一類帶p－Laplace算子邊值問題三個(gè)正解的存在性

王雪枝

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原030051）

1 引 言

帶有p－Laplace算子微分方程邊值問題，在非牛頓力學(xué)，天體物理及p－Laplacian的徑向?qū)ΨQ解等實(shí)際問題和理論研究中都有廣泛的應(yīng)用［1］．本文主要研究以下邊值問題

本文假設(shè)以下條件是成立的：

（H2）f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×（－∞，0］，［0，＋∞））

（H3）q（t）是 （0，1）上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，在 （0，1）的任意子區(qū)間q（t）不恒等于，且

2 定義與定理

令X＝C1［0，1］是一個(gè)Banach空間 ，C＊［0，1］＝ ｛u∈X，u（t）≥0，u′（t）≤0，u′（t）是不增函數(shù)，對(duì)t∈ ［0，1］｝

為了證明主要定理，給出以下在Banach空間上錐的一些定義．

定義2．1［2］令E是R上的Banach空間，非空凸閉集P?E被稱為錐，只要滿足 （a）如果y∈P并且λ≥0則λy∈P；（b）如果y∈P并且－y∈P，則y＝0．

定義2．2［2］映射α是P 上非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)α只要：P→ ［0，＋∞）連續(xù)且α（tx＋（1－t）y）≥tα（x）＋（1－t）α（y），對(duì)所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

類似的說，β是P上的非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)β只要：P→［0，＋∞）連續(xù)且β（tx＋（1－t）y）≤tβ（x）＋（1－t）β（y），對(duì)所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

設(shè)γ和θ是錐上的非負(fù)連續(xù)凸泛函，α是錐P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，ψ是P錐上的非負(fù)連續(xù)泛函，a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，定義以下凸集：

和一個(gè)閉集：

引理2．1［3］設(shè)P是Banach空間E中的一個(gè)錐．γ和θ是P上非負(fù)連續(xù)凸泛函，α是P上非負(fù)連續(xù)凹泛函，ψ是上非負(fù)連續(xù)泛函且滿足ψ（λu）≤λψ（u），其中0≤λ≤1，存在M，d＞0，使得α（u）≤ψ（u），‖u‖ ≤Mγ（u），對(duì)所有的為全連續(xù)，且有a，b，c＞0，a＜b，使得

（S1）｛ u ∈ P（γ，θ，α，b，c，d）α（u）＞b｝ ≠ ?，α（Tu）＞b且u ∈P（γ，θ，α，b，c，d）

（S2）α（Tu）＞b，對(duì)u∈P（γ，α，b，d）且θ（Tu）＞c

（S3）0?R（γ，ψ，a，d）且ψ（Tu）＜a，對(duì)u∈R（γ，ψ，a，d）且ψ（u）＝a則中至少存在三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1，u2與u3，且有γ（ui）≤d，i＝1，2，3，b＜α（u1）；a＜ψ（u2）且α（u2）＜b，ψ（u3）＜a．

通過引理2．2很容易看出u（t）是邊值問題的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)u（t）＝ （Tu）（t）

引理2．3 T∶P→P是全連續(xù)．

證明 證明過程類似于參考文獻(xiàn) ［4］中第四章中全連續(xù)算子證明過程．

引理2．4［5］假設(shè) （H1）成立．則對(duì)每一個(gè)x∈C＊［0，1］，τ∈ ［0，ε1］，

． 證明 根據(jù)引理2．2，有

．根據(jù)Φq的性質(zhì)和以上兩個(gè)不等式，很容易得出結(jié)論．

定義函數(shù)

3 主要結(jié)果

定理3．1 假設(shè) （H1）－（H2）成立，存在常數(shù)a∈（0，b），且如下假定成立：

則邊值問題至少有三個(gè)正解x1，x2，x3，滿足

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