高速船舶遠(yuǎn)域尾浪的數(shù)值計(jì)算＊

張 偉 高 高

（山東交通學(xué)院船舶工程教研室1） 濟(jì)南 250023） （武漢理工大學(xué)交通學(xué)院2） 武漢 430063）

0 引 言

從國(guó)內(nèi)目前已投入營(yíng)運(yùn)的高速舶舶的航行性能來看，一個(gè)較普遍的問題就是尾浪高.過高的尾浪不但會(huì)影響航道內(nèi)其他船只的安全航行，而且會(huì)對(duì)堤岸造成沖刷破壞，危害水工建筑.因此，如何降低高速船的尾浪己成為船舶工程界及航運(yùn)部門關(guān)注的焦點(diǎn)之一.

就著眼于興波阻力的數(shù)值計(jì)算而言，由于興波阻力一般通過船體表面壓力積分得到，人們往往主要關(guān)注近域波，特別是船側(cè)波型.最早比較詳細(xì)計(jì)算探討較遠(yuǎn)域波型的當(dāng)推MIT的Nakos在文獻(xiàn)［1］中只考慮中、低Froude數(shù)下常規(guī)船型的波型問題.1994年他又以面元法計(jì)算了高速船的船波系、Kelvin波譜及相應(yīng)的興波阻力［2］.近10a來，高速船尾浪的數(shù)值研究與試驗(yàn)預(yù)報(bào)研究明顯增多.A.H.Day和 L.J.Doctor［3］用基于線性薄船理論的帳篷函數(shù)法對(duì)高速船的近、遠(yuǎn)場(chǎng)尾浪作了“快速”計(jì)算.Amromin等［4］以所謂“準(zhǔn)線性理論”計(jì)算了船舶及其對(duì)環(huán)境的沖擊.Dimitris等［5］將定常流視為頻域中時(shí)間－調(diào)和流的特例，以傳統(tǒng)面元法數(shù)值計(jì)算了高速單體船的尾浪.Tarafder等［6］以較為經(jīng)典的面元法及相關(guān)數(shù)值處理計(jì)算了淺水中的船舶問題.

高速船尾浪的有關(guān)研究需要探討相當(dāng)廣泛區(qū)域內(nèi)的船波，從理論上說，只要增大自由面計(jì)算域的范圍，可以通過傳統(tǒng)的面元法計(jì)算獲得遠(yuǎn)域波形.但考慮到此方法將極大地增加計(jì)算量，目前看來并不可取.1967年，Eggers和Sharma等人提出了波形分析的方法［7］，該方法將船后Kelvin波表達(dá)成為一元波幅譜函數(shù)，以此函數(shù)求興波阻力.Raven［8］利用近域的興波計(jì)算結(jié)果計(jì)算了遠(yuǎn)場(chǎng)的波浪.本文根據(jù)波形分析的思路，以傳統(tǒng)面元法為基礎(chǔ)，由近場(chǎng)計(jì)算的興波波形獲得波幅譜函數(shù)，通過波幅譜函數(shù)計(jì)算擬合遠(yuǎn)域的尾浪，計(jì)算比較簡(jiǎn)便而且穩(wěn)定性較好.文中對(duì)于縱切法與橫切法的有關(guān)探討，為波形分析在此類問題中的應(yīng)用提供了有益的參考.

1 數(shù)值方法

1.1 船舶興波問題的數(shù)學(xué)描述

假定船在靜水中做穩(wěn)定的勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為ū＝（U，0，0）.取固定于船體上的右手直角坐標(biāo)系，如圖1所示.對(duì)于此坐標(biāo)系，流動(dòng)為定常，z＝0平面為未擾動(dòng)自由面.假定流體無粘性、不可壓縮，則存在速度勢(shì)Φ.可記Φ＝φ－U0x，即總速度勢(shì)可分解為船舶產(chǎn)生的擾動(dòng)勢(shì)與恒定的來流勢(shì).

圖1 坐標(biāo)系

擾動(dòng)速度勢(shì)φ首先要滿足Laplace方程

采用Rankine源格林函數(shù)法求解上述方程.在船體表面和自由面（以及所需的淺水或岸壁表面）布置強(qiáng)度為σ的源或匯，則流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的速度勢(shì)可由各個(gè)點(diǎn)源對(duì)該點(diǎn)引起的誘導(dǎo)速度勢(shì)表達(dá)，對(duì)坐標(biāo)為（x，y，z）的點(diǎn)，擾動(dòng)速度勢(shì)寫為

式中：S為所有源（匯）分布的表面.

