基于生存分析的客戶生命周期價(jià)值建模

陳 云，張會(huì)榮，2，朱 萍

（1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 公共經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海 200433；2.云南曲靖師范學(xué)院 物理系，云南 曲靖 655000）

0 引言

隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展和企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，產(chǎn)品和服務(wù)的差異越來越小。以產(chǎn)品為中心、以市場(chǎng)為中心的企業(yè)管理理念逐漸被以客戶為中心所替代[1]?？蛻絷P(guān)系管理強(qiáng)調(diào)的是企業(yè)與客戶長(zhǎng)期的價(jià)值互動(dòng)關(guān)系，最大化長(zhǎng)期互動(dòng)關(guān)系的效用，實(shí)現(xiàn)客戶與企業(yè)的雙贏?？蛻舫蔀楣咀钪匾馁Y產(chǎn)，成為市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的焦點(diǎn)。誰能掌握客戶的需求趨勢(shì)、加強(qiáng)與客戶的關(guān)系、優(yōu)先挖掘和管理客戶資源，誰就能獲得市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的優(yōu)勢(shì)，在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中立于不敗之地。

客戶生命周期價(jià)值計(jì)量，作為客戶關(guān)系管理研究的核心內(nèi)容之一，是企業(yè)識(shí)別價(jià)值客戶的最有效的依據(jù)。如果度量不準(zhǔn)確，企業(yè)將無法準(zhǔn)確定位價(jià)值客戶，更談不上對(duì)其進(jìn)行保留和發(fā)展，客戶長(zhǎng)期價(jià)值最大化目標(biāo)更是無法實(shí)現(xiàn)。

1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

Barbara bond Jackson(1985)奠定了這一領(lǐng)域研究的基礎(chǔ)，指出客戶生命周期價(jià)值有賴于客戶在生命周期的每一階段增加企業(yè)收益以及降低成本的能力[2]。Berger&Nasr（1998）在此基礎(chǔ)上引入客戶保持率參數(shù)，使CLV計(jì)量模型有了更實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，公式如下[3]：

其中，π(i)是以時(shí)間i為自變量的客戶利潤(rùn)函數(shù)；γ為客戶保持率；d為折現(xiàn)率；n客戶全生命周期時(shí)間。

然而目前利用此模型進(jìn)行客戶生命周期價(jià)值計(jì)量存在著以下問題：

首先，客戶保持率的估計(jì)通常以常量客戶保持率代替，或是僅以客戶在企業(yè)中所處的時(shí)間進(jìn)行粗略估算。

由于實(shí)際的客戶保持率與常量客戶保持率之間存在著較大的差異，用常量的客戶保持率來簡(jiǎn)單的估計(jì)實(shí)際客戶保持率會(huì)造成較大的誤差，從而使客戶生命周期價(jià)值的計(jì)量不準(zhǔn)確[4]；若僅以客戶在企業(yè)中所處的時(shí)間對(duì)客戶保持率進(jìn)行估計(jì)，雖可解決常量客戶保持率的問題，卻無法在客戶生存時(shí)間的分布未知的情況下較為精確地估計(jì)出客戶的動(dòng)態(tài)保持率。

其次，在對(duì)客戶全生命周期時(shí)間的估計(jì)中，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多假定其為某個(gè)常量值，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)，缺乏科學(xué)性。

因此，在進(jìn)行客戶價(jià)值計(jì)量時(shí)，如何對(duì)動(dòng)態(tài)的客戶保持率和客戶生命周期時(shí)間進(jìn)行較為精確的估計(jì)，顯得尤為重要[5]。

2 基于生存特征的客戶生命周期價(jià)值計(jì)量模型建立

2.1 動(dòng)態(tài)客戶保持率參數(shù)的估計(jì)

生存時(shí)間是測(cè)量某事件出現(xiàn)的時(shí)間，生存時(shí)間的分布可用生存函數(shù)進(jìn)行描述[6]。將生存函數(shù)引到動(dòng)態(tài)的客戶保持率上，客戶保持率實(shí)際上就是客戶生命時(shí)間的分布。

因客戶生存數(shù)據(jù)包括許多協(xié)變量，且生存時(shí)間的分布未知，通過分析和比較發(fā)現(xiàn)，比例危險(xiǎn)模型即Cox模型能很好地解決這一問題，運(yùn)用客戶的生存時(shí)間和客戶的屬性（如基本特征、行為屬性等）來估計(jì)生存函數(shù)/危險(xiǎn)函數(shù)。

