基于參數(shù)估計(jì)精度的Bayes試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案研究★

王囡，劉琦

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息系統(tǒng)與管理學(xué)院，湖南 長沙，410073）

1 引言

裝備試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是根據(jù)試驗(yàn)的目的和要求，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，基于試驗(yàn)鑒定中的參數(shù)估計(jì)精度要求，合理選取試驗(yàn)樣本，制定出優(yōu)化的可行試驗(yàn)方案，以盡可能少的試驗(yàn)次數(shù)來獲取足夠有效的數(shù)據(jù)或資料，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果作出推斷，對(duì)戰(zhàn)技指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，得出比較可靠的試驗(yàn)結(jié)論[1]。裝備戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo) （參數(shù)），如可靠度、命中率和可用度都是裝備作戰(zhàn)適用性的重要度量標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)（參數(shù)）的評(píng)估通常是依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，從總體中選擇樣本進(jìn)行試驗(yàn)，然后根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，從而給出參數(shù)的估計(jì)值。該方法導(dǎo)致了參數(shù)估計(jì)的精度在很大程度上依賴于抽樣時(shí)樣本量的大小。通常情況下，樣本量越大，對(duì)參數(shù)的估計(jì)[2]就越精確。那么在試驗(yàn)中到底選擇多大的樣本量才能滿足參數(shù)估計(jì)的精度要求，這就是基于參數(shù)估計(jì)精度要求的試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)需要解決的問題。

基于參數(shù)估計(jì)精度要求的裝備試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案可以定量地為裝備試驗(yàn)提供一個(gè)實(shí)施試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)，從而在工程中得到了廣泛的應(yīng)用。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，Charles R.Allmen等[3]基于Weibull分布，給出了在不同的置信水平及試驗(yàn)時(shí)間下，可靠性試驗(yàn)需要的樣本量；Ming-Wei Lu等[4]對(duì)基于置信水平要求的Weibull分布驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了分析，在給定置信水平的條件下，推導(dǎo)出了試驗(yàn)時(shí)間的計(jì)算方法；武小悅等[1]給出了正態(tài)分布條件下基于參數(shù)估計(jì)精度要求的樣本量計(jì)算方法；崔衛(wèi)民等[5]研究了試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從雙參數(shù)Weibull分布時(shí)，在一定精度指標(biāo)和置信水平下，如何確定估計(jì)特征壽命和安全壽命時(shí)所需的最少試件數(shù)。

隨著裝備技術(shù)含量的增加，其研制、生產(chǎn)和試驗(yàn)費(fèi)用日趨昂貴，基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)通常需要較大的樣本量，這在試驗(yàn)實(shí)施中通常是不可行的。因此，需研究裝備在小子樣條件下的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。武器裝備在進(jìn)行現(xiàn)場試驗(yàn)之前，通常有大量的驗(yàn)前試驗(yàn)信息可供利用。Bayes由于能綜合利用各種驗(yàn)前信息而在武器裝備試驗(yàn)鑒定中得到廣泛的應(yīng)用[6]。因此，研究利用Bayes方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。在小子樣條件下，利用Bayes方法對(duì)產(chǎn)品的試驗(yàn)方案進(jìn)行設(shè)計(jì)，已有部分學(xué)者進(jìn)行了研究。如在基于兩類風(fēng)險(xiǎn) （使用方風(fēng)險(xiǎn)和生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)）需求的試驗(yàn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面[2]，Amrit L.Goel等[7]針對(duì)壽命服從指數(shù)分布的情況，基于兩類風(fēng)險(xiǎn)要求，研究了試驗(yàn)時(shí)間與失效數(shù)的關(guān)系；Ming-Weilu等[8]基于置信水平 （參數(shù)的驗(yàn)后概率）要求，給出了失效數(shù)為零時(shí)的樣本量求解方案；張碩云等[2]對(duì)方差已知正態(tài)分布情形下的裝備Bayes試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了研究，基于兩類風(fēng)險(xiǎn)給出了試驗(yàn)樣本量的計(jì)算公式。在基于參數(shù)估計(jì)精度要求的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面，馮廣斌等[9]考慮失效數(shù)為零時(shí)，通過給定置信水平及系統(tǒng)可靠度，得到了試驗(yàn)樣本量的計(jì)算方法。但沒有給出參數(shù)估計(jì)精度要求的通用描述，并且僅對(duì)指數(shù)分布零失效的情況進(jìn)行論述，沒有將結(jié)果進(jìn)行推廣。

本文基于參數(shù)估計(jì)精度要求，對(duì)裝備試驗(yàn)設(shè)計(jì)的需求進(jìn)行了分析。對(duì)基于Bayes方法的二項(xiàng)分布裝備性能指標(biāo)驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了分析，建立了基于參數(shù)可信區(qū)間要求的試驗(yàn)方案求解模型，給出了現(xiàn)場試驗(yàn)樣本量的計(jì)算公式及MATLAB計(jì)算算法。最后，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了理論和算法的驗(yàn)證。

