的預(yù)言，如弦論[2]、時(shí)空泡沫理論[3]、圈引力理論[4]和非對(duì)易幾何場(chǎng)論[5－7]等。 一般來(lái)說(shuō)，它們都會(huì)給出對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的能動(dòng)量色散關(guān)系E2＝p2＋m2的修正，可是具體的修正項(xiàng)與修正行為有所不同，所以能夠從實(shí)驗(yàn)上加以區(qū)分與鑒別。

對(duì)于洛倫茲破壞物理的描述，最直接與最有效的出發(fā)點(diǎn)就是把洛倫茲破壞項(xiàng)納入到標(biāo)準(zhǔn)模型這個(gè)“有效量子場(chǎng)論”的框架中。 Colladay和Kostelecky做了這方面最成功的嘗試，系統(tǒng)地發(fā)展了“標(biāo)準(zhǔn)模型拓展”[8－9]，這是 SU(3)?SU(2)?U(1)對(duì)稱性下的標(biāo)準(zhǔn)模型的最小擴(kuò)展。擴(kuò)展的拉氏量中引入了直接破壞洛倫茲對(duì)稱性的“洛倫茲破壞項(xiàng)”。這些項(xiàng)可以看成是從高能標(biāo)到低能標(biāo)時(shí)“對(duì)稱性自發(fā)破缺”而導(dǎo)致張量場(chǎng)獲得真空期望值，并進(jìn)一步與標(biāo)準(zhǔn)模型中的場(chǎng)量耦合。模型保留了標(biāo)準(zhǔn)模型中的很多好的性質(zhì)，如規(guī)范不變性、能動(dòng)量守恒、洛倫茲協(xié)變性、微觀因果性、能量的正定性和反常相消等。而且，由于這個(gè)拓展的理論并沒(méi)有離開(kāi)大家比較熟悉的量了場(chǎng)論的框架，理論的預(yù)言與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)檢驗(yàn)也比較方便，所以，很多研究集中于此。

Colladay和Kostelecky初步研究的“標(biāo)準(zhǔn)模型拓展”是可重整的有效場(chǎng)論，他們的做法十分直觀有效。他們把張量場(chǎng)由于洛倫茲自發(fā)破缺導(dǎo)致的真空期望值作為拉氏量中的常數(shù)系數(shù)，通過(guò)引入它們與標(biāo)準(zhǔn)模型的場(chǎng)量的耦合，這些項(xiàng)將展現(xiàn)出洛倫茲破壞的物理，例如，對(duì)于光子場(chǎng)而言，所有可重整的洛倫茲破壞算符可通過(guò)對(duì)稱張量（kF）κλμν與反對(duì)稱張量（kAF）κ引入。具體來(lái)說(shuō)，純光子部分的拉氏量為[8，9］，

其中，(kF)κλμν部分是 CPT 為正的，而(kAF)κ部分破壞了CPT對(duì)稱性，是CPT負(fù)的。要注意的是，這個(gè)拉氏量中的系數(shù)kA與kAF，雖然也帶有洛倫茲指標(biāo)，但與其他的場(chǎng)量不同，它們是破壞了洛倫茲協(xié)不變性的。從形式上來(lái)看，可以很容易看出它們保持了理論的洛化茲協(xié)變性；直觀地說(shuō)，也就是保持了上下指標(biāo)的有效收縮。所以，新引入的洛倫茲破壞項(xiàng)，在粒子的洛倫茲變換下，它們作為背景常場(chǎng)量，是不變的，而對(duì)于坐標(biāo)第的變換，它們是與其他的張量一樣變化的；這就是引入洛倫茲破壞項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)。同樣，通過(guò)與上面一樣的方法，也可以引入標(biāo)準(zhǔn)模型的其他成分[8－9]。

