正態(tài)型指標(biāo)的Bayes可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計★

馮文哲，劉琦

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息系統(tǒng)與管理學(xué)院，湖南 長沙 410073）

1 引言

裝備的高可靠性是其完成任務(wù)的必要保障條件，而對裝備的可靠性指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證是裝備研制的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)要求。在試驗(yàn)實(shí)施之前，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計是裝備試驗(yàn)管理的一個重要環(huán)節(jié)?？煽啃缘慕y(tǒng)計驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計就是在假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過對兩類風(fēng)險 （生產(chǎn)方風(fēng)險和使用方風(fēng)險）或性能水平需求進(jìn)行分析，設(shè)計與權(quán)衡設(shè)計方案，用盡可能少的試驗(yàn)來獲取足夠有效的信息，對裝備的可靠性做出統(tǒng)計推斷[1]。隨著裝備設(shè)計制造技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代武器裝備研制、生產(chǎn)和試驗(yàn)的費(fèi)用越來越高，怎樣在充分利用已有各類信息的條件下，降低裝備的現(xiàn)場試驗(yàn)費(fèi)用，是試驗(yàn)管理者長期以來重點(diǎn)關(guān)注的問題。由于Bayes方法可以充分利用裝備的各類驗(yàn)前信息、樣本信息和總體信息，完成對裝備可靠性的評估分析。因此，與經(jīng)典的驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計方法相比，可以節(jié)約樣本量和試驗(yàn)時間，從而降低試驗(yàn)成本[2]，所以Bayes方法在裝備試驗(yàn)評價中有著廣泛的應(yīng)用。

正態(tài)分布作為統(tǒng)計學(xué)中的一個重要分布族，在裝備的可靠性分析中也有著大量的應(yīng)用，并且有大量的學(xué)者在這方面進(jìn)行了深入的研究。在正態(tài)分布的可靠性分析方面，Anna[3]通過對失效率服從正態(tài)分布的傳送帶進(jìn)行了可靠性試驗(yàn)分析，給出了系統(tǒng)可靠性的計算方法；美國的Mil-Hdbk-338b[4]給出了壽命服從正態(tài)分布的產(chǎn)品的可靠性分析判斷技術(shù)，并且以微波管和機(jī)械器件為例，進(jìn)行了實(shí)例說明。Liu Changhong[5]對可靠性分布函數(shù)的確定進(jìn)行了研究，以正態(tài)分布為例進(jìn)行了詳細(xì)的說明。劉琦[6]等對基于液體火箭發(fā)動機(jī)性能試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的情況，運(yùn)用Bayes方法對正態(tài)分布天地試驗(yàn)條件下的環(huán)境因子進(jìn)行了分析；在可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計方面，W.S.Lin[7]對磨損量服從正態(tài)分布的切割工具的可靠性進(jìn)行了試驗(yàn)設(shè)計及分析；Yang Luo[8]對結(jié)構(gòu)參數(shù)服從正態(tài)分布的可靠性試驗(yàn)設(shè)計進(jìn)行了研究；榮吉利[9]等針對性能參數(shù)服從正態(tài)分布的一類航天火工機(jī)構(gòu)，參照 “應(yīng)力-強(qiáng)度”模型，提出了一種強(qiáng)化試驗(yàn)的小子樣可靠性驗(yàn)證方法；鄭波[10]等對于不合格率服從正態(tài)分布的火工品，推導(dǎo)出了可靠性試驗(yàn)驗(yàn)證的樣本量確定方法；張碩云[11]對簡單假設(shè)情況下，可靠性參數(shù)服從正態(tài)分布的試驗(yàn)設(shè)計進(jìn)行了研究，并且給出了滿足兩類風(fēng)險要求的最小樣本量求解方法，但是對于復(fù)雜假設(shè)的情況沒有研究。

從現(xiàn)有的研究情況看，在小子樣條件下，基于Bayes方法對于正態(tài)分布參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，是基于損失函數(shù)，選擇試驗(yàn)驗(yàn)后損失達(dá)到最小的假設(shè)，而對接受或者拒絕原假設(shè)時，棄真或者采偽的概率（即兩類風(fēng)險）關(guān)注得較少。從統(tǒng)計分析的角度來看，基于小概率事件原理[12]，在考慮兩類風(fēng)險的條件下，選擇正確的檢驗(yàn)假設(shè)，對于使用方和生產(chǎn)方而言都是比較有益的，而且在裝備生產(chǎn)定型后，可以降低事故的發(fā)生比例。這比單純采用損失函數(shù)來決定假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論更科學(xué)、合理。

