基于有限元法的Alberich型覆蓋層吸聲特性研究

商 超，魏英杰，張嘉鐘，曹 偉

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

1 引 言

Alberich型吸聲覆蓋層在水聲中應(yīng)用比較廣泛，對水下航行器聲隱身具有重要軍事意義和使用價值[1-2]，其基本結(jié)構(gòu)是在高阻尼的黏彈材料層中嵌入周期性分布的2mm和5mm圓形空氣柱腔。這種在基材內(nèi)部嵌置共振吸聲結(jié)構(gòu)型式的吸聲機理研究從四五十年代一直延續(xù)至今[3-10]，仍在不斷發(fā)展著。

Alberich型吸聲覆蓋層的吸聲機理與聲特性比較復(fù)雜，與材料的物理參數(shù)、空腔結(jié)構(gòu)、溫度、壓力等因素密切相關(guān)。湯渭霖等[5]采用柱面波展開法，半解析地對含有周期短圓柱空的吸聲覆蓋層聲學(xué)性能進行仿真，研究結(jié)果表明，柱腔內(nèi)的軸對稱波對覆蓋層的低頻消聲特性具有重要貢獻。Lane[6]通過改變穿孔層材料硬度的實驗，提出諧振吸聲主要取決于表面層彎曲振動，穿孔材料層只起到影響表面層邊界支撐條件的次要作用。Gaunaurd[7]則認(rèn)為表面層和穿孔層在諧振吸聲中的作用大小跟材料相對硬度有關(guān)。如果表面層比穿孔層硬，就主要是孔壁的徑向振動；如果相反，諧振吸聲就主要取決于表面層的彎曲；如果表面層與穿孔層的硬度相差不大，那么這兩種運動形式兼而有之。

對于幾何形狀稍復(fù)雜的消聲瓦結(jié)構(gòu)或帶有其他粘彈性材料的消聲瓦，聲學(xué)特性沒有解析解，需要用數(shù)值方法研究，多采用有限元方法，因為它能有效地求解微分方程的任意邊值問題。Hennion[8-9]應(yīng)用有限元法，對周期排列柔順管和周期分布圓柱形空腔覆蓋層的反射和透射特性進行了研究。Easwaran[10]認(rèn)為流體介質(zhì)可以作為彈性材料來處理，僅采用1/4個周期單元來劃分網(wǎng)格，計算研究了雙周期吸聲結(jié)構(gòu)的有限元計算問題。

本文基于有限元法研究了附在鋼板上并以空氣為背襯的Alberich型覆蓋層的吸聲特性。通過和無腔時的覆蓋層吸聲系數(shù)的解析解對比，證明了方法的可行性。與上述文章中有限元法不同之處在于，采用無反射流體吸聲邊界，以較少的單元很好地模擬了無限聲學(xué)流場。最后針對一種小腔環(huán)繞大腔的混合型空腔結(jié)構(gòu)開展了有限元分析，結(jié)果表明，該結(jié)構(gòu)的吸聲特性明顯優(yōu)于相同穿孔率的單腔結(jié)構(gòu)。

2 理論模型

2.1 聲場流固耦合問題

假定流體是可壓的，但只允許壓力與平均壓力相比有較小的變化。而且，流體假定為非流動并且無粘的（即粘性不引起耗散作用）。假定平均密度和平均壓力不變，壓力求解偏離平均壓力而不是絕對壓力。

在聲場流固耦合界面問題中，由于上述簡化假設(shè)，流體的動量方程中法向聲壓梯度與結(jié)構(gòu)的法向加速度在界面S處遵循以下規(guī)律：

其中{U}為結(jié)構(gòu)在界面S處的位移；{n}為界面的單位法向量，由流體指向固體。

通過迦遼金方法得到完整的聲場流固耦合問題的有限單元法方程為：

其中[R]是一個耦合矩陣，代表與流體—結(jié)構(gòu)界面上的節(jié)點相聯(lián)系的有效表面面積。

2.2 粘彈性材料吸聲和流體邊界吸聲

Alberich型吸聲覆蓋層通常取用粘彈性材料（如橡膠）做基材，然而對于粘彈固體，拉密常數(shù)一般為復(fù)數(shù)，其虛數(shù)部分代表了材料中存在損耗因素，這時材料的各彈性參數(shù)都應(yīng)表示成復(fù)數(shù)形式，如彈性模量E表示成一個復(fù)數(shù)：

其中η為彈性模量的損耗因子。由此剛度矩陣[K]改寫成復(fù)剛度矩陣 [K~]：

阻尼矩陣[C]用剛度矩陣[K]和損耗因子η來表達：

其中ω為圓頻率。

而流體阻尼矩陣[Cf]的表達式為

其中，c為流體聲速；α為流體邊界吸聲系數(shù)；{}N為聲壓形函數(shù)。

當(dāng)設(shè)置α的值為1時，流體邊界即為無反射邊界，可用于模擬無限流場。

2.3 反射系數(shù)和吸收系數(shù)

當(dāng)平面聲波垂直入射在平面分界面上時，聲壓反射系數(shù)R可以用下式計算：

其中，Z0=ρ0c0是入射平面波所在介質(zhì)的波阻抗；Zb是吸聲材料表面單位面積的機械阻抗。Zb一般為復(fù)數(shù)：

其中，p取聲場流固耦合界面流體側(cè)節(jié)點的壓力，v取固體側(cè)節(jié)點的法向速度。

求得反射系數(shù)R后，吸聲系數(shù)α表示為

3 計算模型

圖1 模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch of structure model

數(shù)值計算采用的模型如圖1所示。Alberich型吸聲覆蓋層（埋入雙周期圓柱孔的橡膠層）敷設(shè)在鋼板上，鋼板后為水背襯或空氣背襯。平面聲波從水中垂直入射到吸聲覆蓋層上。