比例危險(xiǎn)（Proportional Hazard,PH）模型具有如下性質(zhì)：不同個(gè)體的危險(xiǎn)函數(shù)成比例，即兩個(gè)伴隨變量向量x1和x2下的危險(xiǎn)函數(shù)之比h(t|x1)/h(t|x2)不隨t的變化而變化。它以危險(xiǎn)函數(shù)作為因變量，公式如下：

其中，x=(x1，x2，……，xp)為協(xié)變量；β1（i=1，2，…，p）為回歸系數(shù)；h0(t)是x=(x1，x2，……，xp)均為0時(shí)的個(gè)體基本危險(xiǎn)函數(shù)。

由危險(xiǎn)函數(shù)與生存函數(shù)的關(guān)系知，基于Cox模型的生存函數(shù)為：

其中，r(t)為時(shí)刻t永久性流失客戶的累積保持率；βj(j=1，2，…，p)為伴隨變量xj(j=1，2，…，p)的回歸系數(shù)；r0(t)為時(shí)刻t永久性流失客戶的基準(zhǔn)累積保持率（即無風(fēng)險(xiǎn)下t時(shí)的客戶累積保持率）。此即為客戶在t時(shí)期的動(dòng)態(tài)保持率，可由Cox回歸分析得到。

2.2 客戶生命周期時(shí)間參數(shù)的估計(jì)

對(duì)客戶生命周期時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。典型客戶的客戶保持率下降到50%時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間段即為該客戶所在客戶群的平均全生命周期時(shí)間。如圖1：

圖1 客戶生命周期T的計(jì)算原理圖

設(shè)T為所要求的細(xì)分客戶的全生命周期時(shí)間，即典型客戶的累積保持率下降到50%時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間段；ta為恰好小于T的生存時(shí)間；tb為恰好大于T的生存時(shí)間；S(ta)、S(tb)分別為客戶在ta、tb的累積生存率，即累積客戶保持率。則由線性內(nèi)插法有：

由上述線性內(nèi)插法得到的T即為典型客戶的全生命周期時(shí)間。

假設(shè)客戶在生命周期中經(jīng)歷三個(gè)階段：發(fā)展期、成熟期、衰退期。對(duì)于t1和t2（客戶生命周期中各階段的轉(zhuǎn)折時(shí)點(diǎn)）這兩個(gè)客戶生命周期中時(shí)間躍變點(diǎn)（如圖2）

圖2 客戶生命周期框架下的客戶利潤(rùn)曲線

相應(yīng)的利潤(rùn)函數(shù)如下：

本論文通過式（5）中求解下列兩方程來得到：

通過t1和t2這兩個(gè)時(shí)間躍變點(diǎn)，可以很清楚地知道某客戶當(dāng)前所處在的生命階段，從而可以區(qū)別出CLV隨時(shí)間變化的不同階段，進(jìn)而使CLV模型的計(jì)算誤差大大減小。

2.3 基于生存特征的CLV計(jì)量模型

根據(jù)上述方法求解客戶生命周期價(jià)值計(jì)量模型中各參數(shù)，得到基于生存特征的CLV計(jì)量模型：

π1（t）、π2（t）和π3（t）為客戶分別在發(fā)展期、成熟期和衰退期的利潤(rùn)函數(shù)，是對(duì)歷史客戶利潤(rùn)進(jìn)行擬合得到的函數(shù)?？蛻衾麧?rùn)函數(shù)反映了客戶利潤(rùn)在客戶生命周期的變化趨勢(shì)，是CLV模型中的一個(gè)重要參數(shù)。d為折現(xiàn)率。

r(t)為由Cox回歸模型得到的客戶保持率函數(shù)。令r(r,t+1)表示客戶在時(shí)間段[t，t+1]上的條件客戶保持率，r(t)表示客戶在時(shí)刻t的累積客戶保持率，是由動(dòng)態(tài)變量確定的各期客戶條件保持率之積，即：

當(dāng)客戶利潤(rùn)保持不變時(shí)，累積客戶保持率越大，此客戶的生命周期價(jià)值就越大；反之，則越小。

T為客戶生命周期時(shí)間，由上述公式（3）求得的解。T越大，說明客戶生命周期時(shí)間越長(zhǎng)，也即客戶在企業(yè)內(nèi)停留得越久，此客戶的生命周期價(jià)值也越大；反之，會(huì)越小。t1和t2分別為客戶由發(fā)展期進(jìn)入成熟期、由成熟期進(jìn)入衰退期的時(shí)間點(diǎn)，分別由式（6）、式（7）求得。它們可很好地定位某當(dāng)前客戶生命周期的所處階段。

