基于馬爾科夫過程的大型機(jī)組三狀態(tài)可靠性研究

唐玉玉

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶400047）

1 引 言

系統(tǒng)的可靠性是保證系統(tǒng)能夠成功執(zhí)行特殊任務(wù)的關(guān)鍵評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．對(duì)于大型機(jī)組系統(tǒng)的正常運(yùn)行狀況，評(píng)估此系統(tǒng)的可靠性顯得尤為重要．然而，大多數(shù)可靠性文獻(xiàn)研究的都是兩個(gè)狀態(tài)，即大型機(jī)組處于正常和停運(yùn)兩個(gè)狀態(tài)組成的系統(tǒng)．在實(shí)際問題中，機(jī)組往往處于多種狀態(tài)．例如 “一些大型發(fā)電機(jī)組經(jīng)常處于部分停運(yùn)狀態(tài)，即機(jī)組不足100%地故障停運(yùn)，而是可用發(fā)電容量只能達(dá)到額定容量的某1個(gè)值，即不能滿載運(yùn)行，稱為降出力運(yùn)行”［1］．本文針對(duì)當(dāng)前國(guó)內(nèi)大型機(jī)組系統(tǒng)降出力事故發(fā)生的實(shí)際情況，構(gòu)建了以正常運(yùn)行，停止運(yùn)行及降出力運(yùn)行為狀態(tài)空間的三狀態(tài)可靠性評(píng)價(jià)研究．這三種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)化是隨機(jī)的，是一個(gè)典型的馬爾科夫過程［2］，筆者利用連續(xù)參數(shù)馬氏鏈的相關(guān)轉(zhuǎn)移概率的結(jié)果，得到系統(tǒng)處于各種狀態(tài)的概率，以及系統(tǒng)的可用度，從而為大型機(jī)組實(shí)際可靠性評(píng)價(jià)研究工作提供一定的幫助．

2 基于馬爾科夫過程的大型機(jī)組三狀態(tài)可靠性模型構(gòu)建

2．1 大型機(jī)組系統(tǒng)可靠性定義

可靠性是指部件、零件、產(chǎn)品或系統(tǒng)在規(guī)定的環(huán)鏡下、規(guī)定的時(shí)間內(nèi)、規(guī)定條件下無故障地完成其規(guī)定功能的概率［3］．可靠性評(píng)定是利用產(chǎn)品的有限樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)，考核和評(píng)價(jià)其可靠性指標(biāo)的分析方法［4］．在一定的時(shí)間內(nèi)，機(jī)組所處的狀態(tài)都有發(fā)生故障的可靠性，且各種狀態(tài)都是相互獨(dú)立的，即機(jī)組從一個(gè)狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移不受其他時(shí)間段內(nèi)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的影響．

2．2 馬爾科夫過程

馬爾科夫過程是一類很重要的隨機(jī)過程，這一類過程的特點(diǎn)是，當(dāng)過程在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)已知，則過程在t0以后所處狀態(tài)與過程在t0之前所處狀態(tài)無關(guān)，這個(gè)特性叫無后效性也叫做馬爾科夫性［2］，通俗地講，就是 “已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)”．馬爾科夫過程應(yīng)用非常廣泛，它在近代物理學(xué)、生物學(xué)、公共服務(wù)事業(yè)、信息處理、自動(dòng)控制、通信以及計(jì)算機(jī)等方面都有很重要的應(yīng)用．

設(shè) ｛X（t），t∈T｝為一隨機(jī)過程，ti∈T，i＝1，2，…n，且t1＜t2＜…＜tn，如果對(duì)于狀態(tài)空間S中的任意狀態(tài)x1，x2…xn，X（tn）的條件分布函數(shù)滿足：P｛X（tn）＜xn｜X（tn－1）＝xn－1…X（t1）＝x1｝＝P｛ X（tn）＜xn｜X（tn－1）＝xn－1｝，xn∈R則稱｛X（t），t∈T｝具有馬爾科夫性或無后效性，并稱｛X（t），t∈T｝為馬爾科夫過程，簡(jiǎn)稱為馬氏過程．稱P｛ X（tn）＜xn｜X（tn－1）＝xn－1｝ 為馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移概率分布，稱條件概率Pij（m，h）＝P｛ X（m＋h）＝j(luò)｜X（m）＝i｝，i，j∈I，m≥0，h＞0為｛X（n），n≥0｝的h步轉(zhuǎn)移概率［5］．