數(shù)值計算時取用如圖2所示的一個周期胞元，算例均采用六面體網(wǎng)格，網(wǎng)格最大尺寸為2.5mm，有限元模型如3所示。

采用的吸聲材料（橡膠）參數(shù)：楊氏模量Er=1.4e8Pa；楊氏模量損耗因子ηr=0.23；泊松比υr=0.49；密度ρr=1 100kg/m3。材料水的參數(shù)：密度ρw=1 000kg/m3；聲速cw=1 489m/s。材料鋼的參數(shù)：楊氏模量Esl=2.07e11Pa；泊松比 υsl=0.3；密度 ρsl=7 800kg/m3。

圖2 A-A截面圖Fig.2 Cross-sectional view of the section A-A of Fig.l

圖3 胞元有限元模型Fig.3 Finite element model of the unit cell

何祚鏞等在文獻[4]中基于非均勻波導(dǎo)理論，對任意非均勻?qū)?，提出分層近似求傳遞矩陣的方法。該方法考慮的是等效波導(dǎo)截面，對于穿孔率相同的胞元計算得到的結(jié)果將是一樣的。然而穿孔率相同的胞元可以具有各種結(jié)構(gòu)形式，本文維持穿孔率不變的情況下嘗試的圖4和圖5所示的結(jié)構(gòu)，中間空腔半徑變小，在其周圍增加四個小腔，收效不錯。

圖4 工況1Fig.4 Case 1

圖5 工況2Fig.5 Case 2

4 計算結(jié)果及分析

4.1 有效性驗證及水層厚度的影響

均勻無腔覆蓋層，厚度為t=50mm；鋼板厚為5mm；水層厚度為7.5mm或75mm，用來模擬無限聲學(xué)流場。計算結(jié)果如圖6所示。其中解析解采用文獻[3]中的方法，并在橡膠的縱波聲速計算公式中考慮泊松比（約為0.5，而非0）的影響，使用公式：

從圖6可以看出，本文的方法與解析解吻合得非常好。而且由于無反射流體吸聲邊界的設(shè)定，以較少的單元模擬無限聲學(xué)流場已經(jīng)具有很高的精度，而不必至少達到最大波長的0.2倍，因此可以減少計算量，提高計算效率。

圖7 不同穿孔率下的吸聲系數(shù)Fig.7 The absorption coefficient of different perforating rate

4.2 穿孔率對吸聲特性的影響

胞元外部寬度L=30mm；覆蓋層各部分高度t1=2mm，t2=46mm，t3=2mm；空腔直徑d=6/10/12.8mm；鋼板厚度為5mm。結(jié)果如圖7～9所示。

由圖7可以看出，隨著穿孔率的變大，第一吸聲峰值向低頻移動，峰值變大變窄，但同時吸聲谷底有降低趨勢。相比較而言，6mm空腔覆蓋層的吸聲性能較好。由圖8和圖9可以看出，在空腔直徑較小時，孔壁的徑向振動和表面層的彎曲兼而有之；在空腔直徑較大時，表面層的彎曲非常劇烈，孔壁的徑向振動相對較小，但仍較6mm空腔的工況要大。振動主要發(fā)生在空腔附近。

圖8 6mm空腔覆蓋層在10kHz的振動模式Fig.8 The vibration modes of anechoic coating with 6mm cavity at 10kHz

圖9 12.8mm空腔覆蓋層在10kHz的振動模式Fig.9 The vibration modes of anechoic coating with 12.8mm cavity at 10kHz

4.3 混合型空腔結(jié)構(gòu)對吸聲特性的影響

胞元外部寬度L=30mm；覆蓋層各部分高度t1=2mm，t2=46mm，t3=2mm；空腔直徑 d=10mm，d1=4mm；小空腔中心間距L1=16mm，L2=20mm；鋼板厚度為5mm。結(jié)果如圖10～11所示。

由圖10可以看出，在低頻段0～2kHz處，四種工況吸聲性能相近；在頻率段2～5kHz時，混合型空腔覆蓋層的吸聲性能也較10mm空腔的覆蓋層稍差，但優(yōu)于相同穿孔率的12.8mm空腔的覆蓋層；在頻率高于5kHz時，混合型空腔覆蓋層的吸聲性能明顯占優(yōu)。對于兩種混合型空腔的工況，兩者在5kHz后的吸聲表現(xiàn)有所差異，但工況1在部分頻率段具有明顯優(yōu)勢，且在整體上相對平穩(wěn)，故較好。由圖11可以看出，大腔周圍引入小腔，減小了孔壁厚度，使得覆蓋層的振動整體加劇，諧振吸聲效果更好。

圖10 隨頻率變化的吸聲系數(shù)Fig.10 Frequency variation of the absorption coefficient

圖11 工況2的空腔覆蓋層在10kHz的振動模式Fig.11 The vibration modes of anechoic coating with cavity of case2 at 10kHz

5 結(jié) 論

基于有限元法，研究了附在鋼板上并以空氣為背襯的Alberich型覆蓋層的吸聲特性。運用無反射流體吸聲邊界可以由較少的單元來模擬無限聲學(xué)流場，減少計算量。在無腔時，本文的有限元法和解析解能夠非常好地吻合。振動模式的結(jié)果直觀，利于進行吸聲機理的分析和作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化的參考，從中可以發(fā)現(xiàn)，空腔附近存在相對劇烈振動，對吸聲有重要的貢獻。提出一種混合型空腔的思想，這種腔型的覆蓋層的吸聲性能優(yōu)于相同穿孔率的單腔覆蓋層。因此，通過合理優(yōu)化胞元的空腔結(jié)構(gòu)，Alberich型覆蓋層的吸聲性能將有很大的提升空間。

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