三視圖能否正確而完整表達(dá)簡(jiǎn)單形體的探討

(西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都610500）

對(duì)于學(xué)習(xí)機(jī)械制圖者來說，三視圖是需要掌握的一種最基本的視圖表達(dá)方法[1-2]，因?yàn)槠淇煞从硨?shí)形、作圖簡(jiǎn)便、利于圖示和圖解，并且在一個(gè)形體按正確的方位擺放好后，其基本的三視圖是唯一確定的，不象向視圖、剖視圖等可能會(huì)有多種表達(dá)方式。此外，在生產(chǎn)實(shí)踐中，三視圖是應(yīng)用最為廣泛的一種視圖方法。正是由于三視圖使用的廣泛性，在人們的直觀印象里，覺得單從完整性上考慮，任何一個(gè)形體好象都可以用三視圖來完全表達(dá)。筆者查閱了相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)書籍文獻(xiàn)并沒有對(duì)三視圖的唯一確定性進(jìn)行具體說明，基本上都是一筆帶過，如 “有些機(jī)件的外形和內(nèi)形都較復(fù)雜，僅用三視圖和‘可見部分畫粗實(shí)線，不可見部分畫細(xì)虛線’的方法不可能完整、清晰地把它們表達(dá)出來[3]。”這種簡(jiǎn)單的描述顯然不能說明三視圖就不能唯一表達(dá)一個(gè)形體。換句話說，給出一組三視圖，根據(jù)視圖構(gòu)想出的形體是否唯一，還沒有得到理論性的證明。要想證明上述問題，最簡(jiǎn)便的方法是找出一個(gè)反例。下面，筆者對(duì)三視圖能否正確而完整表達(dá)簡(jiǎn)單形體進(jìn)行討論。

1 問題的提出與討論

1．1 關(guān)于該問題的相關(guān)說明

如果在一組三視圖中，如果能找出2種或2種以上的形體完全符合這組三視圖，那就可以證明三視圖不能完整而唯一表達(dá)一個(gè)形體。筆者認(rèn)為，這種找尋只能從簡(jiǎn)單形體入手。因?yàn)檩^為復(fù)雜的零件圖或裝配圖也許用三視圖不能完全表達(dá)，但這種說明極其繁雜，將零件圖或裝配圖改成三視圖更是難上加難。所以，研究重心應(yīng)該是簡(jiǎn)單形體。對(duì)于點(diǎn)、線、面這些最基本的元素甚至更多簡(jiǎn)單形體，僅用2個(gè)視圖就可以完全表達(dá)。根據(jù)2個(gè)視圖，可以找出另外1個(gè)視圖。上述過程涉及到許多幾何方法，如 “長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”或者其他特殊的方法(換面法）等[1-2]。即使是很復(fù)雜的曲線投影如相貫線的投影，利用三視圖來表達(dá)也是唯一的，只是其度量稍顯復(fù)雜[4]。所以，利用三視圖來表達(dá)已經(jīng)相當(dāng)完備。筆者嘗試從視圖的 “盲區(qū)”來找切入點(diǎn)，即讓左視圖的外輪廓線把 “后面”的線遮掩住，使得視圖所表達(dá)出的形體有多解。筆者終于在解題過程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)反例。下面，對(duì)該例題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。

1．2 例題分析

圖1所示為例題圖。從圖1可以看出，最左邊的上下2個(gè)視圖分別是三視圖中的主視圖和俯視圖。該題的主視圖和俯視圖完全相同，都是正方形里面加兩條豎線。右邊4個(gè)選項(xiàng)分別是這個(gè)形體可能出現(xiàn)的4種左視圖。該例題的要求是根據(jù)4種左視圖找出三視圖所表達(dá)的4個(gè)形體。

圖1 例題圖

很明顯，該例題想說明僅用2個(gè)視圖有時(shí)并不能完全表達(dá)一個(gè)形體，比如該題中僅給出主視圖和俯視圖，左視圖就可能會(huì)出現(xiàn)多種情況。

對(duì)于圖1中A、B、C選項(xiàng)所表達(dá)的形體，直接給出其實(shí)體圖，如圖2所示。

圖2 ABC選項(xiàng)的立體圖

需要說明的是，對(duì)于C選項(xiàng)，其實(shí)還可以延伸出其他幾種情況。該選項(xiàng)的圓弧是右上凹的，其實(shí)還可以右上凸。同時(shí)，虛線也可以轉(zhuǎn)為實(shí)線。這幾種情況均滿足主視圖和俯視圖，都能表達(dá)出不同的形體。

對(duì)圖1中的D選項(xiàng)進(jìn)行重點(diǎn)分析，因?yàn)橥ㄟ^D選項(xiàng)可以找出反例。首先，從左視圖上來看，其復(fù)雜程度要略高于其他3個(gè)選項(xiàng)，可以采用分割的辦法進(jìn)行分析。該形體從主視圖和俯視圖上來看，可以分為3個(gè)部分。按由近及遠(yuǎn)的順序可以看出，第1部分為1個(gè)直角三棱柱，第2部分也是1個(gè)直角三棱柱，只是擺放方式不同，導(dǎo)致第2部分的上半部分會(huì)被第1部分遮擋，從而出現(xiàn)虛線。對(duì)于第3部分，直角三棱柱和長(zhǎng)方體都滿足要求而形成獨(dú)立的形體(見圖3），因而三視圖的確不能完整唯一表達(dá)一個(gè)形體。