2 基于參數(shù)估計(jì)精度的裝備試驗(yàn)設(shè)計(jì)需求分析

Bayes方法通過對(duì)驗(yàn)前分布與現(xiàn)場信息的綜合，對(duì)驗(yàn)后分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其未知參數(shù)為隨機(jī)變量，具有某種分布。當(dāng)采用Bayes方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，需要滿足一定的精度要求，如絕對(duì)精度要求、相對(duì)精度要求等[10]。設(shè)裝備試驗(yàn)評(píng)價(jià)中，要估計(jì)的參數(shù)θ的驗(yàn)后分布為π (θ|X)，其中θ根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)的不同可分別表示為可靠性度、命中概率、成功率等；X為裝備的現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)。π(θ|X)的分布密度如圖1所示，且Bayes方法中的參數(shù)精度要求可定義如下。

圖1 參數(shù)估計(jì)精度示意圖

a）絕對(duì)精度要求

絕對(duì)精度是指在一定的驗(yàn)后概率要求下[10]，如在驗(yàn)后概率1-a（等價(jià)于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法中的置信水平）要求下，要求參數(shù)θ的Bayes可信區(qū)間[11]的寬度小于等于某一給定的值，即

△——參數(shù)估計(jì)精度要求的區(qū)間寬度。

由驗(yàn)后分布的概率表示為：

b）相對(duì)精度要求

相對(duì)精度是指待估計(jì)參數(shù)的絕對(duì)精度與參數(shù)驗(yàn)后均值的比值。在驗(yàn)后概率1-α要求下，要求參數(shù)θ的Bayes可信區(qū)間的相對(duì)寬度的一半不大于某一給定值，即

式 （2）中：E(θ|X)——θ的驗(yàn)后期望；

△R——給定的相對(duì)精度要求。

由于在試驗(yàn)設(shè)計(jì)階段E(θ|X)通常未知，所以可由歷史信息等給出E(θ|X)的估計(jì)值。相對(duì)精度要求由驗(yàn)后分布的概率表示為：

相比絕對(duì)精度要求，相對(duì)精度要求考慮驗(yàn)后期望，從而容易度量參數(shù)估計(jì)的結(jié)果與實(shí)際值之間差異的大小，從而便于精度估計(jì)之間的比較。

由于絕對(duì)精度求解簡便且可以定量地為試驗(yàn)裝備提供一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，便于工程試驗(yàn)判定；且從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度而言，兩個(gè)參數(shù)估計(jì)精度要求之間可以通過式 (1)和式 (4)互相轉(zhuǎn)換[10]。故本文僅基于絕對(duì)精度要求，對(duì)小子樣條件下的裝備試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行分析研究。

3 成敗型裝備的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案求解

在裝備試驗(yàn)評(píng)價(jià)中，二項(xiàng)分布是一個(gè)非常重要的分布類型，而且很多裝備的試驗(yàn)結(jié)果是成敗型的，如飛航導(dǎo)彈的飛行試驗(yàn)命中精度[12]，引信的發(fā)火可靠性[13]等，因此，下面以成敗型試驗(yàn)為例，對(duì)基于參數(shù)估計(jì)精度要求的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案求解過程進(jìn)行說明。

設(shè)X=（X1，X2，…，Xn）是服從于參數(shù)為 p的成敗型分布的獨(dú)立同分布樣本，其中p表示成功概率，未知，記表示第i次試驗(yàn)成功，Xi=0表示第i次試驗(yàn)失敗，則s為n次試驗(yàn)中的成功試驗(yàn)次數(shù)，記f=n-s為n次試驗(yàn)中的失敗試驗(yàn)次數(shù)。從而可得似然函數(shù)為:

設(shè)p的驗(yàn)前分布為Beta分布B （α0， β0） （為p的共軛分布），其密度函數(shù)為：

式 （6）中：α0——表示偽成功數(shù)；

β0——表示偽失敗數(shù)，可由驗(yàn)前信息計(jì)算得出。

p的驗(yàn)后分布π （p|X）仍為Beta分布[14]，記為 B （α1， β1）：

試驗(yàn)設(shè)計(jì)要求為在驗(yàn)后概率 （即可信水平）1-α下，要求參數(shù)p的可信區(qū)間之間的寬度不大于△，即

上式等價(jià)于：

對(duì)于成敗型產(chǎn)品基于參數(shù)估計(jì)精度要求的試驗(yàn)設(shè)計(jì)而言，就是在選擇滿足式 （9）要求的最小的n。由于式 （9）中有兩個(gè)未知參數(shù) （n、s或者n、f），所以試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是在給定f或者s的條件下，選擇滿足式 （9）要求的最小的n。

