分析水中結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的三維附加質(zhì)量矩陣法

張文鵬 宗 智

大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連116024

分析水中結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的三維附加質(zhì)量矩陣法

張文鵬 宗 智

大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連116024

船舶總體振動(dòng)分析需考慮對(duì)船體外部水的影響。通過(guò)建立水域三維有限元模型進(jìn)行計(jì)算或者先計(jì)算出附加質(zhì)量后，加入到結(jié)構(gòu)質(zhì)量中進(jìn)行計(jì)算。隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，船舶大都采用三維有限元建模。傳統(tǒng)方法，例如劉易斯附加水質(zhì)量法，雖然考慮到縱向變形，但確沒(méi)有忽略船體橫剖面的變形，因而不夠準(zhǔn)確。采用三維邊界元方法，考慮水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)的三維效應(yīng)，計(jì)算三維附加質(zhì)量矩陣，并對(duì)水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行分析。結(jié)果表明，水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)是三維變形，應(yīng)該采用三維附加質(zhì)量矩陣進(jìn)行振動(dòng)分析。

水中結(jié)構(gòu)；三維附加質(zhì)量矩陣；自由振動(dòng)分析；濕模態(tài)

1 引言

船體是一種復(fù)雜的彈性結(jié)構(gòu)，船舶在航行過(guò)程中會(huì)受到各種激振力的作用而產(chǎn)生不同程度的振動(dòng)，例如波浪激勵(lì)振動(dòng)，主機(jī)、螺旋槳激勵(lì)引起的振動(dòng)等。因此，能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)船體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及響應(yīng)，從而避免共振并降低振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)于船舶設(shè)計(jì)而言十分重要。相關(guān)研究也有許多，例如Lin等［1］研究了復(fù)雜船體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性和振動(dòng)的控制，F(xiàn)ranois等［2］研究了主機(jī)和螺旋槳對(duì)船體及上層建筑的影響。

船舶是在水中航行，因此在對(duì)船舶總體振動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，要考慮水對(duì)水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)造成的影響。孫士麗等［3］采用濕模態(tài)方法對(duì)單面浸水的板、加筋板的振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算。吳芳等［4］通過(guò)Ansys計(jì)算擬合了單面浸水板的附加質(zhì)量系數(shù)曲線，并計(jì)算了單面浸水板的固有頻率。夏利娟等［5］通過(guò)二維有限元法和二維邊界元法，分別計(jì)算船體結(jié)構(gòu)和流體，并計(jì)算了高速船的垂向振動(dòng)。孫洋等［6］采用劉易斯方法計(jì)算了船體總體振動(dòng)固有頻率，對(duì)水平彎曲—耦合振動(dòng)進(jìn)行了修正，并給出了修正系數(shù)。文獻(xiàn)［7］采用改進(jìn)二維邊界元法，計(jì)算無(wú)限流場(chǎng)中不規(guī)則截面物體的附加質(zhì)量。

對(duì)于復(fù)雜的彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，需要采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行分析。通用有效的數(shù)值方法是有限元法［8］，目前船舶大都采用三維有限元建立模型?？紤]到水對(duì)船體振動(dòng)造成的影響，可以采用建立結(jié)構(gòu)和水域的三維有限元模型進(jìn)行整體計(jì)算；或者先計(jì)算出水中結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量，然后加入到結(jié)構(gòu)質(zhì)量中進(jìn)行計(jì)算。文獻(xiàn)［9］就是采用建立結(jié)構(gòu)和水域的三維有限元模型的方法，研究了空氣和水中多艙段復(fù)雜殼體的振動(dòng)模態(tài)特性。