圖3 D選項(xiàng)的2種實(shí)體圖

絕大多數(shù)形體都可以用三視圖完全表達(dá)，為何出現(xiàn)上述情況呢？要解釋該問題，可以對(duì)D選項(xiàng)左視圖中的頂點(diǎn)和交點(diǎn)加以編號(hào)，如圖4所示。

圖4 D選項(xiàng)分析圖

圖4是一個(gè)從左向右看的視圖，研究者僅僅只是將從該角度看到的圖形繪制成圖，后面看不見而未被粗實(shí)線遮擋的地方用虛線表示。所以，在投射過程中，如果后面的線條被前面的粗實(shí)線所遮擋——也就是后遇到投射線，則該線條為不可見，在圖中不能表現(xiàn)出來。比如第3部分的圖形為三棱柱時(shí)(見圖3（a）），投影出來應(yīng)該是一個(gè)三角形，而圖4中的CD邊即為該三角形的可見部分，另外2條邊被CB邊和BD邊所遮擋，為不可見。所以在該情況下，第3部分的加入，僅僅追加了一條粗實(shí)線(線段CD）而已。

如果第3部分是長(zhǎng)方體，投影出來的應(yīng)該是正方形。圖4中CD邊即為正方形的可見部分，而正方形的另外3條邊全被遮擋。從結(jié)果上看，第3部分的加入仍然只是多出了一條粗實(shí)線而已，因而上述2種情況同時(shí)滿足主視圖和俯視圖的要求。

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致該三視圖有多解的癥結(jié)在于視圖的可見與不可見。有關(guān)視圖的可見與不可見的問題涉及到機(jī)械制圖中的一個(gè)相當(dāng)重要的概念，即重影點(diǎn)，與此相關(guān)的概念是重影線。

2 重影點(diǎn)及重影線的分析

重影點(diǎn)的基本定義是當(dāng)空間2點(diǎn)位于垂直于某投影面的同一條投射線上時(shí)，2點(diǎn)在該投影面上的投影重合，則該2點(diǎn)叫做重影點(diǎn)。在投射過程中，重影的2點(diǎn)中先遇到投射線者為可見，后遇到投射線者被前者遮擋，為不可見。

應(yīng)用重影點(diǎn)可以判斷2條直線的相對(duì)位置，是相交還是交叉[5]，分別如圖5和圖6所示。

圖5 2直線相交圖

圖6 2直線交叉圖

由圖5可知，如果AB、CD2條直線相交，那么H面和V面中的2個(gè)交點(diǎn)k和k′的連線應(yīng)該垂直于投影軸OX軸。由圖6可知，如果AB、CD2條直線交叉，則1′、3點(diǎn)連線不垂直于OX軸，視圖中的2個(gè)交點(diǎn)均為重影點(diǎn)。通過重影點(diǎn)，可以很清晰地判斷2條直線在另一個(gè)投影面上的前后關(guān)系。

重影點(diǎn)還可以應(yīng)用于直線與平面的位置關(guān)系以及平面與平面的位置關(guān)系中。

當(dāng)點(diǎn)排列成為線時(shí)，根據(jù)重影點(diǎn)的概念，可以衍化出重影線的概念，即空間中的2條直線，只要其中有一條直線上的任意一點(diǎn)都能在另一條直線上找到唯一并且不同的點(diǎn)，這2點(diǎn)同時(shí)通過投射線，則2條直線被稱為重影線。如上述反例就可以用重影線來進(jìn)行說明。反例中提到的2種可能情況，都是因?yàn)樵谧笠晥D上無法判斷有無重影線。因?yàn)橹赜熬€只有先遇到投射線者可見，所以 “后方”的直線成為 “盲區(qū)”，導(dǎo)致最終產(chǎn)生了多種不同情況。因此，無法判斷出重影線的有無才是導(dǎo)致三視圖不能完全唯一表達(dá)一個(gè)形體的根本原因。

3 結(jié) 語

從基礎(chǔ)視圖方法三視圖中所產(chǎn)生的問題出發(fā)，引出實(shí)際例題，對(duì)該例題進(jìn)行了詳盡的分析，說明三視圖不能完全唯一表達(dá)一個(gè)形體。同時(shí)，對(duì)該命題所延伸出的內(nèi)容進(jìn)行分析，闡述了重影點(diǎn)和重影線，并由此說明無法判斷有無重影線才是三視圖不能完全唯一表達(dá)一個(gè)形體的關(guān)鍵。

[1]鄭孫輝．淺談學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法在制圖教學(xué)中的應(yīng)用 [J]．教育與職業(yè)，2009（26）：148-149．

[2]王曉雪．工程制圖課的教學(xué)模式探討 [J]．教育理論與實(shí)踐，2009（29）：49-50．

[3]唐克中，朱同鈞．畫法幾何及工程制圖 [M]．北京：高等教育出版社，2009．

[4]劉朝儒，吳志軍，高政一，等．機(jī)械制圖 [M]．北京：高等教育出版社，2006．

[5]姜勇，李善鋒，謝衛(wèi)標(biāo)．Auto CAD機(jī)械制圖教程 [M]．北京：人民郵電出版社，2008．