定解條件包括物面邊界條件（物面不可穿透），自由面邊界條件，遠(yuǎn)前方無波條件（若考慮淺水或者岸壁限制，則還應(yīng)包括水底或岸壁不可穿透條件.若考慮方尾，還應(yīng)包含方尾條件）.將擾動(dòng)勢(shì)函數(shù)的表達(dá)勢(shì)分別代入各邊界條件中，就可確定源強(qiáng)σ（q），得到速度勢(shì)φ.對(duì)線性興波問題，波高ζ可由以下自由面動(dòng)力學(xué)條件得到

1.2 波形分析方法

船行波的一般表達(dá)式為

將A（θ）寫成A（θ）＝g（θ）＋f（θ），則式（4）變?yōu)?/p>

式中：f（θ）和g（θ）分別為正弦波幅譜函數(shù)和余弦波幅譜函數(shù).傳統(tǒng)的波形分析是利用得到的波浪要素（波高、波浪斜率等）推算波幅譜函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算波形阻力.本文則是利用該方法，由較小范圍自由面興波問題計(jì)算得到的波形求得遠(yuǎn)域的自由面波形，從而大大減少計(jì)算量.令u＝K0sec2θ×sinθ；ω＝K0secθ，對(duì)式（5）進(jìn)行變量代換，則波高的表達(dá)式變?yōu)?/p>

式中：F（u）和G（u）即為待求量.注意，這里ω也是u的函數(shù)，即

波形分析大致可分為橫切法和縱切法2種.

1.2.1 橫切法 在船后足夠遠(yuǎn)處（例如半個(gè)船長(zhǎng)），可以認(rèn)為局部擾動(dòng)已充分衰減，船行波已近似成為諧波，假定在x＝xc處得到的波高為Ex（xc，y），對(duì)波高進(jìn)行傅氏變換得

則反變換為

把式（9）與式（6）比較便到方程組

角標(biāo)e和o分別表示F（u）和G（u）中的偶函數(shù)部分和奇函數(shù)部分.方程中有4個(gè)未知數(shù).為求得其解，可分別在x＝x1和x＝x2處求取2道波形的波高值，經(jīng)過傅里葉變換，得到由4個(gè)方程組成的方程組.

然而，在作傅里葉變換時(shí)，由于u的變化區(qū)間是（0，∞），則相應(yīng)的ω從K0到∞變化，所以不論x1，x2如何取值，總會(huì)在若干點(diǎn)處出現(xiàn)分母等于零，造成數(shù)值處理困難.因此在實(shí)際計(jì)算中可多取幾道橫切波，利用最小二乘法解超定方程，以避免數(shù)值困難并減小波形積分計(jì)算誤差.

1.2.2 縱切法（sharma法） 縱切法的實(shí)質(zhì)是在船側(cè)一定距離y1處，沿y＝y(tǒng)1線測(cè)量波浪要素，由此導(dǎo)出波幅譜函數(shù)，sharma法對(duì)y做加權(quán)傅氏變換

為了估計(jì)截?cái)嗾`差的影響，假定在船的遠(yuǎn)后方波形的漸進(jìn)特性為

式中：C1，C2，C3均為常數(shù)，可在測(cè)得波形之尾端取若干點(diǎn)擬合得到.當(dāng)｜xe｜較大時(shí)，可取C3＝0.詳細(xì)的修正方法見文獻(xiàn)［9］.

2 數(shù)值計(jì)算實(shí)例

采用Wigley數(shù)學(xué)船型，以一階面元法解出近域的興波波高后，對(duì)計(jì)算所得自由面作波形分析，進(jìn)而推出波幅譜函數(shù)并獲得遠(yuǎn)域的波浪要素.

為驗(yàn)證所采用方法對(duì)于遠(yuǎn)域波浪計(jì)算的有效性，本文將傳統(tǒng)的一階面元法計(jì)算的較大范圍的自由面興波結(jié)果（下文簡(jiǎn)稱直接法）與由近域計(jì)算波形導(dǎo)出的波幅譜函數(shù)推算出的遠(yuǎn)域波浪結(jié)果（下文簡(jiǎn)稱間接法）作了比較（后者的近域計(jì)算是以一階面元法對(duì)較小自由面范圍在同樣計(jì)算條件下進(jìn)行的）.較大的自由面范圍?。捍?.5倍船長(zhǎng)，船后3.5倍船長(zhǎng)，船側(cè)1倍船長(zhǎng)，計(jì)算網(wǎng)格為50×10，物面網(wǎng)格為30×10.對(duì)較小范圍自由面，船后只取1.5倍船長(zhǎng).物面與自由面的網(wǎng)格密度保持不變.通過編程計(jì)算，得到結(jié)果如下：圖2～7分別給出了0.4傅氏數(shù)下，面元法直接計(jì)算及由波幅譜函數(shù)獲得的波形圖及等高線圖，圖4、圖6中右側(cè)部分為面元法計(jì)算得到的波形，左側(cè)較寬的部分為由近域波形分析求得的遠(yuǎn)域波形（在圖5、圖7中相應(yīng)的是方框內(nèi)的部分）.

以下給出離船側(cè)一定距離的直接法計(jì)算與間接法波高的比較結(jié)果，并對(duì)波形分析中采用縱切法和橫切法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.圖8圖9分別給出距離船中0.3倍和0.5倍船長(zhǎng)位置縱切線上的波高與直接法計(jì)算結(jié)果的比較，本文橫切法采用在船后1.0～1.5倍船長(zhǎng)范圍內(nèi)取5道橫切波.

