“電磁場(chǎng)”課程的散度和旋度研究型教學(xué)例析

黃 輝，張小青

（1.北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044；2.東南大學(xué) 毫米波國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096）

0 引言

“電磁場(chǎng)”課程是電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)以及電子信息工程、通信工程及電子科學(xué)技術(shù)類專業(yè)的一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課程，為“電機(jī)學(xué)”和“電力系統(tǒng)”等課程奠定必要的理論基礎(chǔ)。但是，由于“電磁場(chǎng)”課程的概念比較抽象，理論推導(dǎo)繁瑣，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求高，被學(xué)生認(rèn)為是本科最難學(xué)的課程之一。

筆者根據(jù)多年的電磁場(chǎng)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)本課程的畏難情緒，直接來(lái)源于難以理解梯度、散度和旋度這幾個(gè)基本概念。特別是散度和旋度兩個(gè)概念，部分學(xué)生直到課程結(jié)束也沒有正確理解。

目前，通常采用從宏觀到微觀的教學(xué)方法，即由通量引出散度，再由環(huán)量引出旋度。這種方法建立的模型易于表述，有關(guān)通量、散度的內(nèi)容較易理解；但是，對(duì)于環(huán)量和旋度，同樣的教學(xué)方法卻具有一定的局限性。這是因?yàn)樽鳛楹暧^量的環(huán)量本身就比較抽象，進(jìn)一步描述微觀的旋度作為有方向的矢量就更不易被學(xué)生接受。學(xué)生往往不理解為什么旋度有方向，對(duì)其方向代表的物理意義理解起來(lái)更加模糊。

筆者依據(jù)研究型教育理論，重新設(shè)計(jì)了關(guān)于散度和旋度的研究型教學(xué)模式。本文介紹了這種教學(xué)模式主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，包括如何引出散度和旋度、如何闡述其物理意義、計(jì)算方法等內(nèi)容。

1 教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)

1）引入問題

課程的一開始，筆者從科幻小說中的哈利波特與他神奇的隱身衣說起，引用“Controlling electromagnetic fields”［1］，闡述作者Pendry對(duì)控制電磁場(chǎng)從而實(shí)現(xiàn)隱身衣的理論設(shè)想。進(jìn)述時(shí)，一邊向?qū)W生展示電磁波在特定介質(zhì)中發(fā)生彎曲且平滑繞過特定區(qū)域的動(dòng)態(tài)視頻，一邊解釋Pendry做出此大膽預(yù)測(cè)的理論基礎(chǔ)僅僅是數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)變換原理和本課程的核心內(nèi)容——麥克斯韋方程組。然后，從麥克斯韋方程組的微分形式自然地引出本次教學(xué)的重點(diǎn)：矢量場(chǎng)散度和旋度的計(jì)算及其物理意義。

這種以設(shè)趣與展演來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方式，是研究型教學(xué)模式的五個(gè)基本環(huán)節(jié)之一，是引導(dǎo)學(xué)生善學(xué)、樂學(xué)和會(huì)學(xué)的前提［2］。一方面，利用科幻小說中的神奇隱身衣吸引學(xué)生的注意力；另一方面，展示當(dāng)前電磁研究的一個(gè)新領(lǐng)域及其標(biāo)志性成果，把學(xué)生引領(lǐng)到科技最前沿，用科技進(jìn)步的魅力提高他們對(duì)電磁場(chǎng)基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步可以轉(zhuǎn)化為投身電磁場(chǎng)理論研究的興趣。這樣，學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)的學(xué)習(xí)就有了一個(gè)良好的開端。

2）散度的定義—從通量到散度

為了將抽象的通量概念形象化，在講解過程中，筆者利用打氣筒和氣球做演示。打氣筒向氣球充氣，模擬矢量進(jìn)入閉合面S；反之，用氣球放氣模擬矢量流出閉合面S。借助這組實(shí)物，在充氣和放氣的簡(jiǎn)單動(dòng)作中，結(jié)合通量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，學(xué)生就能對(duì)通量的定義有比較感性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而比較容易理解通量的正負(fù)與閉合面內(nèi)部的正負(fù)源的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最終讓學(xué)生理解：引入通量這一概念的目的，就是為了衡量一個(gè)閉合面內(nèi)部是否存在矢量的源。