其后，Myers，Pospelov[10]和Mattingly等人系統(tǒng)地研究了不可重整的“標(biāo)準(zhǔn)模型拓展”。不可重整的理論的好處在于，在拉氏量中引入的修正項(xiàng)是直接受到普朗克能量壓低的，人而能夠更加自然地給出“微小”的洛倫茲破壞效應(yīng)，在無(wú)量綱耦合系數(shù)量級(jí)為O(1)情況下，能夠與實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)沒(méi)有嚴(yán)重的沖突。不可重整的理論給出了更好的普朗克能標(biāo)壓低的機(jī)理。所以，近些年的研究，對(duì)于不可重整的量子場(chǎng)論也有了很多的涉及與討論。

對(duì)于質(zhì)量量綱為5-維的標(biāo)準(zhǔn)模型拓展，依據(jù)拉氏量在CPT變換下的行為，我們可以把這些5-維的不可重整項(xiàng)分為CPT為廳和CPT為偶兩大類[11]。CPT為廳的光子修正項(xiàng)可寫(xiě)為[11－12]

其中的u是個(gè)固定的類時(shí)四矢量，表明了特殊的參考系方向，F(xiàn)～的定義為F～μν=∈μνρλFρλ/2；PR，L=(1±γ5)/2是左右手投影算符，Dμ＝?μ＋ieAμ是QED中的協(xié)變微商；ξ，δR，L和ζR，L是量級(jí)為 O(1)的洛倫茲破壞系數(shù)；另外，LV-中的“-”號(hào)表示CPT為奇，后面類似的“+”號(hào)表示CPT為偶。CPT為偶的5-維的光子修正項(xiàng)并不存在，即另外，Mattingly給出了空間旋轉(zhuǎn)不變情形下的6-維質(zhì)量量綱的洛倫茲破壞的光子項(xiàng)[11－12]

通過(guò)5-維，或者6-維的拉氏量，我們可以得到相應(yīng)情況下的光子能動(dòng)量色散關(guān)系[12]

其中，n＝5表示5－維情況，n＝6表示6－維情況。在有效場(chǎng)論中，這就意味著5－維洛倫茲破壞項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致雙折射現(xiàn)象[13]。

2 光子傳播時(shí)延

可以看到，在量子引力理論中，傳統(tǒng)的色散關(guān)系可能會(huì)受到微小的修正。正是這微小的修正，衍生出了豐富多彩的洛倫茲破壞唯像學(xué)研究。在洛倫茲破壞修正的色散關(guān)系下，我們假設(shè)粒子速度v＝?E(p)/?p仍舊成立的話，那么，對(duì)于光子來(lái)說(shuō)，我們就會(huì)有非恒定的光速，寫(xiě)成泰勒展開(kāi)形式，有

其中，ξ和ζ是洛倫茲破壞產(chǎn)生的修正系數(shù)，對(duì)應(yīng)于前面理論中的洛倫茲破壞參數(shù)?，F(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)與觀測(cè)傾向于排除它們?yōu)樨?fù)數(shù)的情況。如果它們是正數(shù)的話，就意味著越高能量的光子，速度越慢。而另一方面，如果ξ≠0的話，那么，ζ項(xiàng)的修正完全可以忽略。

由于光子的速度對(duì)于能量有所依賴，那么對(duì)于同時(shí)發(fā)射的不同能量的光子，經(jīng)過(guò)一定的距離所消耗的時(shí)間會(huì)有所不同。我們這里感興趣的是宇宙學(xué)距離上的光子傳播。考慮到宇宙的膨脹效應(yīng)，能量為Eh的“高能光子”相對(duì)于能量為E1的“低能光子”有個(gè)洛倫茲破壞導(dǎo)致的時(shí)間延遲[14]，

下面考慮這個(gè)效應(yīng)在γ-暴 (GRB)觀測(cè)中的應(yīng)用。 近來(lái)由于觀測(cè)上的進(jìn)步，如Swift衛(wèi)星與Fermi衛(wèi)星等的上天，GRB的研究有了實(shí)質(zhì)性的突破進(jìn)展。特別是，F(xiàn)ermi衛(wèi)星的LAT裝置的探測(cè)能量達(dá)到300 GeV以上，使得GRB的高能研究成了一個(gè)有堅(jiān)實(shí)觀測(cè)實(shí)事基礎(chǔ)的領(lǐng)域。同時(shí)，GEB的高能端的研究也能用來(lái)檢驗(yàn)與約束新物理，洛倫茲破壞就是其中著名的一例。Amelino－Camelia等人[3]首先提出了通過(guò)伽瑪暴的精細(xì)的光變曲線與宇宙學(xué)距離的放大來(lái)檢驗(yàn)洛倫茲破壞效應(yīng)導(dǎo)致的光速對(duì)于能量的依賴關(guān)系。這里主要的出發(fā)點(diǎn)是從方程(6)引入的洛倫茲破壞延時(shí)，來(lái)看看是否真的在伽瑪暴的光變曲線中存在。