圖2 直接計(jì)算波形圖（Fr＝0.4）

圖3 直接計(jì)算的等高線（Fr＝0.4）

圖4 橫切法近遠(yuǎn)域耦合波形圖（Fr＝0.4）

圖5 橫切法等高線圖（Fr＝0.4）

圖6 縱切法近遠(yuǎn)域耦合波形圖（Fr＝0.4）

圖7 縱切法等高線圖（Fr＝0.4）

圖8 船側(cè)0.3L處的波高情況（Fr＝0.4）

圖9 船側(cè)0.5L處的波高情況（Fr＝0.4）

可以明顯看出，橫切法得到的結(jié)果與面元法直接計(jì)算的結(jié)果吻合得較好，而縱切法得到的結(jié)果雖然也有合理的趨勢(shì)，但精度較橫切法有明顯差距.

圖10給出了Fr＝0.6情況下的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果，可以看出，橫切法得到的遠(yuǎn)場(chǎng)波在距離船體一定距離之后仍具有較好的精度，而縱切法效果欠佳.

圖10 船側(cè)0.3L處的波高情況（Fr＝0.6）

縱切法結(jié)果較差（尤其在較高傅氏數(shù)下）的主要原因很可能在截?cái)嗾`差的處理上.通過調(diào)整修正系數(shù)及取點(diǎn)范圍，縱切法亦可以獲得比較好的結(jié)果，但不確定性太大.因此，就以波幅譜函數(shù)擬合遠(yuǎn)域波形而言，橫切法較縱切法更加適用.就興波阻力而言，則2種方法結(jié)果較為接近，由本文所得波幅譜函數(shù)求得的阻力系數(shù)曲線見圖11.由此可見，對(duì)于只需了解尾浪的波能信息的工程問題縱切法仍可用，若需較準(zhǔn)確了解尾浪的各要素，則以采用橫切法為宜.

圖11 本文由波幅譜函數(shù)得到的波形阻力系數(shù)曲線

圖12、13分別給出了0.4傅氏數(shù)下，對(duì) Wigley雙體船由波幅譜函數(shù)獲得的波形圖（片體間距為1倍船長(zhǎng)，片體間自由面網(wǎng)格取30×10，其他物面與自由面網(wǎng)格不變）.可以看出，橫切法得到的波形圖比較合理，而縱切法由于受到縱切位置的限制，雖在片體外側(cè)可得到的結(jié)果合理，但難以反映船后由于片體間干擾產(chǎn)生的復(fù)雜波系特征.

最后討論一下效率問題.以當(dāng)前常用的微機(jī)計(jì)算為例，當(dāng)自由面面元數(shù)達(dá)到2 000多之后，計(jì)算一次約需數(shù)小時(shí)，本文采用的波幅譜函數(shù)計(jì)算用時(shí)不到3min.

圖12 雙體船橫切波形圖（Fr＝0.4）

圖13 雙體船縱切波形圖（Fr＝0.4）

3 結(jié) 論

1）在以面元法作近域興波計(jì)算的基礎(chǔ)上，利用波幅譜函數(shù)求解遠(yuǎn)域尾浪的方法可行，計(jì)算效率明顯提高.

2）對(duì)本問題橫切法有較好的精度與穩(wěn)定性，而縱切法計(jì)算難以達(dá)到較高精度.

3）對(duì)多體船情況，縱切法難以反映船后由于片體間干擾產(chǎn)生的復(fù)雜波系特征，宜采用橫切法.

4）實(shí)際遠(yuǎn)域波的衰減問題今后還需進(jìn)一步探討.

［1］Nakos D E.Ship wave patterns and motions by a three dimensional rankine panel method［D］.MIT，1990.

［2］Nakos D E，Sclavounos P D.Kelvin wake and wave resistance of cruiser and transom－stern ships［J］.Journal of Ship Research，1994，38（1）：9－29.

［3］Day A H，Doctors L J.Rapid estimation of near－and far－field wave wake from ships and application to hull form design and optimization［J］.Journal of Ship Research，2001，45（1）：73－84.

［4］Amromin，Eduard.Quasi－linear theory of ship wave resistance and CFD analysis of ship＇s environmental impact［C］／／Proceedings of the ASME／JSME Joint Fluids Engineering Conference，v 2C，Proceedings of the 4th ASME／JSME Joint Fluids Engineering Conference：Volume 2，Part C，Symposia，2003：2 169－2 174.

［5］Dimitris S，Wash effects of high－speed monohulls［C］／／Proceedings of FAST 2005，San Francisco，California，USA.Usenix，2005.

［6］Tarafder，Md Shahjada，Suzuki.Computation of free surface flow around a ship in shallow water using a potential based panel methodKazuo［J］.International Shipbuilding Progress，2006，53（1）：33－54.

［7］Eggers K，Sharma S D，Ward L M.An assessment of some experimental method for determining the wave－making characteristics of ship forms［M］.United States，Office of Naval Research，1967.

［8］Raven H C.Numerical wash prediction using a freesurface panel code［C］.RINA International Conference on Hydrodynamics of High－Speed Craft－Wake Wash and Motion Control，London，2000.

［9］李世謨.興波阻力理論基礎(chǔ)［M］.北京：人民交通出版社，1986.