控制系統(tǒng)的脆弱性與魯棒性

何朕， 饒丹， 王廣雄， 劉志遠

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001)

控制系統(tǒng)的脆弱性與魯棒性

何朕， 饒丹， 王廣雄， 劉志遠

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001)

針對脆弱性有不同的理解，提出了一種新的關(guān)于脆弱性的概念。脆弱性是指一個優(yōu)化設(shè)計的控制系統(tǒng)卻失去了穩(wěn)定裕度。文中對此進行了分析和說明，指出這脆弱性問題并不是因為控制器的脆弱性造成的，其根本的原因是在最優(yōu)控制本身，是最優(yōu)設(shè)計的手段或所用的判據(jù)造成的。因為H∞優(yōu)化設(shè)計中并沒有用到穩(wěn)定裕度的概念。在多入多出系統(tǒng)的設(shè)計中由于用的是奇異值而不是各個物理變量，所以就有可能忽略了單個回路的魯棒穩(wěn)定性問題。這個新的脆弱性概念也不同于一般控制器參數(shù)攝動下的魯棒性問題，將有助于理解一個設(shè)計良好的系統(tǒng)在實際調(diào)試中可能出現(xiàn)的穩(wěn)定性問題，所以對理論和實踐都有重要意義。文中附有設(shè)計分析的例子，其中的一個例子取自作者在實驗中所遇到的問題。

脆弱性;魯棒性;穩(wěn)定裕度;H∞優(yōu)化設(shè)計;球－桿系統(tǒng)

0 引言

脆弱性是近年來控制界經(jīng)常提到的一個話題，但是理解卻并不相同。脆弱性是指對控制系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計卻失去了魯棒性，因而實際上無法穩(wěn)定工作。文獻［1］將此原因歸結(jié)為控制器的脆弱性。但是脆弱性問題不是一個簡單的控制器問題，所以文獻［1］一經(jīng)提出就遭到 Mkil的質(zhì)疑［2］，并進一步專門著文來闡述其觀點［3］。本文并不從控制器上來找原因，本文認為控制系統(tǒng)脆弱性的根源在于控制系統(tǒng)的設(shè)計理論本身。本文將從控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計，尤其是H∞優(yōu)化設(shè)計的實質(zhì)來對脆弱性問題進行分析，提出一種新的關(guān)于脆弱性的概念。

1 系統(tǒng)的脆弱性

脆弱性的概念是與現(xiàn)代的控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計相伴隨而出現(xiàn)的［1］。現(xiàn)代的各種魯棒設(shè)計理論都是與對象的某種不確定性聯(lián)系在一起的。例如H∞設(shè)計中常用乘性不確定性來描述未建模動態(tài)，要求

式中l(wèi)m(ω)為乘性不確定性的界函數(shù)，并稱這個條件為魯棒穩(wěn)定性條件［4］。但這只是一種相對于乘性不確定性來說的穩(wěn)定性條件。文獻［5］則討論了更為一般性的情形，如圖1所示。這里的不確定性Δ是更為一般的2入2出的4塊結(jié)構(gòu)的不確定性，圖中G為對象，K為控制器。對于圖1的系統(tǒng)來說，設(shè)計指標是Tzw(jω)的H∞范數(shù)‖Tzw‖∞，式中Tzw是從w=[w1w2]T到z= [z1z2]T的閉環(huán)傳遞函數(shù)?！琓zw‖是圖1反饋系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的度量，文獻［5］中將其定義為穩(wěn)定裕度?？傊?，現(xiàn)在的各種魯棒控制問題中的不等式條件，雖然反映了某種穩(wěn)定問題，實際上都是相對于對象的某種不確定性來說的。這種魯棒設(shè)計一般并不關(guān)注Nyquist穩(wěn)定判據(jù)中的穩(wěn)定裕度。雖然這些理論，例如 H∞控制本身可確保所設(shè)計系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但H∞設(shè)計并沒有指定幅值裕度或相位裕度。如果這時這種穩(wěn)定裕度非常小，那么所設(shè)計的系統(tǒng)實際上是不能工作的，這就是脆弱性的概念。