本文結(jié)合裝備試驗(yàn)鑒定的這一需求，針對可靠性參數(shù)服從正態(tài)分布的裝備或產(chǎn)品，在復(fù)雜假設(shè)的情況下，基于Bayes理論，以驗(yàn)后兩類風(fēng)險為目標(biāo)建立了可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計的非線性約束規(guī)劃模型，并基于0-1損失函數(shù)對兩類風(fēng)險的計算進(jìn)行了推導(dǎo)。最后結(jié)合示例，對壽命服從正態(tài)分布的xx型號部件進(jìn)行可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計，給出了基于兩類風(fēng)險的可靠性統(tǒng)計試驗(yàn)方案的分析與求解過程。

2 樣本量計算的非線性約束規(guī)劃模型

在可靠性分析中，有些產(chǎn)品的壽命或者維修時間服從正態(tài)分布，記為N （μ，σ2）。對于可靠性分析，可轉(zhuǎn)化為對期望μ的假設(shè)檢驗(yàn)。記統(tǒng)計假設(shè)為：

式 （1）中：μ0——研制合同中規(guī)定的可靠性要求，比如MTBF的最小值。

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)理論[12]，在給定原假設(shè)和備擇假設(shè)的條件下，試驗(yàn)中獲得的樣本量越大，統(tǒng)計推斷的結(jié)果就越可信，對應(yīng)的兩類風(fēng)險 （棄真、采偽風(fēng)險）也越小。而任何試驗(yàn)都需要一定的經(jīng)費(fèi)支持，并且由于抽樣檢驗(yàn)存在的不確定性，會對今后的使用、設(shè)計生產(chǎn)等造成一定的影響，所以在進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計時，可將試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)、兩類風(fēng)險要求進(jìn)行綜合考慮，從而建立如下的損失模型。

式 （2）中：C0——進(jìn)行試驗(yàn)所需的初始試驗(yàn)費(fèi)用，包括試驗(yàn)場地建設(shè)費(fèi)用、人員培訓(xùn)費(fèi)用、管理費(fèi)用等；

C1——試驗(yàn)每臺設(shè)備或者產(chǎn)品所需的費(fèi)用，包括設(shè)備的購買費(fèi)用、燃料消耗費(fèi)用、試驗(yàn)與管理人員工資等；

n——產(chǎn)品現(xiàn)場試驗(yàn)所需的樣本量；

α（n）——現(xiàn)場試驗(yàn)樣本量為n時，運(yùn)用Bayes方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，所造成的生產(chǎn)方的棄真風(fēng)險；

β（n）——現(xiàn)場試驗(yàn)樣本量為n時，運(yùn)用Bayes方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，所造成的使用方的采偽風(fēng)險；

C2——在H0正確的條件下，如果拒絕原假設(shè)H0，所造成的生產(chǎn)方的損失，包括產(chǎn)品的重新設(shè)計與生產(chǎn)延誤、銷售市場的萎縮等；

C3——在H0不成立的條件下，如果采納原假設(shè)H0，所造成的使用方的損失，包括產(chǎn)品使用過程中的維護(hù)保障、任務(wù)延遲損失等。

上述模型只是考慮損失的一個簡單的線性模型，在實(shí)際使用中，可根據(jù)實(shí)際情況考慮與兩類風(fēng)險、試驗(yàn)費(fèi)用相關(guān)的各種損失，建立比較全面的損失模型。

通常情況下，在研制合同中，研制方和使用方會規(guī)定兩類風(fēng)險的最大值，即給定α0，β0，并要求由于產(chǎn)品的試驗(yàn)不可能無限制地進(jìn)行下去，所以研制方和使用方通常會給定現(xiàn)場試驗(yàn)的最大次數(shù)N。為了保證將來產(chǎn)品使用的安全性、可靠性，并且通常要求現(xiàn)場試驗(yàn)次數(shù)大于等于某一給定的最小試驗(yàn)次數(shù)n0，從而給定現(xiàn)場試驗(yàn)次數(shù)的約束條件

裝備試驗(yàn)設(shè)計的目的是在滿足兩類風(fēng)險要求的前提下，使得試驗(yàn)損失達(dá)到最小。所以，可建立如下的非線性約束規(guī)劃模型：

