芻議新課標數學實驗教材中的古算題及其教育價值

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(新疆石河子大學師范學院 新疆石河子 832003)

芻議新課標數學實驗教材中的古算題及其教育價值

●劉超

(新疆石河子大學師范學院 新疆石河子 832003)

數學史對數學教育的意義已愈來愈得到重視.我國新頒布的《數學課程標準》，無論是在義務教育階段還是在普通高中階段，都有與數學史相關的論述.當前數學課程改革需要數學史，數學史是數學教育最好的啟發(fā)式之一.浩瀚的數學史海洋里具有豐富而鮮活的生長基因，是轉化為教育力量的原生態(tài)標本和寶貴的文化資源.數學課程需立足學科本源，推本溯源、返璞歸真，要把數學史的史學形態(tài)轉化為教育形態(tài).通過翻閱初、高中各個版本的新課標實驗教材，我們發(fā)現各版本教材都或多或少地融入了一些數學史內容，而其中最吸引讀者眼球的數學史融入方式就是設置了一些古算題(相當于我們現今所說的應用題或文字題).本文分析各版本新課標實驗教材中的古算題，并發(fā)掘其教育價值.

1 中學各版本實驗教材中的古算題介紹

調查發(fā)現，各種類型的中外古算題在初、高中的實驗教材中占據了一定的比重，相比之下，初中教材中的古算題更多一些.筆者對人教版、北師大版、華東師大版初中教材中的古算題作了調查，具體見表1.

表1 3套初中新課標教材中的古算題

據調查發(fā)現，現行新教材對古算題的處理方式多是直接將古算題作為例題或課后習題.教材對于古算題的使用大都圖文并茂，不僅呈現古文原題，而且還有現代白話文的翻譯，更為難能可貴的是教材還給部分古算題配上了圖畫，下面舉例說明.

圖1

人教版八年級下冊第十八章勾股定理習題18.1綜合運用第20題：

今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.水深、葭長各幾何？意即：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.問這個水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？

北師大版八年級上冊第一章勾股定理習題1.4聯系拓廣第5題：普林頓322泥板問題.

美國哥倫比亞大學普林頓收藏館收藏了一塊很古怪的泥板，這塊泥板是在巴比倫挖掘出來的，編號為322.考古學家相信這塊泥板是公元前十八世紀的成品.泥板上有3列文字，沒有人能解釋.直至1945年，Neugebauer和Sachs經過細心考察，發(fā)現泥板上是3列有特殊聯系的數字.你知道這些數字間的關系嗎？可借助計算器進行探索.

圖2

課堂調查發(fā)現，教師在講解這些古算題時，基本上是和其他題目的求解沒有什么區(qū)別，即在很大程度上忽視了這些古算題所應有的教育教學價值.對于古算題的教育價值，國內外都有過一些討論.法國數學教育家、數學史家史威茲(F.J.Swetz)提出，在數學問題配置與求解中可選擇歷史上不同時期、不同文化的一些古算題.這些古算題及其求解提供了相應數學內容的現實背景，揭示了實質性的數學思想方法，蘊涵了數學家為之奮斗的曲折歷程與苦樂體驗，展現了廣闊而生動的人文背景.因此在問題求解中，應側重對歷史上所用各種數學思想方法進行比較分析，使學生了解不同文化背景下的數學思考方式，旨在培養(yǎng)學生的數學思維能力，實踐多元文化關懷.由法國數學教育家巴賓(Evelyne Barbin)主編的《數學史與歷史名題》一書也嘗試把古算題融入數學教學之中，其基本策略是把歷史上的“偉大問題”視為數學知識成長的中心主題.作者在書中對每一個問題都具體地分析了其誕生與發(fā)展，以及它們又如何引導了提供解答的數學工具之創(chuàng)造與轉化[1].

2 古算題教育價值的開發(fā)

結合新課程標準提出的“知識與技能,過程與方法,情感、態(tài)度與價值觀”的三維教育教學目標，筆者認為古算題具有重要的教育價值，具體體現在以下幾個方面.