計(jì)算附加質(zhì)量的方法，只需考慮固液交界面的流體，計(jì)算量小且計(jì)算效率高。但目前國(guó)內(nèi)對(duì)于附加質(zhì)量對(duì)水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響的處理，基本都是采用劉易斯附加水質(zhì)量法或者二維邊界元方法。這些方法將船體看作自由梁，假設(shè)每一個(gè)橫剖面都在做剛體運(yùn)動(dòng)，然后采用劉易斯或者二維邊界元方法計(jì)算出每個(gè)剖面作剛體運(yùn)動(dòng)的附加質(zhì)量，沿船長(zhǎng)積分得到整船的附加質(zhì)量。再將整船的附加質(zhì)量除以船體濕表面積，得到附加水密度，加到船體與水接觸的外板的密度上，然后分析船體振動(dòng)。該方法考慮了沿船長(zhǎng)方向結(jié)構(gòu)變形的影響，但是未計(jì)及沿橫剖面結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的影響。

現(xiàn)在的有限元建模并不是簡(jiǎn)化成梁模型，而是更為復(fù)雜的三維模型。在橫剖面上兩個(gè)單元之間的相對(duì)變形會(huì)對(duì)流體產(chǎn)生影響，如果不考慮這種影響，而將橫剖面視為剛體，采用劉易斯法或者二維邊界元方法，從理論上講是錯(cuò)誤的。

本文采用三維邊界元方法計(jì)算水中結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量矩陣。首先，考慮三維結(jié)構(gòu)變形與流體的耦合效應(yīng)及對(duì)附加質(zhì)量的影響，使得進(jìn)行水中結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析更加準(zhǔn)確。然后，對(duì)三維附加質(zhì)量矩陣和理論解進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果證明所計(jì)算的三維附加質(zhì)量矩陣是正確的。在此基礎(chǔ)上，采用濕模態(tài)法進(jìn)行水中結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析，計(jì)算了在水中自由振動(dòng)的固有頻率以及振型。

2 附加質(zhì)量矩陣計(jì)算及濕模態(tài)理論

1978年，Deruntz等開(kāi)始采用邊界元方法計(jì)算無(wú)限流場(chǎng)中結(jié)構(gòu)振動(dòng)的附加質(zhì)量［10］。本文也采用邊界元方法，來(lái)計(jì)算流場(chǎng)中結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量矩陣。

2.1 流場(chǎng)中速度勢(shì)及其導(dǎo)數(shù)

假定流體是無(wú)粘、無(wú)旋、不可壓縮的理想流體，定義無(wú)限流場(chǎng)速度勢(shì)：

速度勢(shì)的定解問(wèn)題為：

上面定解問(wèn)題的解，可以采用簡(jiǎn)單格林函數(shù)分布源模型來(lái)表達(dá)，并假定采用常數(shù)源，即在每個(gè)劃分的濕表面單元上源強(qiáng)是固定值：

式中，q為源點(diǎn)；p為場(chǎng)點(diǎn)；σ（q）為源的強(qiáng)度；S為物體表面；G（p，q）為格林函數(shù)。

對(duì)于無(wú)限水域，格林函數(shù)為：

速度勢(shì)及其導(dǎo)數(shù)為：

當(dāng)水中結(jié)構(gòu)物離水面比較近或者結(jié)構(gòu)物為水面漂浮結(jié)構(gòu)物時(shí)，需要考慮自由面的影響。對(duì)于較高頻率的振動(dòng)，自由面波動(dòng)的影響可忽略不計(jì)，此時(shí)速度勢(shì)的定解問(wèn)題為：

在這種定解條件下，格林函數(shù)為：

這樣，速度勢(shì)及速度勢(shì)的導(dǎo)數(shù)為：

式中，q是q點(diǎn)關(guān)于自由水面的鏡像點(diǎn)。

2.2 流體質(zhì)量矩陣

在流域內(nèi)，流體動(dòng)能為：

若取結(jié)構(gòu)外法向（即指向流體域內(nèi)）為正，則流體動(dòng)能為：

在物體的表面上劃分網(wǎng)格，則流體的動(dòng)能可以表示為離散形式：

式中，φn、φ、p為相應(yīng)于離散的濕表面的列向量；長(zhǎng)度等于濕表面數(shù)量n；dS為n×n的對(duì)角矩陣。上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。