2．3 模型構(gòu)建

機(jī)組的運(yùn)行結(jié)果可能出現(xiàn)以下三種狀態(tài)：（1）滿出力運(yùn)行狀態(tài)，即機(jī)組正常運(yùn)行，（2）降出力運(yùn)行狀態(tài)．（3）不出力運(yùn)行狀態(tài)，即強(qiáng)迫停運(yùn)［6］．在某一時(shí)刻，機(jī)組所處的狀態(tài)為以上這3種狀態(tài)中的一種，而在某個(gè)時(shí)間段中，機(jī)組所處的狀態(tài)可能從其中的一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移成為另一種狀態(tài)．實(shí)際上機(jī)組的運(yùn)行過程也是各類狀態(tài)相互轉(zhuǎn)化的過程，各狀態(tài)在時(shí)間序列上服從指數(shù)分布，而且相互獨(dú)立，tn時(shí)刻的狀態(tài)只與時(shí)刻tn－1所處的狀態(tài)有關(guān)，而與tn－1時(shí)刻之前的狀態(tài)無關(guān)，因此，符合馬爾科夫性，其三種狀態(tài)即為馬爾科夫鏈的三種狀態(tài)［7］．滿足條件存在且與i無關(guān)，這是馬爾科夫過程的極限定理，又稱為遍歷性定理，即馬氏鏈不論從哪種狀態(tài)出發(fā)，當(dāng)經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，達(dá)到j(luò)狀態(tài)的概率都接近于πj，就是說，當(dāng)機(jī)組運(yùn)行相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間后，機(jī)組所處三種狀態(tài)的概率都將達(dá)到一個(gè)極限值，由此利用轉(zhuǎn)移方程可求出機(jī)組處于各種狀態(tài)的穩(wěn)定概率，從而對(duì)可靠性作出較為準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)［8］．建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型 （如圖所示）

并作出如下假設(shè)：

（1）機(jī)組所處平穩(wěn)狀態(tài)概率矩陣為P（3），P（3）＝ P［P1，P2，P3］，P 為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣．

（2）從滿出力運(yùn)行狀態(tài)到降出力運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間間隔序列T12服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為F12（t）＝1－e－λ1t，其中λ1為從狀態(tài)1到狀態(tài)2的故障率．

（3）從滿出力運(yùn)行狀態(tài)到不出力運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間間隔序列T13服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為F13（t）＝1－e－λ2t，其中λ2為從狀態(tài)1到狀態(tài)3的故障率．

（4）從降出力運(yùn)行狀態(tài)到不出力運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間間隔序列T23服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為F23（t）＝1－e－λ3t，其中λ3為從狀態(tài)2到狀態(tài)3的故障率．

（5）從降出力運(yùn)行狀態(tài)到滿出力運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間間隔序列T21服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為F21（t）＝1－e－μ1t，其中μ1為從狀態(tài)2到狀態(tài)1的維修率．

圖1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

（6）從不出力運(yùn)行狀態(tài)到滿出力運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間間隔序列T31服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為F31（t）＝1－e－μ2t，其中μ2為從狀態(tài)3到狀態(tài)1的維修率．

（7）從不出力運(yùn)行狀態(tài)到降出力運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間間隔序列T32服從指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為F32（t）＝1－e－μ3t，其中μ3為從狀態(tài)3到狀態(tài)1的維修率．

根據(jù)Chapman－Kolmogorov方程［9］，要求出機(jī)組處于各種狀態(tài)的概率，則要滿足以下條件：

再加上 （2）式全概率定理，即可得如下結(jié)果：

其中，P1為機(jī)組處于滿出力運(yùn)行狀態(tài)的概率，P2為機(jī)組處于降出力運(yùn)行狀態(tài)的概率，P3為機(jī)組處于不出力運(yùn)行狀態(tài)的概率，系統(tǒng)在t時(shí)刻的可用度為A（t）＝P1＋P2．

3 結(jié) 論

本文從已有的可靠性理論找到切入點(diǎn)，首先，分析了大型機(jī)組系統(tǒng)的各種運(yùn)行情況，提出了包括降出力運(yùn)行狀態(tài)的三狀態(tài)研究模型，其次，利用馬爾科夫過程的評(píng)價(jià)方法，計(jì)算出各種狀態(tài)之中的轉(zhuǎn)移概率以及處于每種狀態(tài)的概率，并得出系統(tǒng)的可用度，能夠在一定程度上對(duì)大型機(jī)組可靠性管理工作水平提供理論依據(jù)［10］．

［1］ 馮麗杰，姜洪波，劉衛(wèi)星．大型發(fā)電機(jī)組三狀態(tài)可靠性研究 ［J］．北華大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26（02）：35－36

［2］ 孫榮恒．隨機(jī)過程及其應(yīng)用 ［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2004：24－27

［3］ 金星，洪延姬．系統(tǒng)可靠性與可用性分析方法 ［M］．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2007：150－155

［4］ 郭永基．可靠性工程原理 ［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2002：235－258

［5］ 陸傳賚．排隊(duì)論 ［M］．北京：北京郵電學(xué)院出版社，2009：5－60

［6］ 周天寵，孟憲云，王守柱，等．兩類三狀態(tài)系統(tǒng)可靠度優(yōu)化方法 ［J］．黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)．2009，28（03）：45－46

［7］ 唐應(yīng)輝，唐小我．排隊(duì)論基礎(chǔ)與分析技術(shù) ［M］．北京：科學(xué)出版社，2006：1－34

［8］ 孫榮恒，李建平．排隊(duì)論基礎(chǔ) ［M］．北京：科學(xué)出版社，2002：20－69

［9］ 臺(tái)文治，高世澤．一類具有可變輸入率的排隊(duì)模型 ［J］．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，26（01）：245－247

［10］ 曹晉華，程侃．可靠性數(shù)學(xué)引論 ［M］．北京：科學(xué)出版社，2003：108－110