當(dāng)學(xué)生建立通量的概念之后，再用提問的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：借助通量只能判斷整個(gè)閉合面內(nèi)是否有源，能否更精確地描述源的確切位置？如何描述源的強(qiáng)度？

要回答上述問題，可以很自然地引出通量體密度——散度：壓縮閉合面，到極限便成為點(diǎn)，再以這個(gè)已經(jīng)成為點(diǎn)的小閉合面的通量除以它相應(yīng)的體積，這就是散度。散度作為定義到空間點(diǎn)的微觀物理量，可以準(zhǔn)確定位源點(diǎn)，也能衡量該點(diǎn)源的強(qiáng)弱。

為了讓學(xué)生對(duì)散度有更感性的理解，筆者引入了生活中常見的禮花作為形象化范例：如果把某一時(shí)刻噴出的禮花當(dāng)作一根根矢量線，那么禮花筒所在的位置散度就大于0，是矢量的源；而且該點(diǎn)散度的大小與噴出禮花的疏密有關(guān)。

采用這種層層推進(jìn)和兼以比喻的方式，學(xué)生能很好地理解從宏觀通量到微觀散度的推進(jìn)過程。隨后，學(xué)生也就能很自然地對(duì)奧氏公式加以理解和接受：既然散度是通量的體密度，那么其逆運(yùn)算——對(duì)散度作體積分，就得到通量，即奧氏公式：

對(duì)于奧氏公式的講授，可以采取這樣的方式：在課堂上不作過多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而偏重于剖析其物理意義——以散度這一概念作為橋梁，能夠把一個(gè)矢量的閉合面積分轉(zhuǎn)化為該矢量在空間中每一點(diǎn)的散度的體積分，從而實(shí)現(xiàn)了“面—點(diǎn)—體”的轉(zhuǎn)化。

縱觀從通量到散度的講解，遵循了兩個(gè)原則：一是突出重點(diǎn)，二是循序漸進(jìn)。首先，講解中注重突出通量與散度的物理意義，對(duì)高等數(shù)學(xué)已經(jīng)涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算僅僅給出要點(diǎn)幫助學(xué)生自我復(fù)習(xí)，而不作過多闡述。這種指要與自學(xué)也是研究型教學(xué)的基本環(huán)節(jié)之一，是可以幫助學(xué)生自主、自為和探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)［2］。此外，整個(gè)講授內(nèi)容，從宏觀量的通量到微觀量的散度，以及利用散度完成的從“面—點(diǎn)—體”的轉(zhuǎn)化過程。我們始終采用層層推進(jìn)的方式，注重其內(nèi)在的邏輯性，引導(dǎo)學(xué)生自行理解從而掌握。對(duì)此內(nèi)容的精講，既訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，也為后續(xù)的從環(huán)量引出旋度的講授作鋪墊。

3）旋度的定義—從環(huán)量到旋度

從環(huán)量引出旋度與從通量引出散度，二者思路有相似之處，但更有不同的地方。引導(dǎo)學(xué)生注意到它們的相似與不同之處，正是散度與旋度的研究型教學(xué)設(shè)計(jì)的要點(diǎn)。

這個(gè)講授環(huán)節(jié)以一個(gè)設(shè)問開始：“既然以散度為橋梁，可以把一個(gè)矢量的閉合面積分轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的體積分，那么，能否對(duì)應(yīng)的，定義另一個(gè)物理量，把矢量的閉合線積分轉(zhuǎn)化為面積分呢？”

筆者把這個(gè)設(shè)想在黑板上寫成：“線—點(diǎn)—面”，加上顯著的問號(hào)。隨后，始終圍繞這個(gè)設(shè)想進(jìn)行旋度的講解。先定義閉合線積分對(duì)應(yīng)的物理量—環(huán)量。對(duì)一條閉合路徑L，矢量的環(huán)量為

環(huán)量表征了在選定的閉合路徑上該矢量場(chǎng)是否有渦旋的趨勢(shì)，可以描述此閉合路徑內(nèi)部是否有引起渦旋的源和渦旋趨勢(shì)的大小。

筆者以形象化的圖1所示的水車和流速場(chǎng)為例：以水車外周邊為路徑L，考慮水流流速矢量。如果流速均勻且平行（無(wú)渦旋），則沿路徑L水流速度的環(huán)量為0，水車靜止；如果水流發(fā)生渦旋，環(huán)量不為0，水車將轉(zhuǎn)動(dòng)；而且水車在不同位置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也有所不同，表明同樣的閉合路徑L處于不同位置所對(duì)應(yīng)的環(huán)量不同。