對(duì)于常數(shù)源，速度勢(shì)及其導(dǎo)數(shù)可以寫成離散形式：

式中，σ（q）為n個(gè)元素的列向量；B（p），C（p）為n×n的滿陣；p為流場(chǎng)內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)p位于濕表面單元的控制點(diǎn)P，即p＝P時(shí)有：

將式（14）和式（15）代入式（13），可得：

式中，

式中，C－T＝（C－1）T。由于當(dāng)任意向量A非對(duì)稱時(shí)，uTAu＝0，所以式（16）可以寫成：

式中，

將Mf稱為流體質(zhì)量矩陣，或者附加質(zhì)量矩陣。

2.3 水中結(jié)構(gòu)濕模態(tài)

流體速度u和結(jié)構(gòu)速度x˙有如下關(guān)系：

式中，D為流體單元與結(jié)構(gòu)自由度的變換矩陣。將式（20）代入式（18），得

式中，Ma＝DTMfD

式（21）表明，相對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的位移x、速度x˙和加速度x¨，流體的相當(dāng)質(zhì)量矩陣為Ma。

對(duì)于無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由振動(dòng)，有如下方程

則水中無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由振動(dòng)濕模態(tài)方程為：

3 附加質(zhì)量矩陣計(jì)算驗(yàn)證

為驗(yàn)證附加質(zhì)量矩陣計(jì)算是否正確，引入流體邊界模態(tài)［11］：

式中，Af為濕表面單元面積對(duì)角陣。通過(guò)計(jì)算特征值λ，就可以驗(yàn)證附加質(zhì)量矩陣。

以無(wú)限流場(chǎng)中的圓球?yàn)槔?，?jì)算驗(yàn)證附加質(zhì)量特征值。無(wú)限水域中球體振動(dòng)特征值精確解為：

首先，建立無(wú)限流場(chǎng)中的半徑為10的球體模型，并采用4個(gè)網(wǎng)格劃分方案，計(jì)算了4種網(wǎng)格方案的流體邊界模態(tài)特征值，并與理論解進(jìn)行比較，以考察計(jì)算的誤差及收斂性。圓球的模型及網(wǎng)格情況如圖1所示，分別劃分600、1 176、1 944和2 904個(gè)單元。

計(jì)算時(shí)，n取0，1，2，3，4，分別計(jì)算相應(yīng)理論解和計(jì)算值，并進(jìn)行比較。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1和圖2。

圖1 圓球模型及網(wǎng)格Fig.1 Sphere model and its mesh

表1 無(wú)限流場(chǎng)中球體邊界模態(tài)特征值計(jì)算及與理論解比較Tab.1 Sphere boundary modal eigenvalue calculation and comparison with theoretical solution in infinite field

圖2 特征值誤差隨網(wǎng)格數(shù)變大而減小Fig.2 Eigenvalue calculation of the convergence

從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，對(duì)于同一個(gè)單元數(shù)，0階模態(tài)和4階模態(tài)的相對(duì)誤差比較小，2階或者3階模態(tài)的相對(duì)誤差最大。對(duì)于不同單元數(shù)，單元數(shù)越小，相對(duì)誤差越大，相對(duì)誤差最小的是2 094單元的情況，其最大相對(duì)誤差為1.919%；相對(duì)誤差最大的是600單元的情況，但其最大相對(duì)誤差也只有4%，這個(gè)相對(duì)誤差是在工程允許范圍內(nèi)的。隨著網(wǎng)格單元數(shù)的變大，相對(duì)誤差減小，說(shuō)明計(jì)算是收斂的。

4 應(yīng)用三維附加質(zhì)量矩陣計(jì)算水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)

在驗(yàn)證了三維附加質(zhì)量矩陣后，根據(jù)濕模態(tài)理論就可以進(jìn)行水中結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)分析，計(jì)算水中結(jié)構(gòu)的固有頻率。計(jì)算流程為如圖3所示。