約束條件為：

利用Bayes方法，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計，就是結(jié)合裝備的關(guān)于μ的驗(yàn)前信息，在滿足式 （4）條件下，選擇使式 （3）成立的最小的現(xiàn)場試驗(yàn)次數(shù)n。

3 基于 Bayes方法的 α （n）、 β （n）的計算

假設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中方差σ2已知，對參數(shù)μ作假設(shè)檢驗(yàn) （式1）。在Bayes分析中，通常是基于損失函數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，選擇使得驗(yàn)后損失達(dá)到最小的原假設(shè)或者備擇假設(shè)。0-1損失函數(shù)是Bayes方法中應(yīng)用較為廣泛的一種損失函數(shù)，所以在此采用0-1損失函數(shù)[2]進(jìn)行分析。設(shè)損失函數(shù)為：

式（5）中：αi(i=0,1)——采納假設(shè)Hi的行為；

μ——上述正態(tài)分布中的參數(shù)；

Θ=Θ0∪Θ1， Θ0∩Θ1=Φ， Θ 為參數(shù)空間， 取Θ=(-∞，∞)，Θ0，Θ1為Θ的一個分劃。

設(shè)X=(x1,x2,…,xn)為對總體進(jìn)行抽樣所得到的樣本，按照驗(yàn)后期望損失最小的原則可得Bayes決策不等式[13]為：

式 （6）中：acc H0——接納原假設(shè)；

acc H1——接納備擇假設(shè)。

取 μ 的驗(yàn)前分布 π (μ) 為正態(tài)分布 N(θ,τ2)， 其中超參數(shù)θ,τ2已知，否則可通過驗(yàn)前分布確定的相關(guān)計算方法得到，如工程意義法、專家信息法等[2]計算得到。由樣本X，可得似然函數(shù)為：

由Bayes公式，可得м的驗(yàn)后分布為：

由于 N(θ,τ2)是 μ 的共軛分布[2]， 所以， π(μ|X) 仍為正態(tài)分布， 記為 N(θ1,)， 其中：

考慮到檢驗(yàn)的假設(shè)式 （1），從而有

式 （10）中：f(μ|θ1,)——正態(tài)分布N(θ1,)的密度函數(shù)。

記A為：

則 P(H1|X)=Φ (A)， P(H0|X)=1-Φ (A)。 其中，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

從而有

由于 A＝0 時， Φ （A） ＝1－Φ （A） ＝0.5。 聯(lián)合式 （6）、 （12）， 可得如下的決策不等式：

從而可得拒絕原假設(shè)的拒絕域?yàn)椋?/p>

即

由式 （15），可得接受備擇假設(shè)H1的抽樣結(jié)果應(yīng)滿足：

定義決策臨界值為：

從而有：

進(jìn)一步計算可得采納原假設(shè)H0的區(qū)域D0為：

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計[12]的相關(guān)理論，可知樣本均值服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)，在Bayes假設(shè)檢驗(yàn)的情況下，犯兩類錯誤的概率為：

例 1 假定 θ=5001.2，τ2=5.7788， 即取 π (μ)為 N(5001.2，5.7788)， 并假定 σ2=64，μ0=5000。由式 （19）計算，可得不同樣本量n條件下兩類風(fēng)險的具體取值，如圖1所示。

圖1 樣本量與兩類風(fēng)險的關(guān)系圖

從圖1可以看出，第二類風(fēng)險隨著樣本量的增加而嚴(yán)格地遞減，第一類風(fēng)險在剛開始有上升趨勢，這只是在極小樣本時產(chǎn)生的波動問題，但是變化幅度并不大，隨后也是嚴(yán)格地遞減，這是符合實(shí)際情況的。

4 基于Matlab最優(yōu)試驗(yàn)方案的求解

由于Matlab[14]具備強(qiáng)大的計算功能，能進(jìn)行復(fù)雜的積分運(yùn)算，因此在N不大的條件下，可采用Matlab進(jìn)行枚舉計算， 選擇滿足式 （3）、 （4）要求的最小的現(xiàn)場試驗(yàn)次數(shù)n。計算步驟如下：

a） Step 1 根據(jù)實(shí)際情況選擇 C0， C1， C2， C3，α0， β0和 n0， N 的具體數(shù)值。

b）Step 2根據(jù)驗(yàn)前信息，包括歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)、子系統(tǒng)信息、專家信息和仿真信息等確定μ驗(yàn)前分布，確定θ,τ2的具體數(shù)值。

