道路緩和曲線的偏角、夾角的計算方法和精度分析

王健,李小光,汪金花

(河北聯(lián)合大學(xué)交通與測繪學(xué)院,河北 唐山063009)

道路工程勘測、施工階段的測量工作中,難度最大的是緩和曲線段。如果能夠用簡明而且精度可靠的數(shù)學(xué)模型計算出曲線偏角和夾角,再將其利用到縱橫斷面測繪、中樁和邊樁測設(shè)等工作中定會大大的提高工作效率,但目前的各種文獻(xiàn)資料很少介紹這些角度的計算方法[1～4]。本文推導(dǎo)了緩和曲線的弦線與切線夾角、切線與切線夾角、弦線與弦線夾角的一般計算方法(簡單方法)和精確計算方法。與精確計算方法相比,一般方法的數(shù)學(xué)模型簡單,便于使用,但由于推導(dǎo)過程中經(jīng)過了幾次近似,其精度受到影響。本文分析了其精度影響因素和在各種情況下的計算誤差值,為我們在具體測量計算工作中選擇計算方法提供了依據(jù)。

1 緩和曲線偏角的計算方法和精度分析

1.1 任意點偏角的一般計算方法與精度分析

一般文獻(xiàn)資料中,對于緩和曲線的計算,常常先建立這樣的坐標(biāo)系:以ZH點為原點,過ZH的緩和曲線切線為x軸,半徑為y軸。任意點i的坐標(biāo)表達(dá)式為[5]:

式中:li—i點到ZH點的曲線長;R—與緩和曲線相連的圓曲線半徑;l0—緩和曲線的長度。

如圖1所示,A、B兩點到ZH點的曲線長分別為lA、lB,由圖可知,由于θ1很小,可以近似認(rèn)為θ1≈tanθ1(弧度)。我們再取xA≈lA,yA,則[6]:

圖1 緩和曲線偏角、夾角計算示意圖

在一般情況下,θ1可以按(3)式計算。但由于以上推導(dǎo)過程經(jīng)過兩次近似,導(dǎo)致其含有誤差,其計算精度受R、l0、lA的值的影響,對于不同的緩和曲線:①R、l0相同時,lA越大,θ1的計算精度越低;②R、lA相同時,l0越大,θ1的計算精度越高;③l0、lA相同時,R越大,θ1的計算精度越高。

1.2 任意點偏角的精確計算方法

按(1)式、(2)式計算出精確的xA、yA值,再按下式計算θ1的精確值:

2 緩和曲線任意弦線、切線之間夾角的計算方法和精度分析

2.1 任意弦線、切線之間夾角的一般計算方法與精度分析

在圖1中,

β2一般比較小,可近似認(rèn)為β2≈tanβ2(弧度),則:

在一般情況下,θ2、θ3的值可按(9)、(10)兩式計算。但由于以上推導(dǎo)過程經(jīng)過兩次近似,故導(dǎo)致其含有誤差,其計算精度受R、l0、lA、lB的值的影響,對于不同的緩和曲線:①R、l0相同時,lA一定的情況下,lB-lA越大,β2計算精度越低,則θ2、θ3的計算精度越低;②R、l0相同時,lB-lA一定的情況下,lA越大,β2計算精度越低,θ2、θ3的計算精度也越低;③R、lA、lB相同時,l0越大,β2計算精度越高,θ2、θ3的計算精度越高;④l0、lA、lB相同時,R越大,β2計算精度越高,θ2、θ3的計算精度越高。

2.2 夾角θ2、θ3的精確計算方法

按(1)式、(2)式計算出精確的xA、yA、xB、yB值,再按下式計算β2的精確值:

θ2、θ3的值分別按式θ2=β2-β1、θ3=β3-β2計算。

3 緩和曲線上任意點偏角、夾角計算精度的實例分析

為了進(jìn)一步說明用一般方法計算θ1、θ2、θ3的精度及其與R、l0、lA、lB值的關(guān)系,我們分別取不同的R、l0、lA、lB值,用一般方法和精確方法分別計算θ1、θ2、θ3,并進(jìn)行分析比較,結(jié)果見表1～4。

表1 R=400m、l0=250m不同lA、lB時,θ1、θ2、θ3的計算情況

表2 R=3000m、l0=150m不同lA、lB時,θ1、θ2、θ3的計算情況

表3 R=3000m、l0=250m不同lA、lB時,θ1、θ2、θ3的計算情況

表4 R=7000m、l0=150m不同lA、lB時,θ1、θ2、θ3的計算情況

表1～4表明,用一般方法計算的θ1、θ2、θ3的精度受R、l0、lA、lB的影響,影響規(guī)律和前面的分析是一致的,而且一般方法計算的θ1、θ2、θ3的精度主要受其大小的影響。用一般方法在不利情況下(R較小、l0較大、lA較大時,θ1誤差大;R較小、l0較大、lB-lA較大時,θ2、θ3誤差大),計算誤差將達(dá)到十幾秒甚至數(shù)十秒,例如表中R=400 m、l0=250m、lA=240 m時θ1誤差達(dá)到14秒,lA=10 m、lB=250 m時θ2、θ3誤差分別達(dá)到12秒和13秒,這樣大的計算誤差在精度要求較高的工程中是絕對不允許的,此時必須用精確方法。

4 在長深高速公路唐山段勘測設(shè)計和施工中的應(yīng)用

長深高速公路遵化至南小營段是全國高速公路網(wǎng)長春至深圳線的一段,起于遵化市北承唐交界處,止于遵化市南小營,沿線多為連綿起伏的山地和村鎮(zhèn)。在勘測設(shè)計階段的橫斷面測繪工作中,由于地形、地勢條件限制,采用全站儀架設(shè)在已有控制點上進(jìn)行測繪極為不便,故采用先放樣中樁,再利用全站儀架設(shè)在中樁上進(jìn)行測繪,該方法的難點是設(shè)置曲線道路的橫斷面方向。利用本文提出的方法計算偏角或夾角,全站儀架設(shè)在中樁上后視相應(yīng)的中樁或控制點通過角度測設(shè)便可設(shè)置出橫斷面方向。該方法極大的提高了橫斷面測繪的效率。

在施工階段的曲線型道路邊樁放樣工作中,利用本文提出的方法精確的計算出偏角或夾角,將全站儀架設(shè)在中樁上并根據(jù)偏角或夾角值精確的設(shè)置出線路法線方向,在該方向上量距便可放樣出邊樁。該方法提高了邊樁放樣的效率并保障了其放樣精度。

5 結(jié)束語

曲線型道路工程中,緩和曲線偏角和夾角的計算是一個難點。本文推導(dǎo)了緩和曲線的弦線與切線、切線與切線、弦線與弦線夾角計算的一般數(shù)學(xué)模型和精確數(shù)學(xué)模型。一般方法的數(shù)學(xué)模型簡單明了,但由于經(jīng)過了幾次近似簡化,其精度受R、l0、lA、lB幾個參數(shù)的影響,R較小、l0較大、lA較大時,弦切角θ1誤差大;R較小、l0較大、lB-lA較大時,弦線夾角θ2、θ3誤差大。在不利的情況下其計算誤差將達(dá)到十幾秒甚至幾十秒,這是有些測量工作所不允許的,這時需要采用精確方法計算。

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