CLV模型的三個(gè)部分是隨著時(shí)間的推移逐漸地加入到客戶生命周期價(jià)值的計(jì)量中的，并且隨著時(shí)間的推移，三個(gè)部分在CLV模型中的比例會(huì)逐漸發(fā)生變化，直至客戶退出。

3 案例分析

3.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

本案例所采用的數(shù)據(jù)集為某電信公司客戶數(shù)據(jù)記錄。抽取其中1000條記錄組成本次研究的樣本，對(duì)其進(jìn)行分析?？蛻魯?shù)據(jù)包含 42個(gè)屬性，有 tenure、age、marital、address、ed、employ、retire、gender、custcat、ebill、internet、churn等。 其中churn為狀態(tài)變量，若其值為1，則表示該客戶在觀察期內(nèi)流失；若其值為0，則表示該客戶在觀察期結(jié)束時(shí)未流失，仍然在企業(yè)內(nèi)。

表1展示了全部屬性中的一部分（因?qū)傩暂^多，此處并未展示全部屬性）：

表1 部分客戶屬性及其解釋

一般來說，原始數(shù)據(jù)是“臟”數(shù)據(jù)，不可避免地存在著一些空缺值、噪聲數(shù)據(jù)、不正確數(shù)據(jù)等。直接采用“臟”數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可能使建模過程陷入混亂，導(dǎo)致不可靠的輸出，因此在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析之前，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，如屬性規(guī)約、數(shù)據(jù)變換等。

通過對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)處理，刪除了具有較強(qiáng)相關(guān)性的11個(gè)屬性，其余31個(gè)屬性進(jìn)行生存分析。

3.2 客戶生存數(shù)據(jù)分析

采用Cox回歸分析法進(jìn)行生存分析。在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型建立前需要對(duì)成比例危險(xiǎn)性假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。運(yùn)用SPSS 13.0中的Analyze對(duì)各分層屬性進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，即在保持其他協(xié)變量不變的前提下，分別作出每層的累積危險(xiǎn)性與時(shí)間對(duì)數(shù)曲線，并根據(jù)以下依據(jù)進(jìn)行判別：若曲線之間是接近平行且垂直等距的，那么該協(xié)變量滿足PH假設(shè)；若曲線之間相互交叉，則不滿足PH假設(shè)。

判別結(jié)果所有屬性都符合成比例危險(xiǎn)性的假設(shè)，因此所有屬性都將進(jìn)入Cox回歸分析。

運(yùn)用SPSS 13.0進(jìn)行Cox回歸分析，得生存函數(shù)圖和累積危險(xiǎn)函數(shù)圖，分別如圖4、圖5所示：

圖4 生存函數(shù)圖

結(jié)果表明，在最初的10個(gè)月里，客戶的累積生存率基本為1，其累積危險(xiǎn)率基本為0，兩者在此期間沒有太大的波動(dòng)。表明在最初的10個(gè)月里，很少有客戶會(huì)離開該電信公司。在隨后的50個(gè)月里（由10個(gè)月到近60個(gè)月），客戶的生存率急速下降，到60個(gè)月幾乎為0，而累積危險(xiǎn)率也急速上升。表明此時(shí)間段客戶流失現(xiàn)象比較嚴(yán)重。60個(gè)月之后，客戶的累積保持率曲線趨于平緩，如圖4所示，這表明活過60個(gè)月的客戶以后存活機(jī)會(huì)趨向穩(wěn)定，但生存率非常低。

圖5 累積危險(xiǎn)函數(shù)圖

同時(shí)，通過對(duì)數(shù)據(jù)的Cox回歸分析，得到進(jìn)入Cox回歸模型的屬性及其回歸系數(shù)，如下表（表2）所示：

表2 方程中的變量

表2中，各協(xié)變量都是以0.05的顯著性水平以逐步向前最大似然法（LR）篩選出來的。

表2中，address變量的風(fēng)險(xiǎn)度為0.574，而回歸系數(shù)為負(fù)，可認(rèn)為employ是一個(gè)保護(hù)變量，客戶在現(xiàn)在住處所待的年數(shù)越長(zhǎng)，在該電信企業(yè)中存留的可能性也就越高。同時(shí)，由表 2可知，address的風(fēng)險(xiǎn)度的 95%置信區(qū)間 （CI）為：[0.335,0.928]。其他各協(xié)變量的解釋以此類推。