可是，由于伽瑪暴的光變曲線非常復(fù)雜，所以高能光子對(duì)于低能光子的延時(shí)的測(cè)量是個(gè)比較不確定的事情，容易引入人為的偏見(jiàn)，也可能存在儀器測(cè)量上的不確定性。就比如在GRB 090510的討論中，就涉及了各種可能用來(lái)確定洛倫茲破壞延時(shí)的可能性[15]。為了討論上的一致性，選取了Fermi LAT中的最高能量光子相對(duì)于Fermi GBM裝置的觸發(fā)光子的延時(shí)。由于GBM裝置的觸發(fā)閾值為0.1 MeV，而最高能量的光子在幾個(gè)或者幾十個(gè)GeV的量級(jí)上，所以，在方程(6)中，可以把E1近似取為零[17]。

Fermi LAT裝置由于只能探測(cè)到非常高能量的伽瑪暴，所以它大致上每個(gè)月能夠探測(cè)到一例。另外，在分析中又需要伽瑪暴的紅移（距離）信息，而紅移的測(cè)量又是需要其他的天文觀測(cè)裝置的及時(shí)跟進(jìn)。所以，F(xiàn)ermi LAT測(cè)量到的伽瑪γ－暴中滿足我們需要的并不多。后面的討論基于有距離信息z的4個(gè)Fermi LAT的高能伽瑪暴，GRB 080916C， GRB 090510， GRB 090902B， GRB 090926A。

假設(shè)觀測(cè)到的高能光子對(duì)于低能光子的延時(shí)效應(yīng)全部由洛倫茲破壞效應(yīng)提供，即

那么，根據(jù)方程(6)，可以分別得到洛倫茲破壞對(duì)于能量是線性依賴以及平方依賴兩種情況下的洛倫茲破壞能標(biāo)EQG，L和EQG，Q。從計(jì)算結(jié)果中我們看到[17]，不同的伽瑪暴的延時(shí)效應(yīng)給出的洛倫茲破壞的能標(biāo)是不同的，甚至在數(shù)量級(jí)上有所差異。如，使用最小二乘法線性回歸后，可以看到，線性能量依賴情況下的洛倫茲破壞能標(biāo)為[16]

平方能量依賴情況下的洛倫茲破壞能標(biāo)為[17]

從上面兩個(gè)旨果中可以看到，不同伽瑪暴所預(yù)言的能量大小之間存在很大的差異[16－17]。這里，就反應(yīng)出理論的不自洽性或者唯象模型中缺少著重要的因素。

在上面的討論中，有個(gè)非常強(qiáng)的假設(shè)，就是這些γ－暴中的高能光子與低能光子是同時(shí)發(fā)射的。但是，這些光子是否是同時(shí)發(fā)射的呢？這還是一個(gè)非常頭疼的天文問(wèn)題。事實(shí)上，研究γ－暴的輻射機(jī)制的科學(xué)家們，對(duì)于γ－暴輻射的問(wèn)題，還沒(méi)有一個(gè)非常好的共識(shí)。另一方面，從方程(8)和方程(9)中，可以看到，使用簡(jiǎn)單的假設(shè)，也就是方程(7)，得到的結(jié)論比較分散，對(duì)中心值的集中很弱。出于以上兩點(diǎn)考慮，有必要引入伽瑪暴的天體物理源輻射機(jī)制對(duì)于高級(jí)光子與低能光子的延遲的影響。2006年，Ellis等人首先做了這方面的嘗試，分析了BATSE，HETE和Swift的伽瑪暴的高能延遲現(xiàn)象[18]。但當(dāng)時(shí)的數(shù)據(jù)并沒(méi)有明確的高能延遲現(xiàn)象的觀測(cè)，所以，他們的結(jié)論給出的洛倫茲破壞的能標(biāo)的可信度不高?，F(xiàn)在，由于有了Fermi LAT的高能光子的觀測(cè)，已經(jīng)明確看到了高能光子相對(duì)于低能光子的延遲，那么，就有必要真正認(rèn)真地考慮一下這樣的觀測(cè)能夠給出什么樣的洛倫茲破壞能標(biāo)[16]。

