已知信道統(tǒng)計(jì)特性的時(shí)延—多普勒匹配濾波

賈艷云，趙航芳

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江杭州310012)

0 引言

主動聲納系統(tǒng)性能直接與發(fā)射波形的特征(能量、形狀等)相關(guān)聯(lián)。Shannon、Nyquist等人早在上世紀(jì)就奠定了發(fā)射波形研究的基礎(chǔ)。二次世界大戰(zhàn)之后，對發(fā)射理論進(jìn)一步做了發(fā)展［1］。但是這些都只考慮了距離(時(shí)延)分辨力或速度(多普勒)分辨力。為了能同時(shí)獲得高的時(shí)延—多普勒分辨力，該文的主要工作是對發(fā)射波形和信道進(jìn)行時(shí)延—多普勒表征［2－5］，在收—發(fā)等量齊觀的前提下，進(jìn)行時(shí)延—多普勒匹配濾波［6］，優(yōu)化發(fā)射和處理波形，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的期望響應(yīng)最大。

1 模糊度函數(shù)及發(fā)射波形設(shè)計(jì)

時(shí)間特性和頻率特性是信號的兩大基本特性，時(shí)間特性用時(shí)延表征，頻率特性用多普勒表征。而刻畫信號時(shí)延—多普勒分辨特性的一個(gè)基本量是其模糊度函數(shù)，它描述了在無噪聲條件下，由時(shí)延和多普勒頻移引起的匹配濾波器失配時(shí)輸出的變化情況，是時(shí)延和多普勒頻移的兩維自相關(guān)函數(shù)［2］。

窄帶條件下波形f(t)和q(t)的互模糊度函數(shù)為:

式中，為時(shí)延，與目標(biāo)的距離相關(guān);v為窄帶多普勒頻移，與目標(biāo)的徑向速度相關(guān)。當(dāng)波形f(t)和q(t)是同一個(gè)波形時(shí)，式1退化為自模糊度函數(shù)，其特性決定著匹配濾波波形的分辨特性和估計(jì)性能。模糊度函數(shù)的主瓣形狀和峰值決定著參數(shù)估計(jì)能達(dá)到的精度和分辨力。研究各種聲納信號形式，實(shí)質(zhì)上是研究信號的模糊度函數(shù)，信號的模糊度函數(shù)能夠表征信號的基本特征。

主動聲納常用的PCW信號由于時(shí)間帶寬積為1的限制，其高的多普勒分辨力是以犧牲脈寬為代價(jià)的。雖然LFM信號可以通過調(diào)節(jié)信號帶寬和脈寬來分別獲得高的時(shí)延和多普勒分辨力，但它是一個(gè)高耦合的信號，會帶來因時(shí)延和多普勒間的耦合而造成的誤差;HFM信號是一個(gè)多普勒寬容信號。上述幾中信號均不滿足時(shí)間帶寬積一定條件下的高時(shí)延—多普勒分辨要求，需要進(jìn)行波形設(shè)計(jì)。它指出在給定的設(shè)計(jì)帶寬限制下，最大化模糊度函數(shù)主瓣的距離分辨力并最小化模糊度函數(shù)旁瓣的面積。同時(shí)也證明了具有理想圖釘形狀模糊度函數(shù)的波形可以通過在時(shí)頻軸上接近均勻分布的波形獲得［1］。

2 雙擴(kuò)展信道的時(shí)延—多普勒表征

海洋信道是一個(gè)左右對稱上下不對稱的有界非均勻環(huán)境，界面的影響使發(fā)射波形的傳播有多條路經(jīng)，每條路徑的到達(dá)時(shí)間不同，導(dǎo)致了時(shí)延擴(kuò)展，用以表征信道的傳播特性;水層中散射體的隨機(jī)運(yùn)動和收發(fā)平臺的相對運(yùn)動導(dǎo)致了多普勒擴(kuò)展，用以表征信道的動態(tài)特性。因而，海洋信道是一個(gè)雙擴(kuò)展信道，只是擴(kuò)展而已。

通常用時(shí)變脈沖響應(yīng)h(t，)描述隨機(jī)時(shí)變線性系統(tǒng)［3，4］，它是一個(gè)隨機(jī)量。若要了解系統(tǒng)的全局行為，可通過信號時(shí)頻分析理論和相關(guān)處理來獲得WSSUS下能夠描述系統(tǒng)特性的二階統(tǒng)計(jì)參量—散射函數(shù)［3－5］Ps(，v)。信道系統(tǒng)函數(shù)的傅里葉變換關(guān)系如圖1所示，可以看出，對隨機(jī)量h(t，)關(guān)于時(shí)間t作傅立葉變換，得到信道的擴(kuò)展函數(shù)Ss(，v)，它仍是一個(gè)隨機(jī)量，難以描述信道特性。WSSUS條件下，對擴(kuò)展函數(shù)作自相關(guān)，得到信道的散射函數(shù)，它是一個(gè)功率譜密度函數(shù)，描述了發(fā)射波形經(jīng)雙擴(kuò)展信道傳播之后的平均時(shí)延和多普勒擴(kuò)展量，可以完全表征信道的時(shí)延—多普勒擴(kuò)展特性。發(fā)射波形f(t)經(jīng)過雙擴(kuò)展信道傳播之后，接收波形s(t)為發(fā)射波形的時(shí)延—多普勒頻移之拷貝加權(quán)和，權(quán)系數(shù)為信道的擴(kuò)展函數(shù)。