圖1 2入2出的不確定性系統(tǒng)Fig.1 System with a 2×2 uncertainty

還有一種情況是，控制系統(tǒng)的魯棒性是與所考慮問題中的結(jié)構(gòu)形式有關(guān)的。例如最優(yōu)控制的LQG問題，當從分離定理的角度來考慮時，最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋具有很好的魯棒性，但如果是從控制器加對象的角度來考慮時，就可能沒有魯棒性［4］。在MIMO系統(tǒng)的H∞優(yōu)化設(shè)計中也會有類似的問題，例如當H∞范數(shù)或最大奇異值特性滿足魯棒設(shè)計要求時，從單個回路(對應(yīng)每一個具體的輸出變量)來分析時也可能缺少魯棒性。如果這時的穩(wěn)定裕度幾近消失，就稱這個設(shè)計是脆弱的。這也是一種脆弱性的概念。

因為上述的系統(tǒng)在設(shè)計時都已經(jīng)滿足了所定義的穩(wěn)定條件，或者滿足了小增益定理的不等式，如果再出現(xiàn)穩(wěn)定性問題，有人就會將原因歸結(jié)為控制器問題，文獻［1］認為這是控制器的脆弱性引起的。但是控制器的脆弱性不同于上述沒有魯棒性的問題，所以文獻［1］一經(jīng)提出，就遭到 Mkil的質(zhì)疑［2－3］。將這種失去穩(wěn)定性的原因歸結(jié)為控制器脆弱性的學派，是把這個問題看做是控制器參數(shù)攝動引起的魯棒性問題，近年來關(guān)于脆弱性的文獻大都持這種觀點，其基本思想可參見文獻［6］。而Mkil的觀點則認為控制器脆弱性是指控制器參數(shù)的極微小攝動(例如由于字長有限而使系數(shù)出現(xiàn)誤差)可能會導致控制器本身從穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，并認為這不是常規(guī)的攝動的概念，也不是用常規(guī)的魯棒理論可以解決的。Mkil認為控制器的脆弱性是一種控制律算法實現(xiàn)上的問題(包括系數(shù)的字長和算法靈敏度等)，而不是直接從狀態(tài)方程式的系數(shù)上可以來討論的問題［2］。本文認為上面提到的這種系統(tǒng)失去魯棒性的問題并不是控制器本身的問題。所以這里不用控制器脆弱性這個概念，而是將這種魯棒性問題稱為控制系統(tǒng)的脆弱性。這里是將根據(jù)各種優(yōu)化設(shè)計或魯棒設(shè)計理論所得的系統(tǒng)，但缺乏(或幾近消失)幅值裕度或相位裕度的系統(tǒng)，稱為脆弱性系統(tǒng)。這種系統(tǒng)雖然在理論上或仿真驗證時是滿足設(shè)計要求的，但由于(控制器)實現(xiàn)時存在的各種可能的差異，因為沒有穩(wěn)定裕度而使系統(tǒng)實際上無法穩(wěn)定工作。這個脆弱性問題是因為某些優(yōu)化設(shè)計中缺乏(或無法)考慮到一些基本的穩(wěn)定裕度，因而是不能用同一個理論框架來進行評估或避免的。脆弱性問題在經(jīng)典理論時期是不存在的，只有在現(xiàn)代的各種優(yōu)化設(shè)計和魯棒設(shè)計中才有可能出現(xiàn)，所以在采用各種新的設(shè)計理論時，應(yīng)該注意加以防范。

下面通過兩個設(shè)計的例子來作進一步的說明。第一個例子取自H∞控制的一個最基本的概念:雙互質(zhì)分解。第二個例子則是作者為球－桿實驗系統(tǒng)配置H∞控制器時所遇到的問題。

2 設(shè)計分析(1):雙互質(zhì)分解控制器

雙互質(zhì)分解是H∞控制理論中的一個最基本概念。根據(jù)對象的雙互質(zhì)分解，可以寫出一個能使對象穩(wěn)定的控制器的參數(shù)化公式。這樣就消除了H∞控制中要求內(nèi)穩(wěn)定的約束條件，進而得到一個可以求解的模型匹配問題［7］。這里對采用雙互質(zhì)分解設(shè)計的控制系統(tǒng)進行分析，以便進一步了解H∞控制中所可能隱藏的脆弱性問題。

設(shè)對象

將G進行雙互質(zhì)分解，G=NM－1=珟M－1珟N，根據(jù)雙互質(zhì)分解中的X陣和Y陣，可得到控制器

此例取自文獻［7］，式中各符號的說明可參見該文獻。

根據(jù)式(2)、式(3)可得此反饋系統(tǒng)的特征方程式為

式(4)表明，該系統(tǒng)的4個極點都在－1點上，應(yīng)該是具有很好的動態(tài)性能了。現(xiàn)在再從負反饋的角度來對此系統(tǒng)進行分析。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