在考慮源效應(yīng)的分析中，最主要的出發(fā)點(diǎn)是，洛倫茲破壞下光子傳播的延時(shí)是隨距離面暗增大的，因?yàn)樗且环N傳播“引力介質(zhì)”的效應(yīng)；而源方面的延遲則可以近似為與距離無(wú)關(guān)的一個(gè)常數(shù)Δtin。這樣，方程(7)應(yīng)該修改為

經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單的代數(shù)操作，可以把上式轉(zhuǎn)化為［16－18］

其中，

從方程(11)中可以看到，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的直線方程，除了截距與斜率未知外，其他都是已知量；而截距代表的是源內(nèi)部的效應(yīng)，斜率是洛倫茲破壞能標(biāo)的倒數(shù)或者數(shù)的平方。

因?yàn)樵磧?nèi)部的延遲可能與伽瑪暴的內(nèi)部類型有關(guān)，從而預(yù)期長(zhǎng)暴 (GRB 080916C，GRB 090902B，GRB 090926A)與短暴(GRB 090510)會(huì)有不同的內(nèi)部延遲時(shí)間Δtin。從擬合結(jié)果可以看到[16]，長(zhǎng)暴與短暴兩種情況下，結(jié)果偏離直線的程度非常之小 (特別是只考慮長(zhǎng)暴的情況)。具體的分析可以得到[16]，如果只考慮長(zhǎng)暴，

如果把短暴也考慮在內(nèi)，得到的結(jié)果仍舊十分類似，而不確定性(誤差)有所增大[17]，

從上面的結(jié)果與前面不考慮源效應(yīng)的結(jié)果對(duì)比分析可見(jiàn)，理論誤差的減小是十分明顯的。這說(shuō)明了考慮源效應(yīng)確實(shí)帶來(lái)了一定的優(yōu)越性，這樣情況下的模型與真實(shí)的物理觀測(cè)有更好的一致性。

3 總結(jié)

洛倫茲破壞的研究是出于對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模型與廣義相對(duì)論理論存在著嚴(yán)重的沖突的考慮，也是對(duì)新物理—量子能上能下力理論—的有益探索。很多的洛倫茲破壞下放都給出了修正的能動(dòng)量色散關(guān)系，從而導(dǎo)致了豐富多彩的洛倫茲破壞唯心論像學(xué)。而到關(guān)重要的是，這些現(xiàn)象中有很多是可以通過(guò)地面實(shí)驗(yàn)或者天文觀測(cè)來(lái)檢驗(yàn)的，從而能夠使得背后吏深屋次的量子引力理論受到部分的檢驗(yàn)。這無(wú)疑是激動(dòng)人心的物理探究領(lǐng)域。

這方面的研究是近10年內(nèi)才特別地興盛起來(lái)的，并迅速吸引了很多物理學(xué)家的極大關(guān)注。從理論方面說(shuō)，這里還有很多的理論問(wèn)題與檢驗(yàn)問(wèn)題需要澄清與探討；可幸的是，從實(shí)驗(yàn)與觀測(cè)方面來(lái)說(shuō)，隨著現(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)技術(shù)的改進(jìn)與新興的觀測(cè)平臺(tái)的發(fā)展，如Fermi衛(wèi)星，Pierre Auger和HESS望遠(yuǎn)鏡等，洛倫茲破壞物理有望在近10年內(nèi)有重大的進(jìn)展，為人類進(jìn)一步認(rèn)識(shí)時(shí)空的基本性質(zhì)做出貢獻(xiàn)。

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