基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷統(tǒng)計(jì)識(shí)別

顏王吉，黃天立，任偉新

(中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075)

基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷統(tǒng)計(jì)識(shí)別

顏王吉，黃天立，任偉新

(中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075)

基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度, 采用概率統(tǒng)計(jì)的方法，提出一種同時(shí)考慮模型不確定性和測(cè)試噪聲影響的損傷統(tǒng)計(jì)識(shí)別方法。首先，建立基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷方程組，然后，通過攝動(dòng)法推導(dǎo)出損傷結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，并運(yùn)用損傷概率模型計(jì)算各單元的損傷存在概率。最后，用一簡支梁數(shù)值模擬算例驗(yàn)證了該方法的有效性。研究結(jié)果表明：損傷概率越大，表明存在損傷的可能性越大；損傷單元的損傷存在概率大于非損傷單元的損傷存在概率；隨著損傷程度的增加，損傷存在概率不斷增加，而隨著噪聲水平的增加，損傷存在概率減小。

靈敏度；模態(tài)應(yīng)變能；模態(tài)分析；損傷識(shí)別；統(tǒng)計(jì)方法

基于動(dòng)力特性的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別分析方法的核心問題之一是尋找對(duì)結(jié)構(gòu)損傷敏感的損傷參數(shù)，由動(dòng)力參數(shù)的變化判斷結(jié)構(gòu)損傷情況[1?2]。近年來，模態(tài)應(yīng)變能在機(jī)械工程、航天工程和土木工程等領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注。Lim 等[3?10]等國內(nèi)外學(xué)者都將模態(tài)應(yīng)變能用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，取得了較滿意的結(jié)果。目前，基于模態(tài)應(yīng)變能的損傷識(shí)別方法以確定性分析方法為主，即根據(jù)參數(shù)識(shí)別結(jié)果和相應(yīng)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)值直接對(duì)比判別損傷的位置和程度。在工程實(shí)際中，測(cè)試數(shù)據(jù)不可避免地要受到噪聲、環(huán)境因素及運(yùn)營條件的影響，建模所用的信息也具有不確定性，損傷識(shí)別需要考慮這些不確定性因素。尤其是土木工程作為“建造”系統(tǒng)，區(qū)別于機(jī)械等“制造”系統(tǒng)，不確定因素更多；因此，以確定性方法處理具有本質(zhì)不確定性的土木工程結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別問題，導(dǎo)致理論方法與實(shí)際應(yīng)用的矛盾，造成損傷識(shí)別結(jié)果可靠性差[11]。概率統(tǒng)計(jì)理論作為處理不確定性問題的有效工具，將其引入損傷識(shí)別可以有效提高識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性[12]。相對(duì)于確定性損傷識(shí)別方法，基于概率統(tǒng)計(jì)理論的損傷識(shí)別方法能夠更好地反映損傷識(shí)別問題的不確定性本質(zhì)。通過將不確定性轉(zhuǎn)化為概率統(tǒng)計(jì)意義上的數(shù)學(xué)表述，從而有效克服其缺陷，是一種比較行之有效的損傷識(shí)別方法。本文作者采用概率統(tǒng)計(jì)的方法，基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度，提出一種同時(shí)考慮模型不確定性和測(cè)試噪聲影響的損傷統(tǒng)計(jì)識(shí)別方法。首先，建立基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷方程組；然后，采用攝動(dòng)法推導(dǎo)出損傷結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，并運(yùn)用損傷概率模型計(jì)算各單元的損傷存在概率，損傷概率越大，表明存在損傷的可能性越大；最后，用1個(gè)簡支梁數(shù)值模擬算例驗(yàn)證本文方法的有效性，并考慮噪聲水平和損傷程度對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響。

1 基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度的損傷識(shí)別

基于代數(shù)算法可以推導(dǎo)出單元j對(duì)應(yīng)的r階模態(tài)應(yīng)變能(Qjr)對(duì)任意設(shè)計(jì)參數(shù)(p)的一階靈敏度表達(dá)式[13]：

為了將結(jié)構(gòu)的健康狀況描述清楚，需要選取適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)，使之既能反映結(jié)構(gòu)的損傷位置，又能反映結(jié)構(gòu)的損傷程度。在有限元層次上，結(jié)構(gòu)單元的損傷可以用各個(gè)有限單元的剛度的降低幅度表示(此處用擴(kuò)階后的單元?jiǎng)偠染仃嚤硎?：

由單元模態(tài)應(yīng)變能的靈敏度的代數(shù)表達(dá)式可以推導(dǎo)出基于單元模態(tài)應(yīng)變能變化的結(jié)構(gòu)損傷方程組[10]：