因為是從負反饋來考慮，所以要用－KG。圖2所示就是此系統(tǒng)的Nyquist圖。圖2表明，雖然系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但Nyquist圖線離－1點非常近，系統(tǒng)實際上沒有魯棒性，參數(shù)稍有攝動就不穩(wěn)定了，這樣的系統(tǒng)實際上是不能工作的。這種設(shè)計就稱為是脆弱的。其實H∞優(yōu)化設(shè)計確實有可能隱藏著脆弱性，文獻［1］在提出脆弱性概念時就有兩個脆弱性的例子是來自早期的H∞控制的經(jīng)典著作［8］。

圖2 基于雙互質(zhì)分解設(shè)計的Nyquist圖Fig.2 Nyquist plot of a doubly-coprime factorizationbased design

3 設(shè)計分析(2):球－桿系統(tǒng)的H∞控制

圖3是德國Amira公司生產(chǎn)的BW500球－桿實驗系統(tǒng)，小球可以在桿上自由滾動，系統(tǒng)的控制輸入是施加在桿上的力矩τ，通過桿的轉(zhuǎn)動來控制球在桿上的位置。忽略一些次要的阻尼系數(shù)后，此球－桿系統(tǒng)的數(shù)學模型可寫成［9］

式中:x1是球在桿上的位置，即圖中的r;x2是球的移動速度;x3是桿的轉(zhuǎn)角θ;x4是桿的轉(zhuǎn)動速率。該實驗系統(tǒng)原配有狀態(tài)反饋［10］，作者利用 MATLAB的實時工作站(real time workshop，RTW)為實驗系統(tǒng)設(shè)計了一個H∞控制器對此球－桿系統(tǒng)進行控制。由于利用了原實驗系統(tǒng)的位移傳感器(光學鏡頭)和轉(zhuǎn)角傳感器(碼盤)，所以H∞設(shè)計中的對象是1入2出的。圖4所示是H∞設(shè)計時的系統(tǒng)框圖。這是H∞設(shè)計中的PS/T問題:

式中:W1是性能權(quán)函數(shù);P是對象;S是對象輸入端的靈敏度函數(shù);W2是乘性不確定性的權(quán)函數(shù)(界函數(shù));T是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。Tzw1是從輸入w1到輸出z= [z1z2z3]T的傳遞函數(shù)。圖中w2是因為H∞設(shè)計中秩的問題而附加的一個小信號。

圖3 球－桿系統(tǒng)Fig.3 Ball-and beam system

圖4 H∞設(shè)計的框圖Fig.4 Block diagram of the H∞ design

因為考慮到θ回路和r回路應(yīng)該具有不同的帶寬，故取性能權(quán)函數(shù)為

在式(9)、式 (10)的權(quán)函數(shù)下，利用 MATLAB的hinfsyn函數(shù)求解這個PS/T問題，得‖Tzw1‖∞=γ=0.997 0，對應(yīng)的H∞控制器為(注:已略去104以上的高頻分量)

作為對H∞優(yōu)化設(shè)計的驗算，圖5列出了式(7)中關(guān)于魯棒穩(wěn)定性的W2與T的相對關(guān)系圖。對于性能的W1PS也可得類似的Bode圖。對設(shè)計結(jié)果的時域仿真也表明本例的H∞設(shè)計是成功的?？墒沁@個H∞控制器在RTW環(huán)境下實現(xiàn)后卻無法使實際系統(tǒng)穩(wěn)定下來。進一步的分析表明，是因為這個球－桿系統(tǒng)的H∞設(shè)計存在脆弱性。

雖然H∞設(shè)計是用奇異值來設(shè)計的，但具體實現(xiàn)時卻是一個一個具體的物理變量與H∞控制器來連接的?，F(xiàn)在就來分析這個用H∞設(shè)計好的系統(tǒng)的輸出變量r(小球位置)的回路特性。具體做法是將圖4在a點處斷開，來考察這個回路的Nyquist特性。圖6就是這個r回路的Nyquist圖。從圖6(b)可以看到，Nyquist圖線與負實軸的交點為－1.04和－0.862，圖中的相位裕度僅為2.46°(對應(yīng)ω=4.83 rad/s)。這些幅值裕度和相位裕度的值都可以用仿真來進行驗證(圖略)。由于這個小球的位置(r)回路的相位裕度幾近消失，所以實際上這個系統(tǒng)是無法穩(wěn)定工作的。這也就是說，球－桿系統(tǒng)的這個PS/T問題的解，雖然滿足了H∞魯棒設(shè)計的要求，并且通過仿真驗證，但卻是脆弱的，在實際系統(tǒng)中是不能實現(xiàn)的。