c）Step 3選擇n=N， 由式 （19） 計算 α （n），β （n） 并判斷： 若 α （n）， β（n） 滿足式 （4）， 則繼續(xù)下面的步驟；否則，說明現(xiàn)有的信息和樣本量還不能滿足最低的檢驗(yàn)條件，需修改約束條件 （4）或者收集更多的驗(yàn)前信息，修改驗(yàn)前分布，然后轉(zhuǎn)Step 1。

d）Step 4定義損失的初始值CT=C0+C1N+C2α(N)+C3β (N)+1。

e） Step 5 取 n=n0。

f） Step 6 由式 （19） 計算 α （n）， β （n）， 若α （n）， β （n） 滿足式 （4）， 則由式 （2） 計算 f（n）， 并判斷： 若 f（n） ＜CT， 則記 nC=n為當(dāng)前最優(yōu)的試驗(yàn)次數(shù)，MC=μ0+(μ0-θ) σ2/(nCτ2) 為決策的臨界值， 取 CT=f（nc），n=n+1， 繼續(xù)進(jìn)行 Step 6；若 α （n）， β （n） 不滿足式 （4）， 則取 n： =n+1，繼續(xù)進(jìn)行Step 6。

通過上述的循環(huán)計算，即可得到最優(yōu)的試驗(yàn)次數(shù)nC和決策的臨界值MC。試驗(yàn)實(shí)施時，安排進(jìn)行nC次試驗(yàn)。試驗(yàn)完畢后，計算樣本均值，并進(jìn)行判斷，若樣本的試驗(yàn)結(jié)果X∈D1則拒絕原假設(shè)，否則不能拒絕原假設(shè)。

4 示例分析

例2假設(shè)xx型號產(chǎn)品的壽命服從正態(tài)分布N(μ,64)，假設(shè)使用方要求該部件的壽命不能低于5000 h，如果規(guī)定的兩類風(fēng)險為α0=0.10，β0=0.15，試給出驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計方案。

a）驗(yàn)前分布超參數(shù)的估計

在本項(xiàng)目研究中，對于正態(tài)分布中方差σ2已知的情況，取正態(tài)分布N(θ,τ2)為期望μ的共軛驗(yàn)前分布，其參數(shù)可采用工程意義法來確定。當(dāng)具有多批驗(yàn)前試驗(yàn)數(shù)據(jù)時，也可采用下述方法來估計超參數(shù)。

表1 XX產(chǎn)品多批次壽命數(shù)據(jù)表

超參數(shù)θ和τ2的估計為：

b）最小樣本量的求解

根據(jù)題意對參數(shù)做出如下檢驗(yàn)假設(shè)：

由式 （17），可得決策臨界值為 M=5000-13.29/n，從而可得接受域和拒絕域分別為：

在本例中，若選擇n0=1，N=1000，C0=100，C1=30， C2=40000， C3=30000， 則可得 nC=57， 此時MC=4999.7668，f(57)=5782.4954。此時實(shí)際的α(57)=0.0489，β(57)=0.0660。

損失隨試驗(yàn)次數(shù)n的變化情況如圖2所示。表3列出了不同現(xiàn)場試驗(yàn)次數(shù)下的兩類風(fēng)險與損失的計算結(jié)果。

圖2 樣本量與損失的關(guān)系圖

表2 驗(yàn)前均值的參數(shù)估計

當(dāng) n0=1， N=1000， C0=100， C1=30， C2=40000，C3=50000時,則可得 nC=72，此時 MC=4999.8154， f(72)=7023.5662。 α (72)=0.0458，β(72)=0.0587。 當(dāng)n0=1，N=1000， C0=100， C1=1000 000，C2=1，C3=1時,則可得nC=10，此時實(shí)際的α(10)=0.0727，β(10)=0.1471。

分析上述計算結(jié)果可以看出，損失模型中的系數(shù) (C0，C1，C2，C3)不一樣時，同樣的樣本量所對應(yīng)的損失是不一樣的，所得出的最優(yōu)樣本量也不一樣。這就說明，對于一個損失模型來說，系數(shù)的確定非常重要，當(dāng)系數(shù)選取恰當(dāng)時，可以準(zhǔn)確地對試驗(yàn)方案進(jìn)行評價，從而挑選出最優(yōu)試驗(yàn)方案，為裝備的驗(yàn)收鑒定提供決策依據(jù)。因此，在進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計時，應(yīng)通過充分、全面的市場調(diào)研與分析，給出各系數(shù)一精確取值，從而確保得到優(yōu)化的試驗(yàn)設(shè)計方案。