通過求解該損傷方程組，能夠同時(shí)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度，是直接的(不需迭代的)損傷識(shí)別方法。然而，求解損傷方程組(3)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別是一種確定性的方法，沒有考慮土木工程中的不確定性，不符合實(shí)際工程的需要, 因此，需要引入概率統(tǒng)計(jì)方法，使之既能考慮模型的不確定性，又能考慮測(cè)試噪聲的誤差。

2 基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度的損傷統(tǒng)計(jì)識(shí)別

結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣可以表示為：

式中：i和i分別代表損傷前“單元?jiǎng)偠葏?shù)”( ESP)和“單元質(zhì)量參數(shù)”(EMP)。以 Euler–Bernoulli梁為例，其ESP為抗彎剛度(EI)，EMP為單位梁長的質(zhì)量。損傷后的“單元?jiǎng)偠葏?shù)”和“單元質(zhì)量參數(shù)”分別用和表示。因此，損傷因子可以表示為：

假設(shè)測(cè)得的模態(tài)參數(shù)及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)均為隨機(jī)變量，它們的誤差(這里只考慮偶然誤差，不考慮系統(tǒng)誤差)服從均值為0的正態(tài)分布，且互相獨(dú)立[14]；因此，損傷結(jié)構(gòu)的振型值、結(jié)構(gòu)物理參數(shù)(單元?jiǎng)偠葏?shù)和單元質(zhì)量參數(shù))如下所示：

其中：i=1, 2, …,n，n為測(cè)試得到的振型矢量元素個(gè)數(shù)；j=1, 2, …,m(m為結(jié)構(gòu)物理參數(shù)數(shù)目，此處即單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)目)；“0”代表各物理量的均值；，Xαj和Xβj分別為相應(yīng)物理量的隨機(jī)噪聲。為方便分析，將，Xαj和Xβj合寫為新的噪聲矢量{X}。由假設(shè)可知，E(Xk)=0。

由式(5)，將ΔRjr對(duì)噪聲Xk求偏導(dǎo)數(shù)得:

同理，根據(jù)式(4)，將Sjir對(duì)噪聲Xk求偏導(dǎo)數(shù)得：

當(dāng)i≠j時(shí)，

由攝動(dòng)理論，損傷方程組(3)可以展開為關(guān)于噪聲向量X的一階泰勒公式：

將式(18)～(20)代入損傷方程組(3)，可得：

由于E(Xi)=0，根據(jù)式(19), 可得損傷指數(shù)的均值為：

式中：下標(biāo)表示矩陣階數(shù)。

因此，損傷后單元?jiǎng)偠葏?shù)的統(tǒng)計(jì)特性為：

將式(28)～(31)代入式(27)即可得協(xié)方差矩陣，這樣，由式(26)和(27)可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)各單元?jiǎng)偠葏?shù)的統(tǒng)計(jì)特性。需要特別說明的是：由于系數(shù)矩陣的列幾乎是線性相關(guān)的，損傷方程為病態(tài)，因而，求逆時(shí)，需要先引入奇異值截?cái)嗨惴╗15]對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值截?cái)?，保證系數(shù)矩陣的數(shù)值穩(wěn)定。

3 損傷的概率判別方法

從結(jié)構(gòu)損傷前后剛度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布的變化可以估計(jì)出結(jié)構(gòu)的損傷概率[14]，其基本思路是在給定置信度的條件下，在定義的概率密度損傷區(qū)間內(nèi)，計(jì)算結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的概率。例如，設(shè)未損傷時(shí)單元的剛度參數(shù)服從正態(tài)分布 N(E(),σ2())，其概率密度函記為PDF(Probability density function)。結(jié)構(gòu)無損時(shí)的剛度參數(shù)區(qū)間定義為?(i,)，其含義是結(jié)構(gòu)在給定的區(qū)間內(nèi)，i的概率為 ，即

式中：LΩ是給定健康區(qū)間的下界； Ω(αi,μ)取決于需要的置信度 ，當(dāng) 為 95%時(shí)，LΩ為E(αi)?1.645σ2(αi)，它意味著無損的結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)落在 [E(αi)?1.645σ2(αi),∞]中的概率為95%。如果i單元發(fā)生損傷，此時(shí)其剛度參數(shù)服從正態(tài)分布N(E() ,σ2())，其單元損傷概率PDE(Probability of damage existence)定義為在 Ω(αi,0.95)以外的概率部分的值，即：

損傷概率取值區(qū)間為(μ, 1)，顯然，結(jié)構(gòu)損傷概率越接近1，損傷越可能發(fā)生；損傷概率越接近0，損傷越不可能發(fā)生。

由以上分析可知基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度分析的損傷統(tǒng)計(jì)識(shí)別方法的基本思路為：假設(shè)損傷結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性和測(cè)試噪聲均服從正態(tài)分布，利用攝動(dòng)法可以求出損傷結(jié)構(gòu)各單元?jiǎng)偠葏?shù)的統(tǒng)計(jì)特性(均值和方差)。若已知未損結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的概率分布，則根據(jù)上面的損傷概率判別方法可以確定結(jié)構(gòu)的損傷存在概率(PDE)，從而達(dá)到識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷的目的。單元的損傷存在概率越大，表明該單元是損傷單元的可能性越大。