圖5 補靈敏度T與的Bode圖Fig.5 Bode plot of the complementary sensitivity T and

圖6 位置(r)回路的Nyquist圖Fig.6 Nyquist plots of the position loop(b-enlarged)

4 結(jié)語

脆弱性問題是伴隨著各種優(yōu)化設(shè)計理論/方法而出現(xiàn)的。這些優(yōu)化設(shè)計雖然也包含魯棒性，但一般都是針對對象的某種不確定性，而忽略了最基本的Nyquist判據(jù)下的魯棒性(穩(wěn)定裕度)。這樣的優(yōu)化設(shè)計雖然理論上是可行的，是穩(wěn)定的，并可以通過仿真驗證，實際上卻是無法實現(xiàn)的。這個新的脆弱性概念對優(yōu)化設(shè)計提出了一個在實際應(yīng)用中可能存在的潛在問題，所以對理論和實際都是有重要意義的。

這里所說的脆弱性不同于可以用理論分析計算的控制器參數(shù)攝動，而是由于在理論分析中可能忽略穩(wěn)定裕度的考慮。當然這里并不是說每個優(yōu)化設(shè)計都是脆弱的，只是說優(yōu)化設(shè)計存在著這種可能性。如果一個所設(shè)計的系統(tǒng)在實現(xiàn)時無法穩(wěn)定工作，即無法實現(xiàn)這個設(shè)計，那很可能就是這個脆弱性問題。

［1］ Keel L H，Bhattacharyya S P.Robust，fragile，or optimal?［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42(8):1098－1105.

［3］ Paattilammi J，MkilP M.Fragility and robustness:a case study on paper machine headbox control［J］.IEEE Control Systems Magazine，2000，20(1):13－22.

［4］ DOYLE J C，STEIN G.Multivariable feedback design:concepts for a classical/modern synthesis［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1981，26(1):4 －16.

［5］ LANZON A，PAPAGEORGIOU G.Distance measures for uncertain linear systems:a general theory［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54(7):1532－1547.

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［8］ DOYLE J C，F(xiàn)RANCIS B A，TANNENBAUM A R.Feedback Control Theory［M］.New York:Macmillan，1992.

［9］ 王廣雄，何朕.控制系統(tǒng)設(shè)計［M］.第9章.北京:清華大學出版社，2008.

［10］ 何朕，王毅，周長浩，等.球－桿系統(tǒng)的非線性問題［J］.自動化學報，2007，33(5):550－553.

HE Zhen，WANG Yi，ZHOU Changhao，et al.Nonlinear problems of the bal1 and beam system［J］.ACTA Automatica Sinica，2007，33(5):550－553.

(編輯:劉素菊)

Fragility and robustness of the control system

HE Zhen， RAO Dan， WANG Guang-xiong， LIU Zhi-yuan
(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

A novel concept of the fragility of a control system is presented，though there are some different understandings about the fragility.Fragility means that the stability margin of a system is lost during an optimal design.It is pointed out in the paper，that the fragility problem is not caused by the controller fragility，and the real cause of fragility is the design tools or criteria used in the optimal design.For example，in the H∞optimal design，the concepts of stability margin are totally absent during the design process.In MIMO system design，the singular values are used instead of the individual physical variables，so the robust stability problem of the individual loop may be ignored.This concept of fragility is different from the robustness against the parameter uncertainty of the controller.And it is helpful for understanding of the phenomenon that a well-designed system may not be stable in practice and cannot work.Therefore it is important for both theory and practice.Design examples are also presented，one of which is from the authors’own experience.

fragility;robustness;stability margin;H∞optimal design;ball-beam system

TP 273

A

1007－449X(2011)04－0080－05

2010－12－03

國家自然科學基金重點項目(61034001)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向為控制系統(tǒng)設(shè)計、魯棒控制及H∞控制等;

饒 丹(1985—)，女，碩士，研究方向為魯棒控制;

王廣雄(1933—)，男，教授，博士生導師，研究方向為控制系統(tǒng)設(shè)計、魯棒控制及H∞控制等;

劉志遠(1957—)，男，教授，博士生導師，研究方向為機器人控制、預(yù)測控制等。