以一個(gè)盒子為例代表船舶，計(jì)算其固有頻率。盒子的基本參數(shù)列于表2中，盒子建模見(jiàn)圖4。

計(jì)算情況如下，分別計(jì)算了盒子在空氣中和水中的固有頻率及振型，圖5給出了前7階的振型，表3給出了前10階的固有頻率。

圖3 應(yīng)用附加質(zhì)量矩陣計(jì)算結(jié)構(gòu)水中振動(dòng)流程圖Fig.3 Flow chart of calculation of free vibration of structure in water with added mass matrix

從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，結(jié)構(gòu)在水中的固有頻率要比在空氣中低，降幅從15%～38%不等，平均降幅為24.78%。水中結(jié)構(gòu)的振型與空氣中的振型會(huì)產(chǎn)生交錯(cuò)，例如圖5中的（d）和（e）：在空氣中圖5中的（e）是在第3階出現(xiàn)的振型，而在水中，圖5中的（d）則在第2階就出現(xiàn)了。

表2 盒子的基本參數(shù)Tab.2 Main particulars of a box

圖4 盒子模型Fig.4 Box model

圖5 盒子在空氣中及水中前7階的振型Fig.5 1st～7thmodal natural vibrations of box in the air and water

表3 盒子在空氣中及水中固有頻率Tab.3 Natural frequency of box in the air and water

5 結(jié)論

本文采用邊界元方法計(jì)算水中結(jié)構(gòu)三維附加質(zhì)量矩陣的結(jié)果可靠，通過(guò)計(jì)算無(wú)限流場(chǎng)中球的附加質(zhì)量矩陣，其特征值與理論解的最大相對(duì)誤差為4%，滿足工程精度。同時(shí)，隨著網(wǎng)格的加密，相對(duì)誤差減小，計(jì)算是收斂的。

其次，結(jié)構(gòu)在水中的固有頻率要比在空氣中低，降幅從15%～38%不等，平均降幅為24.78%。水中結(jié)構(gòu)的振型與空氣中的振型會(huì)產(chǎn)生交錯(cuò)，在空氣中較高階數(shù)的振型在水中會(huì)提前在較低階數(shù)出現(xiàn)。

最后，從計(jì)算的水中結(jié)構(gòu)振型來(lái)看，橫剖面會(huì)產(chǎn)生變形，即結(jié)構(gòu)濕表面變形呈三維。因此，進(jìn)行三維水中結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析時(shí)，應(yīng)當(dāng)采用三維附加質(zhì)量矩陣。

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3D Analysis Method for Added Mass Matrix about Free Vibration of Structure in Water

Zhang Wen-peng Zong Zhi
School of Naval Architecture Engineering，F(xiàn)aculty of Vehicle Engineering and Mechanics，State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，DaLian 116024，China

In analysis of ship global vibration，influence of outboard water should be considered.For studying the global vibration，two methods can be used.One is that 3D finite element model of water domain is applied，and the other is that added mass is introduced into structural matrix for calculation. With the finite element technique developing，3D finite element model of ship is usually taken.However，it is not correct for traditional method（such as Lewis added mass method）to neglect the deformation of ship transverse section.We proposed a kind of boundary element method to calculate the 3D added mass matrix of structure with 3D effect，and analyzed the wet structural response.The results show that the method is available and accuracy.

structure in water；3D added mass matrix；free vibration analysis；wet mode

U661.44

：A

：1673－3185（2011）04－13－06

2011-04-08

創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金（50921001）；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2010CB832700）

張文鵬（1980－），男，博士研究生。研究方向：水下爆炸、流固耦合、船舶水動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)振動(dòng)。E-mail：zwp_ln＠163.com

宗 智（1964－），男，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：水下爆炸、流固耦合、水動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)沖擊、計(jì)算力學(xué)。E-mail：zongzhi＠dlut.edu.cn

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.04.003