在參數(shù)的區(qū)間估計(jì)中，HPD（High Posterior Density）可信區(qū)間是所有的可信區(qū)間估計(jì)中，區(qū)間寬度最短的可信區(qū)間。

Beta分布的密度函數(shù)是單峰連續(xù)但不對(duì)稱的，因此，它的HPD可信區(qū)間不是等尾可信區(qū)間，難以寫出其解析表達(dá)式。可用逼近算法選擇不同的n、f進(jìn)行逼近，求出p的 （1-α）HPD可信區(qū)間，然后根據(jù)式 （9）選擇滿足要求的n、f。但本文主要目的在于闡述基于Bayes方法的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，故可用等尾可信區(qū)間來表示p的區(qū)間估計(jì)，求p的（1-α）等尾可信區(qū)間。此時(shí)的滿足如下積分公式：

對(duì)于規(guī)定失敗數(shù)，滿足式 （9）要求的樣本量n（記為nT，表示試驗(yàn)需要的樣本量）為：

在計(jì)算時(shí)，可將n從f開始進(jìn)行逐個(gè)迭代，即選擇n=f，f+1，…，依次代入式 （13）進(jìn)行判斷，然后選擇合適的nT即可。

4 實(shí)例分析

根據(jù)電子系統(tǒng)試驗(yàn)場所做過的雷達(dá)發(fā)現(xiàn)概率試驗(yàn)[15]，從歷史資料中查到了相關(guān)有效的 “歷史數(shù)據(jù)”，運(yùn)用Bootstrap法求得其驗(yàn)前分布為Beta分布 B （α0， β0）， 其中 α0=67.0912， β0=1.2273，試在給定驗(yàn)后概率1-α=0.90，區(qū)間寬度為△=0.036的要求下，設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)方案，在不同的規(guī)定失敗數(shù)下，確定現(xiàn)場所需的試驗(yàn)樣本量。

結(jié)合公式并應(yīng)用MATLAB算法，求得在規(guī)定失敗數(shù)f時(shí)，試驗(yàn)所需的最小樣本量，如表1所示。

4.1 數(shù)據(jù)分析

通過給定不同的規(guī)定失敗數(shù)f，得到在不同可信驗(yàn)后概率要求下的最小樣本量，根據(jù)對(duì)表1的分析，可得出如下結(jié)論：

a）當(dāng)失效數(shù)相同時(shí)，可信驗(yàn)后概率越高，現(xiàn)場試驗(yàn)所需的最小樣本量越大。工程意義為裝備的參數(shù)評(píng)價(jià)時(shí)要求的可信驗(yàn)后概率越高，試驗(yàn)所需的樣本量越大。

表1 二項(xiàng)分布試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果

b）在同一可信驗(yàn)后概率下，規(guī)定失敗數(shù)越大，裝備所需的最小樣本量越大。工程意義為裝備試驗(yàn)中要求得到的失敗數(shù)越大，試驗(yàn)所需的樣本量越大。

4.2 圖形分析

根據(jù)表1，選取可信驗(yàn)后概率為0.9，規(guī)定失敗數(shù)分別為0和1的情況，繪制成功概率р的驗(yàn)前分布密度函數(shù)曲線和驗(yàn)后密度函數(shù)曲線，如圖3所示，分析圖形可得出如下結(jié)論：

a）在同一驗(yàn)后概率1-α下，綜合利用驗(yàn)前信息與現(xiàn)場試驗(yàn)信息估計(jì)參數(shù)的驗(yàn)后分布，所估計(jì)的總體參數(shù)可信區(qū)間寬度會(huì)變窄，精度變高。

b）在驗(yàn)前信息相同時(shí)，現(xiàn)場試驗(yàn)的樣本量越大，所估計(jì)的總體參數(shù)的可信區(qū)間寬度越窄，參數(shù)估計(jì)的精度越高。

圖3 Beta分布密度曲線圖

5 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的使用說明

裝備試驗(yàn)過程中規(guī)定失敗次數(shù)的確定要綜合考慮試驗(yàn)成本、故障模式及可靠性指標(biāo)等因素。例如，試驗(yàn)中的規(guī)定失敗數(shù)越大，試驗(yàn)過程中所得到的故障模式就越全面，就能更加合理地滿足產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)要求，但試驗(yàn)過程所需的試驗(yàn)成本也隨之增加。反之，產(chǎn)品的故障模式及可靠性指標(biāo)不能得到很好的檢驗(yàn)，卻能夠節(jié)約試驗(yàn)成本。