2.1 對學習興趣和成就動機的激勵作用

對任何學科的學習來說，興趣是第一位的.學生之所以對數學不感興趣，是因為課本中演繹性的表述掩蓋了數學知識發(fā)生和發(fā)展的過程.沒有一種數學的思想，以它被發(fā)現時的那個樣子公開發(fā)表的.一個問題被解決后，相應地發(fā)展為一種形式化的技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗.在古算題的教學中，教師若能在求解的同時讓學生了解相關知識的產生與發(fā)展過程，把數學的形式化邏輯鏈條恢復為當初數學發(fā)明創(chuàng)新時的火熱思考，展現數學家的思維過程，分享數學家們經過刻苦鉆研取得新成果時的歡樂，讓學生體會到創(chuàng)造過程中的數學“活”的思維，領悟數學創(chuàng)新過程，無疑會大大拓寬學生的視野，使他們更加深刻地理解數學、欣賞數學和熱愛數學.此外，古算題的提出一般來說都是非常自然的，它或者直接提供了相應數學內容的現實背景，或者揭示了實質性的數學思想方法，這對于學生理解數學內容和方法都是非常重要的.許多古算題的提出和解決與數學家有關，讓學生感到他正在解決一個曾經被數學家探索過的問題，或許這個問題在當時還難住了不少有名的人物，學生會感到一種智力的挑戰(zhàn)，也會從學習中獲得成功的享受，這對于激發(fā)學生的成就動機無疑是十分重要的.

在古算題教學中，教師應該盡量引導學生在熟悉的文化環(huán)境中尋找與古算題背景相似的情境，以便讓學生比較容易地分析和理解古算題的條件和結論，并能順利地解答.其中一些古算題，完全可以讓學生仿照其背景進行模擬演示，使學生知道古算題也能煥發(fā)現代青春活力，也能讓我們身臨其境,興趣盎然,感受深刻.學生在解答古算題的過程中，還可以領略古人的生存狀況、生活情趣、勞作藝術、道德禮儀、政治經濟、戰(zhàn)爭徭役、教育審美等等方面，那么學生就不僅僅局限于學習數學知識，而是在穿越時空與古人對話，這對于激發(fā)學習興趣、幫助學生多了解一些古文特點和古代歷史、打下廣博的人生基礎是大有裨益的.

2.2 數學文化的展示作用

新課程理念強調數學教學應引導學生初步了解數學科學與社會發(fā)展之間的相互作用，體會數學的人文價值，提高學生的文化素養(yǎng)，加強人文修養(yǎng)，培養(yǎng)人文精神.古算題及其求解是為了滿足當時社會的實際需要，大都反映了各個時代的社會主題，包含了豐富的社會文化信息.這些古算題不僅涵蓋了歷史上各個時期人們的生活起居、養(yǎng)殖、耕種、建筑、運輸、貿易、教育、天文、地理、冶金、制造、軍事等方方面面，字里行間充滿著濃郁的人文色彩和寶貴的非物質文化遺產，而且解答這些古算題所需要的數學知識，也涵蓋了現今我國第八次基礎教育課程改革中12年的《數學》實驗教科書(以下簡稱“新課程《數學》”)里至少90%的知識點.限于篇幅，本文僅就關于勾股定理的幾道古算題進行說明.

問題1今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何(《九章算術》之“竹折抵地”)?

問題2竹高十八尺，為風吹折，竹尖抵地，離根六尺，求兩段之長(印度，620年).

問題3一矛直立水中，出水三尺，風吹矛沒入水中，矛尖恰在水面上，矛尾仍在原位，矛頭與原位相距5尺，求矛長(阿爾卡西《算術之論》，1427年).

這3個問題盡管最后的求解不同，但都是勾股定理的具體運用.問題的出處及時間，反映了不同年代、不同文化背景下的學者對勾股定理的關注.其中問題1更可看作是不同社會文化在數學知識方面相互借鑒和轉化的典范.這個問題最早出現在我國漢代的《九章算術》(公元前300-200年)一書中；后來又出現在由Mahavira(公元850年)編著的梵語數學經典《Ganita-Sara》中；1491年，Philippi Calan-dri的《算術》書里又發(fā)現了它的存在，這說明它在歐洲也得到了應用.通過設置古算題，可以使學生獲得豐富的社會文化信息.不同時代、不同社會歷史背景下的古算題可使學生了解不同的數學思考方式，受到社會歷史文化與數學思維的雙重熏陶，進而獲得數學認知活動的文化意義.