圖1 環(huán)量物理意義的闡述

隨后，比較環(huán)量與通量的共同點(diǎn)：通量和環(huán)量都是宏觀量，環(huán)量只能表明在選定的閉合路徑中是否有渦旋源，不能描述空間點(diǎn)的性質(zhì)。然后，引導(dǎo)學(xué)生思考：可不可以也為渦旋源準(zhǔn)確定位并且衡量渦旋源的強(qiáng)弱呢？就像從通量引出散度一樣？

由于有了從通量引出散度奠定的基礎(chǔ)，學(xué)生很自然地會(huì)仿照其將“面”壓縮成為“點(diǎn)”的思路，設(shè)想將線積分中的“線”也壓縮成為“點(diǎn)”。這個(gè)設(shè)想一經(jīng)提出，筆者就引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)將設(shè)想深入實(shí)現(xiàn)。

圖2 旋度物理意義的闡述

借助多媒體分步演示的圖2，筆者與學(xué)生共同研討如何把“線”壓縮到“點(diǎn)”。首先，給出流速場(chǎng)中一根流速線、一條閉合路徑L1及其法線方向n1，以及將L1壓縮而成的點(diǎn)M。然后提示學(xué)生：如果照搬從“面”壓縮成為“點(diǎn)”的思路，即計(jì)算壓縮到點(diǎn)M后的閉合路徑L1所對(duì)應(yīng)的環(huán)量再除以閉合路徑所圍成的面積，得到環(huán)量面密度，整個(gè)過程會(huì)不會(huì)有什么問題？當(dāng)學(xué)生思考時(shí)，再給出另外兩個(gè)同樣也可以壓縮到點(diǎn)M的閉合路徑L2和L3作為提示，為學(xué)生進(jìn)行如下引導(dǎo)。

（1）比較閉合路徑L1、L2和L3對(duì)應(yīng)的環(huán)量和環(huán)量面密度的大小。由于L3與矢量線垂直，所以環(huán)量為零，環(huán)量面密度也為零；而L1和L2對(duì)應(yīng)的環(huán)量和環(huán)量面密度均不為零。表明：在同一位置點(diǎn)（如點(diǎn)M）的不同的閉合路徑，法線方向不同，所對(duì)應(yīng)的環(huán)量也不相同，從而同一位置點(diǎn)的環(huán)量面密度并不唯一。說明無(wú)法直接套用散度的定義方式得到新物理量，應(yīng)予以修正；

（2）確定閉合路徑L1、L2和L3對(duì)應(yīng)的環(huán)量和環(huán)量面密度的關(guān)系。容易發(fā)現(xiàn)：L1對(duì)應(yīng)的環(huán)量及其面密度最大，而且其他路徑（如L2和L3）對(duì)應(yīng)的環(huán)量，都可由L1對(duì)應(yīng)的環(huán)量值乘以L1與所求路徑夾角的余弦值求得。

（3）討論特殊路徑L1。首先，它是使該點(diǎn)環(huán)量及其面密度取得最大值的閉合路徑；其次，其他任意路徑所對(duì)應(yīng)的環(huán)量均可由它間接求得；另外，它的法線正好是引發(fā)矢量渦旋的軸線。

最后，建立在這一特殊路徑上，定義了旋度：大小是把這條特殊的“線”壓縮到“點(diǎn)”而得到的環(huán)量面密度，即該點(diǎn)環(huán)量面密度的最大值；方向是該特殊路徑的法線方向，即環(huán)量面密度取最大值的曲面方向。通俗一點(diǎn)是：某點(diǎn)旋度的方向就是該點(diǎn)渦旋源的軸線方向，而旋度的大小表征了場(chǎng)量繞著這一點(diǎn)渦旋趨勢(shì)的大小。

根據(jù)旋度的定義，可以得到斯托克斯公式：對(duì)旋度作面積分，得到環(huán)量。

最后，通過對(duì)旋度的定義，證實(shí)了最初的設(shè)想：把一個(gè)閉合線積分通過對(duì)每一點(diǎn)求其旋度，轉(zhuǎn)化為一個(gè)面積分。

