時滯系統(tǒng)PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的實現(xiàn)

方 斌

(南京理工大學(xué)自動化學(xué)院 南京 210094)

由于PID控制器算法簡單、魯棒性強，因而被廣泛應(yīng)用于化工、冶金、機械、熱工和輕工等工業(yè)過程控制系統(tǒng)中。盡管工業(yè)自動化飛速發(fā)展，但是PID控制技術(shù)仍然是工業(yè)過程控制的基礎(chǔ)[1-2]。在近十年，PID控制器參數(shù)三維穩(wěn)定空間的研究取得了一批成果。文獻[1]運用廣義的Hermite-Biehler理論，對三參數(shù)控制器的穩(wěn)定域進行系統(tǒng)研究；文獻[2]重點研究了PID控制器的增益穩(wěn)定范圍問題；文獻[3]采用D-分割法對含時滯對象進行PID控制器穩(wěn)定域分析；文獻[4]利用頻率穩(wěn)定判據(jù)給出二階時滯過程時滯常數(shù)的上限條件和控制器參數(shù)的穩(wěn)定域分析方法。文獻[5]為PID控制器早期的重要成果之一，它明確給出了一階時滯系統(tǒng)及在PID控制下增益平面上穩(wěn)定的范圍，通過遍歷Kp，可確定PID控制器參數(shù)的三維穩(wěn)定空間，為PID控制器的設(shè)計提供了完整的穩(wěn)定域。

本文在文獻[6]的基礎(chǔ)上，運用廣義Herm ite-Biehler定理，提出一種逆時針規(guī)律，給出一種基于逆Nyquist曲線，可快速確定PID控制器參數(shù)三維穩(wěn)定域的方法以及算法實現(xiàn)的相關(guān)問題和基本步驟。該方法的基本過程是，首先確定系統(tǒng)比例增益穩(wěn)定的范圍，然后在該范圍內(nèi)通過遍歷增益并尋找相應(yīng)的平面上的穩(wěn)定區(qū)域，從而給出一種時滯系統(tǒng)PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的方法。

1 問題表述

2 穩(wěn)定性判據(jù)

3 增益K P的穩(wěn)定范圍

確定 PID控制器的三維穩(wěn)定空間，首先需要確定比例增益的范圍，以便能有效地遍歷增益KP。

3.1 PID控制下時滯系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

3.2 基于逆Nyquist圖確定K P穩(wěn)定域

3.3 逆Nyquist曲線頻率范圍選取

圖1 逆Nyquist圖與坐標軸交點

4 給定K P下K d-K i平面的穩(wěn)定域

4.1 K d -K i平面穩(wěn)定范圍的確定

4.2 特殊情況的處理

4.3 確定K d -K i平面穩(wěn)定域的“逆時針”規(guī)律

當序列I中元素數(shù)量l+1較大時，存在多個可能的序列I使式(12)成立；此時需要對每個滿足式(12)的序列I運用式(13)，尋找可能存在的穩(wěn)定區(qū)域。有的I所形成的穩(wěn)定區(qū)域可能為空集，即使某I所形成的空間存在穩(wěn)定區(qū)域，確定該穩(wěn)定區(qū)域也顯得比較繁瑣和困難，本節(jié)將給出一種快速便利的確定方法。

在以Kd為橫坐標、平面上，令序列I中元素i=1表示邊界直線的方向為正，箭頭向上；i=－1表示邊界直線的方向為負，箭頭向下。顯然，對于一個穩(wěn)定閉區(qū)域，若對每個邊界直線按上述規(guī)律表示，那么穩(wěn)定區(qū)域必在其邊界的左側(cè)，同時封閉的穩(wěn)定區(qū)域邊界形成的方向具有“逆時針”規(guī)律，如圖2所示。

圖2 逆時針規(guī)律

5 實現(xiàn)步驟

6 實 例

其中，序列I3，I4，I5不存在穩(wěn)定區(qū)域，序列I1，I2所對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域分別為P1、P2區(qū)域。

通過遍歷Kp的穩(wěn)定范圍，可確定PID控制器參數(shù)的三維穩(wěn)定空間，如圖4所示。

圖4 PID控制參數(shù)穩(wěn)定域

以這些參數(shù)所設(shè)計的PID控制器，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；所對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)如圖6所示。A、C、和D這3點所對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線較為接近且綜合性能較好，而積分增益較小的E點所對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)負超調(diào)過大，積分增益較大的B點所對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)相對穩(wěn)定性較差?？梢姡粼诜€(wěn)定區(qū)域中心附近設(shè)計PID控制器參數(shù)，不僅能使系統(tǒng)具有較好的動態(tài)特性，而且能使PID控制器本身具有一定的非脆弱性。

7 總 結(jié)

本文所研究的算法首先根據(jù)對象的頻率特性，確定用于穩(wěn)定性分析所需的頻率范圍其次借助廣義Herm ite-Biehler定理，在時滯對象的逆Nyquist特性上，運用引理3確定比例增益Kp的穩(wěn)定范圍。當針對多條邊界直線，運用一種逆時針規(guī)律快速確定該二維平面上參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域，從而給出了一種時滯系統(tǒng)PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的方法，該方法可直接用于編程實現(xiàn)，本文論述了實現(xiàn)過程中所需解決的關(guān)鍵問題。另外，該方法基于時滯對象的頻率特性，因而在對象數(shù)學(xué)模型未知時，只要能獲取其頻率特性，也可運用該方法和步驟，得出PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的三維空間。

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編 輯 漆 蓉