式中，E0為發(fā)射信號能量。

3 基于信道散射函數(shù)的時(shí)延—多普勒匹配濾波

主動聲納的待估量——距離和徑向速度在實(shí)際中無法直接觀測獲得，需要轉(zhuǎn)換到信號的某一參量域中作相應(yīng)的處理，以獲得高分辨力、低方差域辨識(估計(jì))能力。距離域?qū)?yīng)的是時(shí)延域，速度域?qū)?yīng)的是多普勒域。本文研究的是單傳感器在時(shí)延—多普勒域中的濾波問題:將信號和信道進(jìn)行時(shí)延—多普勒表征，選擇信道擴(kuò)展函數(shù)為權(quán)系數(shù)，將互模糊度函數(shù)與信道散射函數(shù)進(jìn)行相關(guān)。時(shí)延—多普勒匹配濾波器期望響應(yīng)為:

式中，＊＊表示兩維卷機(jī)。發(fā)射—處理波形的互模糊度函數(shù)與信道散射函數(shù)在時(shí)延—多普勒平面內(nèi)的重疊面積決定了系統(tǒng)的響應(yīng)如圖2所示。

圖1 信道系統(tǒng)函數(shù)傅立葉變換關(guān)系

圖2 信號和信道函數(shù)的重疊面積決定系統(tǒng)期望響應(yīng)

定義窄帶條件下雙擴(kuò)展信道中信號最佳檢測的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:

式4可以看出，時(shí)延—多普勒匹配濾波器的輸出響應(yīng)最大是一個(gè)泛函問題，當(dāng)發(fā)射波形固定時(shí)，它通過互模糊度函數(shù)與處理波形發(fā)生聯(lián)系;當(dāng)處理波形固定時(shí)，它通過互模糊度函數(shù)與發(fā)射波形發(fā)生聯(lián)系;當(dāng)發(fā)射波形與處理波形都不固定時(shí)，它通過互模糊度函數(shù)與兩者發(fā)生聯(lián)系。泛函的最佳解不能解析表示，可以通過梯度投影算法［6］微觀調(diào)整發(fā)射波形和處理波形，使其互模糊度函數(shù)與信道散射函數(shù)具有相似的形狀來獲得系統(tǒng)高的響應(yīng)。

4 仿真分析

仿真條件:發(fā)射能量1 000J，帶寬100Hz，中心頻率2kHz，脈寬50ms的LFM-PCW組合隨機(jī)加權(quán)復(fù)信號，采樣頻率為5kHz，信道的散射函數(shù)由一個(gè)兩維高斯脈沖如圖3(d)所示，最大時(shí)延擴(kuò)展和時(shí)延采樣頻率分別為50ms和5kHz，最大多普勒擴(kuò)展和多普勒采樣間隔分別為75kHz和0.586kHz。初始的處理波形為發(fā)射波形的時(shí)延—多普勒頻移加權(quán)求和。采用10%的升余弦窗對發(fā)射波形和處理波形加權(quán)。

圖3 白噪聲背景下4種方法的波形優(yōu)化結(jié)果

可以看出，利用梯度投影算法通過發(fā)—收聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形和處理波形，可以將它們的互模糊度函數(shù)由初始的在時(shí)延—多普勒平面無規(guī)均勻分布調(diào)整到算法收斂時(shí)與信道散射函數(shù)具有相似的形狀和分布，時(shí)延—多普勒匹配濾波器期望響應(yīng)在算法迭代終止時(shí)達(dá)到最大。有限迭代次數(shù)限制下，濾波器期望響應(yīng)大小順序?yàn)?同時(shí)優(yōu)化兩種波形＞交替優(yōu)化兩種波形＞只優(yōu)化單個(gè)波形［7］。算法收斂時(shí)，根據(jù)已知散射函數(shù)優(yōu)化兩種波形的互模糊度函數(shù)的體積分配結(jié)果好于只優(yōu)化單一波形的體積分配結(jié)果;交替優(yōu)化兩種波形的濾波器期望輸出可以媲美同時(shí)優(yōu)化兩種波形。

5 結(jié)束語

海洋信道是一個(gè)時(shí)延—多普勒雙擴(kuò)展信道，只有在充分了解和掌握信道特性的前提下，才能進(jìn)行有效、可靠的信號處理。本文正是基于此，發(fā)射和接收同時(shí)考慮信道特性，系統(tǒng)期望響應(yīng)達(dá)到最大。

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