一類離散H信號(hào)的時(shí)域構(gòu)造方法及其特性分析

石 榮,胡來招

(電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610036)

1 引 言

H信號(hào)由文獻(xiàn)[1]首次公開提出,該信號(hào)是類似于噪聲的信號(hào),其良好的特性使得其在許多領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。利用H信號(hào)來攜帶信息可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的隱蔽傳輸,利用H信號(hào)探測(cè)目標(biāo)可以具備良好的低截獲概率特性。由H信號(hào)的定義可知,H信號(hào)既包括連續(xù)型,也包括離散型,由于工程實(shí)踐中數(shù)字信號(hào)處理手段的普及,經(jīng)過數(shù)字化采樣后的離散H信號(hào)使用更加廣泛,所以本文也以離散H信號(hào)為研究對(duì)象。離散H信號(hào)的構(gòu)造通常是按照其在頻率域中的定義,通過信號(hào)頻域相位隨機(jī)化后,進(jìn)行傅里葉逆變換來得到時(shí)域中的離散H信號(hào)。按照這種方法構(gòu)造出的信號(hào)通常是時(shí)域中的多值化信號(hào),一方面增加了其在某些應(yīng)用領(lǐng)域中時(shí)域硬件處理的復(fù)雜性,另一方面在信號(hào)發(fā)射過程中會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的峰均比問題,發(fā)射機(jī)的工作點(diǎn)必須回退以保證信號(hào)的放大處于發(fā)射機(jī)的線性區(qū)。本文以m序列為基礎(chǔ),利用其互相關(guān)函數(shù)的單峰性,直接從時(shí)域進(jìn)行離散H信號(hào)的合成,按照這種方法構(gòu)造出的離散H信號(hào)在時(shí)域只取兩個(gè)值,這類離散H信號(hào)的時(shí)域硬件處理復(fù)雜度可以得到很大的簡(jiǎn)化,而且信號(hào)發(fā)射過程的峰均比問題也得到基本解決,同時(shí)對(duì)此類離散H信號(hào)的相關(guān)特性從理論上給予了證明。本文的分析也從另一個(gè)角度展現(xiàn)了H信號(hào)、m序列等隨機(jī)信號(hào)之間的緊密聯(lián)系,這對(duì)于進(jìn)一步開展H信號(hào)的理論研究,理解H信號(hào)的本質(zhì)內(nèi)涵和工程應(yīng)用具有重要的參考意義。

2 離散H信號(hào)及其頻域構(gòu)造

根據(jù)文獻(xiàn)[1],信號(hào)的自相關(guān)只有一個(gè)位置在零的峰,其傅里葉變換的幅度是一個(gè)常數(shù),而信號(hào)頻譜的相位是隨機(jī)均勻分布的,其特征非常接近于一個(gè)白噪聲,這樣的信號(hào)就稱為H信號(hào)。由此可知,H信號(hào)是一個(gè)在統(tǒng)計(jì)意義上定義的信號(hào)種類,一個(gè)具體信號(hào)實(shí)現(xiàn)可以看成是H信號(hào)中的一個(gè)信號(hào)樣本。離散H信號(hào)具有如下特性:

(1)對(duì)一個(gè)H信號(hào)樣本進(jìn)行傅里葉變換,其頻譜幅度是一個(gè)常數(shù),頻譜的相位在360°范圍內(nèi)均勻分布;

(2)如果對(duì)該信號(hào)樣本進(jìn)行周期性擴(kuò)展,其自相關(guān)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)只有一個(gè)非零點(diǎn),相關(guān)沒有任何柵瓣;

(3)兩個(gè)獨(dú)立的H信號(hào)之間的互相關(guān)函數(shù)與信號(hào)本身具有近似的規(guī)律,即互相關(guān)函數(shù)的頻譜是平坦的,在時(shí)間上是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)量,沒有高聳的峰值。

根據(jù)上述信號(hào)特性,在同時(shí)使用多個(gè)H信號(hào)時(shí),它們彼此之間可以認(rèn)為是一定意義上接近正交的,基本沒有相互干擾。根據(jù)H信號(hào)的定義來合成H信號(hào)是最直接的信號(hào)構(gòu)造方法,該方法以頻域?yàn)榛A(chǔ),所以又稱為H信號(hào)的頻域構(gòu)造法。

首先確定信號(hào)長(zhǎng)度L,然后根據(jù)同余法生成在0～360范圍內(nèi)均勻分布的L個(gè)隨機(jī)數(shù)作為頻域相位值,遞推公式如下:

式中,a、b為遞推參數(shù),這樣只要確定了隨機(jī)相位起始值 θ1,便可以通過上式得到0°～360°范圍內(nèi)均勻分布的相位序列,在此基礎(chǔ)上可得到H信號(hào)的頻域表達(dá)式Hf如下:

式中,ξ是幅度調(diào)節(jié)參數(shù),對(duì)Hf進(jìn)行傅里葉逆變換,將最終得到H信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為

顯然,一般情況下,Ht是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的復(fù)數(shù)值時(shí)間序列。如果要得到實(shí)數(shù)值的H信號(hào),需要對(duì) Hf附加一個(gè)限制條件使得θi=360-θL+1-i,即頻域序列具有共額對(duì)稱特性,這樣經(jīng)過傅里葉逆變換之后的Ht便是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的實(shí)數(shù)值時(shí)間序列。

3 利用m序列構(gòu)造時(shí)域離散H信號(hào)

H信號(hào)是一大類信號(hào),通常情況下按照其定義從頻域構(gòu)造后經(jīng)傅里葉逆變換得到。但是H信號(hào)中有一個(gè)特殊子類,這類信號(hào)可以從時(shí)域來直接構(gòu)造,其構(gòu)造的基礎(chǔ)是利用m序列來生成。m序列是最長(zhǎng)線性反饋移位寄存器序列的簡(jiǎn)稱,帶線性反饋邏輯的寄存器設(shè)定初始狀態(tài)后,在時(shí)鐘的觸發(fā)下通過移位與模2加反饋邏輯,將生成一個(gè)周期性的0/1序列,序列的周期與線性反饋寄存器的特征多項(xiàng)式密切相關(guān),一個(gè)產(chǎn)生m序列的 n級(jí)移位寄存器,其特征多項(xiàng)式一定是n次的本原多項(xiàng)式F(x),即滿足如下條件:F(x)是既約的,即不能再分解因式;F(x)可整除xm+1,其中m=2n-1;F(x)不能整除 xq+1,其中q

利用m序列來直接構(gòu)造H信號(hào)的步驟如下:

(1)確定信號(hào)的長(zhǎng)度L,且滿足L=2n-1;

(2)利用次數(shù)為n的本原多項(xiàng)式,得到長(zhǎng)度為L(zhǎng)的m序列Sm,Sm是一個(gè)0/1序列;

(3)對(duì)序列Sm進(jìn)行如下線性運(yùn)算,即可得到長(zhǎng)度為L(zhǎng)的H信號(hào)HL,t:

式中,d是幅度調(diào)節(jié)參數(shù),其中的每一離散信號(hào)樣點(diǎn)值

由此構(gòu)造的離散H信號(hào)只取一正一負(fù)兩個(gè)值,而這兩個(gè)值的絕對(duì)值隨著信號(hào)長(zhǎng)度的增加差別越來越小,這樣在信號(hào)發(fā)射過程中發(fā)射機(jī)基本上可以處于滿功率工作狀態(tài),不會(huì)因?yàn)樾盘?hào)幅度的多值性而將工作點(diǎn)大幅度回退,所以基本上解決了信號(hào)的峰均比問題。

下面以一個(gè)實(shí)例來進(jìn)行說明。取要構(gòu)造的H信號(hào)序列長(zhǎng)度為1023,因1023=210-1,所以選取次數(shù)為10的本原多項(xiàng)式x10+x3+1來生成m序列,然后按照式(3)即可得到長(zhǎng)度為1023的H信號(hào)H1023,t,該信號(hào)的時(shí)域波形、周期自相關(guān)函數(shù)、頻域幅值、頻域相位分別如圖1～4所示。

圖1 H1023,t信號(hào)的時(shí)域波形圖Fig.1 Waveform of H1023,tin time domain

圖2 H1023,t信號(hào)的周期性自相關(guān)圖Fig.2 Periodic self-correlation of H1023,t

圖3 H1023,t信號(hào)的頻域幅值圖Fig.3 Amplitude of H1023,tin frequency domain

圖4 H1023,t信號(hào)的頻域相位圖Fig.4 Phase of H1023,tin frequency domain

4 該類離散H信號(hào)的主要特性

按照上述方法構(gòu)造出的時(shí)域信號(hào)序列HL,t具有如下的主要特征:

(1)性質(zhì)1:信號(hào)序列HL,t的周期性自相關(guān)函數(shù)rxx(k)具有沖激信號(hào)特征,只有一個(gè)位置在零的峰,且滿足:

將式(3)代入上式化簡(jiǎn),立即可得 rxx(0)=d2·2n。當(dāng) k≠0時(shí),

其中 i′=(k+i)mod(2n-1),將式(3)代入上式化簡(jiǎn)可得:

實(shí)際上,Ssum1表示m序列Sm映射為+1/-1序列后的非零自相關(guān)函數(shù),根據(jù)m序列的性質(zhì)Ssum1=-1,由于一個(gè)m序列Sm循環(huán)移位后仍然為m序列,且一個(gè)長(zhǎng)度為2n-1的m序列自身求和為,這樣

于是,根據(jù)上述結(jié)果可得:

(2)性質(zhì)2:信號(hào)序列HL,t是一個(gè)時(shí)域二值信號(hào),即在時(shí)域上只取一正一負(fù)兩個(gè)值,且正值的數(shù)目比負(fù)值的數(shù)目多1。

證明:根據(jù)式(3),信號(hào)序列HL,t是由m序列Sm線性變換后生成,其中的m序列Sm只取0和1兩個(gè)值,經(jīng)過線性變換仍然取兩個(gè)值,其中m序列中的0變換為H信號(hào)序列中的負(fù)值序列中的1變換為H信號(hào)序列中的正值。根據(jù)m序列的性質(zhì)即序列中1的數(shù)目比0的數(shù)目恰好多1個(gè),所以對(duì)應(yīng)的H信號(hào)序列中,正值的數(shù)目比負(fù)值的數(shù)目多1。

(3)性質(zhì)3:信號(hào)序列HL,t具有類似于m序列的信號(hào)游程特性。

劉佳爸爸要送我回家，我死活不肯，我說我離家出走了。我像一只八爪魚那樣抓著劉佳不放，最后他帶我回了家，我在他家浴室里洗頭洗澡，出來時(shí)，我的頭發(fā)終于有了和他一樣的味道。

證明:根據(jù)式(3),信號(hào)序列 HL,t是由m序列 Sm線性變換后生成,m序列信號(hào)游程特性同樣也對(duì)應(yīng)映射到H信號(hào)序列中,H信號(hào)中的游程以正數(shù)游程與負(fù)數(shù)游程來進(jìn)行劃分,即:信號(hào)長(zhǎng)度為2n-1的信號(hào)序列中,總共有2n—1個(gè)游程,其中長(zhǎng)度等于l的游程占游程總數(shù)的,此外,還有一個(gè)長(zhǎng)度為n的正數(shù)游程,一個(gè)長(zhǎng)度為n-1的負(fù)數(shù)游程。

(4)性質(zhì) 4:信號(hào)序列HL,t的傅里葉變換,其頻譜幅度是一個(gè)常數(shù),頻譜的相位均勻分布。

證明:信號(hào)序列HL,t的傅里葉變換為

根據(jù)離散傅里葉的性質(zhì)[5]可得:

將性質(zhì)1的結(jié)果代入上式可得:

(5)性質(zhì)5:信號(hào)序列HL,t的周期性移位時(shí)間序列仍然是一個(gè)H信號(hào)時(shí)間序列。

證明:根據(jù)式(3),信號(hào)序列 HL,t是由m序列 Sm線性變換后生成,m序列周期性移位后仍然為m序列,所以對(duì)應(yīng)映射到H信號(hào)序列中,HL,t的周期性移位時(shí)間序列仍然是一個(gè)H信號(hào)時(shí)間序列。

5 結(jié)束語

本文以m序列為基礎(chǔ),從時(shí)域直接構(gòu)造了一類特殊的離散H信號(hào),給出了該類信號(hào)的構(gòu)造原理與方法,并從理論上證明了該類信號(hào)所具有的五大特性。一方面展現(xiàn)了H信號(hào)與m序列信號(hào)相互之間的聯(lián)系,提供了此類H信號(hào)分析的理論基礎(chǔ)。另一方面,這一類具有時(shí)域二值化取值特征的離散H信號(hào),也給實(shí)際數(shù)字化硬件平臺(tái)的信號(hào)處理類應(yīng)用提供了更加簡(jiǎn)潔的處理手段,這對(duì)于H信號(hào)的更加廣泛的工程實(shí)際應(yīng)用具有重要的參考意義。

[1]胡來招.信號(hào)與信息[M].北京:電子工業(yè)出版社,2010.HU Lai-zhao.Signal and Information[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010.(in Chinese)

[2]Hans-Jǜrgen Zepernick,Adolf Filger.Pseudo Random Signal Processing Theory and Application[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2007.

[3]John G Proakis.Digital Communications[M].5th ed.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2009.

[4]Paul Garrett.The Mathematics of Coding Theory[M].Beijing:China Machine Press,2005.

[5]Sanjit K Mitra.Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach[M].2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press,2001.