對(duì)裝備試驗(yàn)設(shè)計(jì)而言，本文所提供的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案的具體使用方法如下：

a）裝備試驗(yàn)人員根據(jù)可信驗(yàn)后概率要求、區(qū)間寬度及規(guī)定失敗數(shù)，查詢表1（表1可利用本文提供的程序不斷完善、擴(kuò)充）。若能查詢得到數(shù)據(jù)，則以此作為試驗(yàn)中的最小樣本量；若不能查到，則通過本文所提出的算法進(jìn)行計(jì)算，從而得到試驗(yàn)所需的最小樣本量。

b）將所得的最小樣本量作為試驗(yàn)樣本量。當(dāng)所有的樣本試驗(yàn)完畢時(shí)，若試驗(yàn)失敗數(shù)小于等于可接受的規(guī)定失敗數(shù)，則試驗(yàn)裝備達(dá)到可信驗(yàn)后概率要求；反之，未達(dá)到。

c）將所得的最小樣本量作為判定依據(jù)。當(dāng)試驗(yàn)中出現(xiàn)了規(guī)定失敗數(shù)時(shí)，若試驗(yàn)樣本量大于等于最小樣本量，則試驗(yàn)裝備達(dá)到可信驗(yàn)后概率要求；反之，未達(dá)到。

d）在Bayes分析中，共軛驗(yàn)前分布的選擇簡化了整個(gè)計(jì)算過程。在選取過程中，應(yīng)保證選擇的驗(yàn)前分布滿足產(chǎn)品信息的壽命分布及驗(yàn)前信息的可靠性、合理性等要求，即驗(yàn)前分布的選取應(yīng)以合理性作為首要原則。

5 結(jié)束語

本文對(duì)基于參數(shù)估計(jì)精度要求的Bayes試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了方法研究，具體工作包括：

a）論文對(duì)基于Bayes方法的參數(shù)估計(jì)精度要求進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。并針對(duì)具有二項(xiàng)分布性能產(chǎn)品的情況，建立了參數(shù)可信區(qū)間的求解模型，對(duì)基于Bayes方法的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了理論研究推導(dǎo)及算法實(shí)現(xiàn)，解決Bayes可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)計(jì)算難的問題。

b）本文僅對(duì)等尾可信區(qū)間的情況進(jìn)行了分析說明，公式的推導(dǎo)及算法設(shè)計(jì)過程比較容易實(shí)現(xiàn)。但在實(shí)際的裝備試驗(yàn)過程中，非等尾可信區(qū)間情況的存在較為普遍，其求解過程需要逐次逼近，進(jìn)而求得最優(yōu)解。這個(gè)求解過程比較復(fù)雜，還沒有給出成熟的解決方案，可作進(jìn)一步的研究。

[1] 武小悅,劉琦.裝備試驗(yàn)與評(píng)價(jià) [M].北京:國防工業(yè)出版社,2008.

[2] 張碩云,武小悅,劉琦.基于兩類風(fēng)險(xiǎn)的正態(tài)分布Bayes試驗(yàn)樣本量 [J].航空計(jì)算技術(shù),2008,(5):11-13+17.

[3] CHARLES R A CORPORATION.C Sample size for failure detection and reliability demonstration[C]//Reliability and Maintainability Symposium.1993.

[4] MING W.,R.R.J.Laboratory reliability demonstration test considerations.Transactions on Reliability[J].2001,50(1):12-16.

[5] 崔衛(wèi)民,薛紅軍,喻天翔,等.試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從Weibull分布時(shí)可靠性試驗(yàn)最少試件數(shù)的確定 [J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008,(1):51-55.

[6] 張金槐,劉琦,馮靜.Bayes試驗(yàn)分析方法 [M].長沙:國防科技大學(xué)出版社，2007.

[7] AMRIT L G.Design of reliability test plans based Upon prior distribution[R].Final Technical Report,1978，12-200.

[8] Ming W.,R.J.Rudy.Reliability demonstration test for a finite population.Quality Reliability. [J].2001,(17):33-38.

[9] 馮廣斌,錢林方.應(yīng)用貝葉斯方法進(jìn)行系統(tǒng)可靠性驗(yàn)證[J].兵工學(xué)報(bào)， 2004,(2):178-181.

[10] 武小悅,劉琦.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) [M].長沙:國防科技大學(xué)出版社，2009.

[11] 茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計(jì) [M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

[12] GJB 2899-1997,飛行導(dǎo)彈飛行試驗(yàn)精度分析和命中精度評(píng)定方法 [S].

[13] 中國人民解放軍總裝備部軍事訓(xùn)練教材編輯工作委員會(huì).可靠性試驗(yàn)技術(shù) [M].北京:國防工業(yè)出版社，2003.

[14] LEONARD T,HSU J S J.Bayesian methods[M].Cambridge:Cambridge University Press,1999.

[15] 王國玉,申緒澗,汪連棟.電子系統(tǒng)小子樣試驗(yàn)理論方法[M].北京:國防工業(yè)出版社，2003.