2.3 解題方法演變的展現作用

數學的發(fā)展離不開問題的提出和解決，問題構成數學的心臟.提出問題并不斷尋求解決問題方法的過程構成了數學的發(fā)展過程.人們在生活和生產實踐中遇到的問題是產生數學成果的源泉，在解題過程中，每一種方法的提出都閃爍著思想的火花.因此，在教學中把古算題的古今解法進行比較，將有助于學生認識各種方法的特點，理清解題方法演變的脈絡，明晰何種方法更適合于何種脈絡，哪種策略應該向什么地方遷移.現代心理學研究表明，全面系統(tǒng)地了解知識是最有助于牢固掌握的，而相互之間作細致的比較又是有助于深刻理解和廣泛遷移的.因此，展現古算題及其各種不同解法，有利于學生從數學解題方法的演變過程把握問題的精髓，了解各種方法的思想來源和思維過程，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

以著名的海倫公式為例，從古至今關于海倫公式的證明方法有很多種.給出各種證法，并非是為了得出一個高低差異的評價，而是為了豐富教學內容知識.通過分析各個版本證法的特色，可以讓教師在教學方法上有所比較，這樣也才能取長補短.

2.4 數學思想方法的引領作用

數學思想方法是對數學知識內容及其所使用方法的本質認識，它蘊涵于具體的內容和方法之中，又經過提煉與概括，成為理性知識，它直接支配數學教學的實踐活動.就數學思想方法對于數學教學的積極意義而言，一個最為明顯的事實就在于以數學思想方法為指導去進行教學，有助于我們將數學課講活、講懂、講深.流傳至今的這些古算題的求解在很大程度上是重要數學思想方法的演變記錄.伴隨著古算題的提出與解決，從算術到代數的符號與變元表示的思想，代數與幾何數形結合的思想，從常量數學到變量數學的思想，集合論、類比、公理化與結構、極限思想等一系列有代表性的數學思想相繼問世，并在數學的歷史及至現今的許多科學領域中起著無可替代的重要作用.通過古算題的求解，可以深入了解數學思想方法是如何萌芽、生長、壯大和成熟的，從而對所學數學科目所蘊含的數學思想有更深的體會和理解.

仍以海倫公式為例，學生最為熟悉的海倫公式證法非余弦定理方法莫屬，它是純粹的代數運算.而歷史上的證明方法大多都是幾何證法，這對習慣代數運算與解析幾何的學生來說，學習起來有一定的難度.但海倫公式所處理的是幾何圖形面積的計算，余弦定理證法則充分展現了符號代數的威力，其間所隱含之幾何與代數表征的連結，恰好是數學教學中培養(yǎng)學生數學表征連結能力的不可多得的范例.學生由此也可以知悉，引入三角學的余弦定理，究竟替代了多少綜合幾何里的命題、方法與技巧.其次，歷史上的海倫公式證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向.在教學中，若以歷史文獻為師，適時引入古人原始樸素的想法，擷取前人的智慧，乃至于前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發(fā)展與學生的學習過程聯系更緊密，也能讓學生對數學有更全面的關注.再有一點，海倫公式又被稱為海倫-秦九韶公式，這是因為秦九韶獨立給出了與海倫公式等價的“三斜求積術”.通過海倫公式證明方法的中西比較可知，希臘人運用平面幾何知識證明海倫公式，而秦九韶只給出公式并用之求解具體問題.可見數學問題的提出與解決離不開社會文化的歷史脈絡，也與民族特性相關.中國的數學與古希臘數學演繹的邏輯推理不同，因為中算家不拘一格地采用各種形式的推理方法，使中國數學成為一種從實際問題出發(fā)，經過分析提高而概括出一般原理、原則和方法，以求最終解決一大類問題的體系.針對一個已知三角形3條邊長求其面積的問題，由于解題形式的不同，讓我們看到了在數學知識呈現的背后蘊藏了深刻的文化內涵.

[1] Fauvel J, Maanen J V.History in the Mathematics Education[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,2000.