表3 不同現(xiàn)場試驗(yàn)次數(shù)下的兩類風(fēng)險與損失

6 結(jié)束語

本文根據(jù)Bayes理論，在兩類風(fēng)險的要求下，對裝備戰(zhàn)技指標(biāo)服從正態(tài)分布條件下的可靠性的驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計進(jìn)行了研究，建立了滿足兩類風(fēng)險的最小樣本量的非線性約束模型；基于0-1損失函數(shù)，按照驗(yàn)后風(fēng)險最小的原則，推導(dǎo)出了兩類風(fēng)險的計算公式，并基于Matlab給出了最小樣本量的計算步驟。這種方法的運(yùn)用很好地解決了正態(tài)分布參數(shù)基于兩類風(fēng)險的可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計問題，但在具體的應(yīng)用過程中可在如下方面進(jìn)行進(jìn)一步的研究：

a）對于具體的可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)，如何根據(jù)待試驗(yàn)的裝備、現(xiàn)有的試驗(yàn)條件以及該裝備在未來作戰(zhàn)中擔(dān)負(fù)的職能等因素來確定試驗(yàn)的初始費(fèi)用、單個樣本的試驗(yàn)成本以及由于試驗(yàn)所帶來的決策風(fēng)險而導(dǎo)致的期望損失，從而確定模型中的系數(shù)C0，C1， C2， C3。

b）本文僅對可靠性指標(biāo)服從正態(tài)分布的情況進(jìn)行了研究，當(dāng)裝備的可靠性指標(biāo)服從二項(xiàng)分布、指數(shù)分布或者其它分布類型時，可以按照本文的研究方法，對其可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)方案進(jìn)行設(shè)計。

c）為了便于計算，本文選用0-1損失函數(shù)對問題進(jìn)行討論。0-1損失函數(shù)的假設(shè)比較簡單，在具體的應(yīng)用中，可以根據(jù)實(shí)際情況來選擇合適的損失函數(shù)，構(gòu)建更加準(zhǔn)確的損失模型，從而找到最優(yōu)的試驗(yàn)方案。

[1] Patrick D.T.O'connor.實(shí)用可靠性工程 [M].北京：電子工業(yè)出版社,2005.

[2] 武小悅,劉琦.裝備試驗(yàn)與評價[M].北京：國防工業(yè)出版社,2008.

[3] Anna Pavlisková.Reliability and continuous regeneration model[J].Acta Montanistica Slovaca Roník,2006， (2):119-121.

[4] MIl-HDBK-338b-1998，Electronic reliability design handbook[S].

[5] LIUChang-hong,LIUXin-tian,Wang Ren-liang.The analysis of the distribution of the failure statistical data hydrogen-adjacent pipelines[J].Manufacturing Science and Engineering,2010,(2):909-912.

[6] 劉琦,馮靜,周經(jīng)倫.火箭發(fā)動機(jī)性能可靠性的Bayes分析 [J].中國空間科學(xué)技術(shù),2003,(6)：46-51.

[7] LIN W S.The reliability analysis of cutting tools in the HSM processes[J].Archives of Materials Science and Engineering,2008,30(2)：97-100.

[8]LUO Yang,LIANG.Robert.Incorporating set-up into reliability-based design of driven piles in clay[J].Canadian Geotechnical Journal,2006,43(9)：946-955.

[9] 榮吉利,張濤.航天火工機(jī)構(gòu)可靠性的強(qiáng)化試驗(yàn)驗(yàn)證方法[J].宇航學(xué)報,2009,30(6)：2426-2430.

[10] 鄭波,柳維旗,許和貴.一種確定火工品貯存可靠性試驗(yàn)樣本量的方法 [J].火工品,2005,(2)：28-30.

[11] 張碩云,武小悅,劉琦.基于兩類風(fēng)險的正態(tài)分布Bayesian試驗(yàn)樣本量 [J].航空計算技術(shù),2008,38(5):11-17.

[12] 武小悅,劉琦.應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) [M].長沙：國防科技大學(xué)出版社,2009.

[13] 張金槐,劉琦,馮靜.Bayesian試驗(yàn)分析方法 [M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2007.

[14] 張志涌.精通MATLAB 6.5版 [M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2003.