2 研究型教學(xué)理念的深化

關(guān)于旋度定義的教學(xué)設(shè)計(jì)，遵循的主線為，仿照從通量到散度（“面—點(diǎn)—體”）的思路，實(shí)現(xiàn)“線—點(diǎn)—面”，由環(huán)量得到旋度。整個(gè)教學(xué)活動(dòng)，重視問題解決的思維過程，在立足教材內(nèi)容的同時(shí)，有意識(shí)地把靜態(tài)知識(shí)展示成為動(dòng)態(tài)的科學(xué)探究過程。

另外，研討與回顧環(huán)節(jié)是夯實(shí)與深化知識(shí)的重要保障，也是研究性教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一。此環(huán)節(jié)應(yīng)提煉所學(xué)到的知識(shí)、能力，引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)解決問題的思維過程，并揭示出隱含的科學(xué)方法和思維脈絡(luò)。筆者注重學(xué)生在知識(shí)獲取過程中的情感體驗(yàn)，從該教學(xué)過程中提煉出如下人文精神，以培養(yǎng)學(xué)生積極探索未知世界的科學(xué)態(tài)度，如下的體會(huì)值得強(qiáng)調(diào)。

1）成功并非偶然

課堂講授中，從有設(shè)想開始，到最終得到驗(yàn)證，只用短短十幾分鐘。但是在實(shí)際的科學(xué)研究中，這一探索過程可能很長(zhǎng)。筆者引入一則故事：法拉第從“既然電能生磁，磁是否能生電”的疑問開始，到實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想花了整整9年。一次次失敗面前，他并沒有氣餒，而是不斷調(diào)整，直到最終的成功。

這則故事很自然地向?qū)W生們傳遞一個(gè)信息：成功通常要經(jīng)歷漫長(zhǎng)的痛苦，只有不輕言放棄的人才有可能成功。如此自然地將人文精神融入到專業(yè)教學(xué)中去，可以達(dá)到提高學(xué)生承受挫折和失敗的能力，從而達(dá)到最終提高情商目的［3］。

2）大膽設(shè)想，小心驗(yàn)證

科學(xué)的進(jìn)步和知識(shí)的增長(zhǎng)永遠(yuǎn)始于問題，必須先有大膽的設(shè)想，再加以科學(xué)的探索。這里值得借鑒的有兩種探索方法：一是“同”中尋“異”，“異”中求“同”。同樣是壓縮，壓縮面和壓縮線就不同，從而引出了不同的物理概念；二是數(shù)學(xué)與物理結(jié)合，把生動(dòng)的物理學(xué)概念同數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)，再充分利用數(shù)學(xué)這一工具，來(lái)推進(jìn)物理的不斷發(fā)展。法拉第在實(shí)現(xiàn)了“磁生電”的夙愿以后，麥克斯韋把其物理思想作了數(shù)學(xué)上的綜合和引伸，定義了新的物理量—位移電流，繼而得到了涵義深遠(yuǎn)的麥克斯韋方程組。

這樣，一方面向?qū)W生介紹了電磁發(fā)展史，另一方面也幫助學(xué)生消除對(duì)電磁場(chǎng)課程的神秘感，激發(fā)他們學(xué)習(xí)“電磁場(chǎng)”課程的積極性和主動(dòng)性；同時(shí)可以了解科學(xué)家的科學(xué)研究方法，培養(yǎng)他們的科研興趣。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者通過對(duì)“電磁場(chǎng)”課程幾年的教學(xué)體會(huì)，作了一次關(guān)于散度與旋度的研究型教學(xué)模式的設(shè)計(jì)和實(shí)踐，取得了很好的教學(xué)效果。本文獲得北京市第六屆青年教師基本功大賽理工組A組的一等獎(jiǎng)和最佳演示獎(jiǎng)；作者之一的張小青老師獲最佳指導(dǎo)獎(jiǎng)。

［1］Pendry.Controlling eleclromagnotic field［J］.sceince，2006.6

［2］吳明贊.“工程電磁場(chǎng)”中靜電場(chǎng)的研究型教學(xué)實(shí)踐［J］.南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31（6）：104－105

［3］龔杰星.在電類基礎(chǔ)課教學(xué)中進(jìn)行情商教育［J］.南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31（4）：6－7