一類擬線性薛定諤方程解的爆破

胡文燕

（晉中學院數(shù)學學院，山西晉中 030600）

薛定諤方程是量子力學的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運動的基本規(guī)律，它同時擁有與拋物線方程和雙曲型方程類似的性質(zhì)。近些年來，薛定諤方程受到了許多數(shù)學工作者的廣泛關(guān)注，不僅因為它在非線性光學領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且有很多模型簡化后，都是一些確定的非線性薛定諤方程，我們考慮如下擬線性薛定諤方程的初值問題：

其中，(x,t)∈RN×R,u:RN×R→C是一復值函數(shù)，△是標準的N維Laplace算子，且p＞2，i2=-1,β,θ:RN→R均為實值函數(shù)，u0(x)是光滑的，并且

此時

對于上述問題，前人已經(jīng)作了一些研究，得出了一些結(jié)果，在文獻[1-2]中介紹了駐波解的存在性，文獻[3－5]對該問題初值的局部適定性及全局適定性進行了探討。郭柏靈等人對該初值問題解的爆破現(xiàn)象進行了研究，得出了如下結(jié)論[6]：

定理1假設(shè)u(t)∈W2,2(RN)(N≥1)是初值問題（1）的解，并且

1）u0(x)∈W2,2(RN)(N≥1),β≥0,θ＞0,且≤p＜2·2*:=2×2*。 這里，若 N≥3,則若N＜3，則2*=∞；

從而，存在T0＞0,使得

定理1的證明過程請參看文獻[6]。需要特別指出的是，在上述結(jié)論的證明中，要求L2(RN)，這就對初值u0有了限制。為能將結(jié)論應(yīng)用到更多的初值中，我們將其推廣到各向異性空間（所謂各向異性空間，是指空間不對稱的情形）中去。

下面，對各向異性空間中擬線性薛定諤方程解的爆破進行研究，可得如下結(jié)論：

引理1如果u(t)∈H2(RN)是初值問題（1）的解，那么

2)H(u(t))=H(u0),?t∈R。

定理2如果u(t)∈H2(RN)是初值問題（1）的解，而且1)u0(x)∈H2(RN), β≥0,θ＞0,且當N=3時,;當N≠3時，2*=∞；

其中，y=(x1,…,xN-K),x=(y,xN-K+1,…,xN)

從而，存在T0＞0,使得初值問題（1）的解在有限時刻T0爆破。更多地，若

則 T0≤ T*,其中

此時

其中，y=(x1,…,xN-K),x=(y,xN-K+1,…,xN)于是有

經(jīng)換算，

由 H(u(t))=H(u0)β＞0,θ＞0，有 F'1(t)≥0。即

從而可證得解u在有限時刻T0爆破。而且由

可得

從而，F(xiàn)'(t)=-4F1(t)＜0，且

由H?lder不等式，得

從而

證畢。

至此，我們得出了在各向異性空間中，擬線性薛定諤方程的解在有限時間內(nèi)會爆破。

[1]Lin J Q,Wang Y,Wang Z Q.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations[J].J Diff Eqns,2003:407-426.

[2]JLin Q,Wang Y，Wang Z Q.Solutions for quasilinear Schrodinger equations via Nehari method[J].Commun Partial Differ.Eqns,2004,29:879-901.

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[4]H Lange,M Poppenperg，H Teismann.Nash-Moser methods for the solutions of quasilinearSchr?dinger equations[J].Commun.Partial Differ Eqns,1999,24:1399-1418.

[5]M Poppenberg.On the local well posedness of quasilinear Schr?dinger equations in arbitrary spacedimension[J].J Diff.Eqns,2001:83-115.

[6]Guo Boling,Chen Jianqing，Su Fengqiu.The"Blow up"problem for a quasilinear Schr?dingerequation.Journal of mathematical physics 46,073510[P].2005.