故其危險(xiǎn)函數(shù)的回歸模型為：

其中，xi(i=1，2，…，7)依次表示表3中的協(xié)變量。如x1表示address、x2表示employ等；h(t)表示客戶在時(shí)刻t的流失概率，h0(t)表示當(dāng)所有危險(xiǎn)因素都不存在時(shí)，時(shí)刻t的基準(zhǔn)流失概率。

由表3可知，對(duì)式（10）、式（11）所表示的模型進(jìn)行有效性檢驗(yàn)，Sig.值多為0.000,以0.05檢驗(yàn)水平，拒絕無效假設(shè)，因此該模型是有效的。

表3 模型系數(shù)檢驗(yàn)(Step：6)

客戶的動(dòng)態(tài)保持率函數(shù)如下所示：

其中，t＞0，S(t)為客戶在時(shí)刻的累積保持率；為典型客戶在時(shí)刻的基準(zhǔn)累積保持率，可由生存表Survival Table查得。

假設(shè)有某客戶，其在現(xiàn)居住地已居住15年，在現(xiàn)被雇傭的公司待了10年，沒有ebill業(yè)務(wù)，上個(gè)月的長(zhǎng)途花費(fèi)在取對(duì)數(shù)后為0.31，在除上個(gè)月的long distance、calling card花費(fèi)之外的從進(jìn)入該電信公司的所有的long distance、calling card花費(fèi)在取自然對(duì)數(shù)后分別為1.52和1.63，需要求出客戶在第13個(gè)月仍在該電信公司的可能性，或此客戶的累積保持率。

將各協(xié)變量的取值及基準(zhǔn)累積生存率代入式（11），有

此即為該客戶在此電信公司能留存 13個(gè)月的生存率。與其原值（0.72111）相比，預(yù)測(cè)值只和它相差約0.0066，即誤差百分比為0.9%。說明該模型的預(yù)測(cè)效果較好。

3.3 客戶生命周期時(shí)間參數(shù)估計(jì)

由Survival Table可知：

表4 Survival Table的一部分

t1=45，r(t1)=0.504，t2=46，r(t2)=0.479。則由線性內(nèi)插法知，當(dāng)r(T)=0.5時(shí)，可得下式：

也即，

則，T≈45.2，即客戶的平均全生命周期時(shí)間約為45.2個(gè)月，約為3.8年。

假設(shè)該企業(yè)典型客戶生命周期利潤(rùn)函數(shù)如下：

由式（6）（7）可得，t1和t2分別為15個(gè)月（1.25年）和37個(gè)月（3.1年）。

3.4 基于生存特征的CLV計(jì)量

根據(jù)基于生存特征的客戶生命周期價(jià)值計(jì)量模型，假設(shè)折現(xiàn)率為10%，則客戶的生命周期價(jià)值為：

對(duì)于該電信企業(yè)，當(dāng)某客戶的具體屬性的取值已知時(shí)，其在全生命周期下的CLV可由上式（14）求得。

4 結(jié)論

本文通過引入生存函數(shù)中的Cox回歸模型，很好地解決了客戶的生存時(shí)間分布未知的情況下，如何求解客戶保持率的問題，并依據(jù)由此得到的客戶保持率估計(jì)出了典型客戶的全生命周期時(shí)間，最終得到了基于生存特征的CLV計(jì)量模型，并通過實(shí)例中分析驗(yàn)證了模型的可行性與適用性。

[1]Yun Chen,Guozheng,Zhang,Dengfeng,Hu，Shanshan,Wang.Customer Segmentation in Customer Relationship Management Based on Data Mining[J].IFIP International Federation for Information Processing(IFIP),2006,207.

[2]Barbara Bund Jackson.Building Customer Relationship that Last [J].Harvard Business Review,1985，（11～12）.

[3]Berger,P.D.，Nasr,NI.Customer Lifetime Value:Marketing Model and Application[J].Journal of Interactive Marketing,1998,12(1).

[4]齊佳音，舒華英，客戶價(jià)值評(píng)價(jià)、建模及決策[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2004.

[5]譚躍雄，周娜.基于動(dòng)態(tài)客戶保持的企業(yè)客戶生命周期價(jià)值模型研究[J].管理科學(xué)，2004，(6).

[6]ELISA T.LEE.譯者：陳家鼎、戴中維.生存數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計(jì)方法[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1998.