4 數(shù)值算例

采用的數(shù)值試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑镋uler-Bernoulli梁，如圖2所示。梁總長為6 m，劃分為10個(gè)單元。假設(shè)未損結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和物理參數(shù)(均值)如下：梁的橫截面積A為 0.005 m2，慣性矩I=1.67×10?4m4，彈性模量E=32 GPa，容重ρ=2.5 t/m3。

圖1 Euler-Bernoulli梁Fig.1 Simulated Euler-Bernoulli beam

表1 數(shù)值試驗(yàn)梁損傷工況Table 1 Simulated damage scenarios

由上面建立的損傷概率判別方法，可以得到每個(gè)單元的損傷存在概率，如圖2所示。計(jì)算結(jié)果表明：3種損傷工況的損傷單元的損傷存在概率遠(yuǎn)大于非損傷單元的損傷存在概率，說明該方法能有效地識(shí)別出損傷單元。

圖2 各單元損傷存在概率Fig.2 Probability of damage of different elements

為研究不同程度的損傷識(shí)別效果，在噪聲水平保持不變(1%)前提下，在不同的損傷水平下，前6個(gè)單元的損傷存在概率如圖3所示。此外，為研究噪聲水平的影響，假定噪聲水平由1%不斷增加為2%，3%，5%和10%，并假設(shè)單元3，4，5和6同時(shí)發(fā)生損傷，且損傷程度均為15%，前6個(gè)單元的損傷存在概率如圖4所示。

圖3 損傷存在概率隨損傷程度變化規(guī)律Fig.3 Change of PDE with increase of damage level

圖4 損傷存在概率隨噪聲水平變化規(guī)律Fig.4 Change of PDE with increase of noise level

由圖4可見：隨著損傷程度的增加，損傷存在概率不斷增加，而未損傷單元的存在概率總體上隨著損傷程度的增加而減少；隨著噪聲水平的增加，損傷單元存在概率不斷減小，而未損傷單元存在概率總體上隨著噪聲水平的增加而增加，說明噪聲對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果有較大的影響。在5種噪聲水平下，單元5和單元6的損傷存在概率大于單元3和單元4的損傷存在概率，而且隨著噪聲增加，單元3和單元4的損傷存在概率下降速率更快；因此，損傷位置對(duì)統(tǒng)計(jì)識(shí)別結(jié)果有影響，靠近支座位置損傷比遠(yuǎn)離支座損傷更難識(shí)別，損傷識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確度和置信度與損傷程度、噪聲水平有關(guān)。在噪聲水平不太大時(shí)，本文方法能識(shí)別損傷位置。

5 結(jié)論

(1) 建立了基于單元模態(tài)應(yīng)變能靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷方程組，通過攝動(dòng)法推導(dǎo)了損傷結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，然后，運(yùn)用損傷概率模型計(jì)算各單元的損傷存在概率。表達(dá)式簡潔緊湊，充分利用了矩陣運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)，便于編程，便于存儲(chǔ)，適用于分析工程領(lǐng)域的大型結(jié)構(gòu)(剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的維數(shù)很大)。此外，該方法僅需較少的模態(tài)信息，甚至一階模態(tài)信息就足夠，沒有模態(tài)截?cái)嘁鹩?jì)算誤差的問題。

(2) 損傷單元損傷存在概率遠(yuǎn)大于非損傷單元的損傷存在概率, 能有效地識(shí)別出損傷單元；損傷識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確度和置信度與損傷程度、噪聲水平和損傷位置有關(guān)；當(dāng)噪聲水平不是太大時(shí)，可以識(shí)別損傷位置。隨著損傷程度的增加，損傷存在概率不斷增加，而未損單元的損傷存在概率總體上隨著損傷程度的增加而減少。

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(編輯 趙俊)

Statistical damage identification of structures based on element modal strain energy sensitivity

YAN Wang-ji, HUANG Tian-li, REN Wei-xin

(School of Civil Engineering and Architecture, Central South University, Changsha 410075, China)

A statistical damage identification algorithm based on element modal strain energy sensitivity was developed to account for uncertainties existing in the structural model and measured vibration data. Firstly, an element modal strain energy-based damage detection method was proposed for detecting damage location and severity. Then the statistics of the structural stiffness parameters in the damaged state were estimated by the perturbation method. The probability of damage existence was estimated based on the probability density functions of the structural stiffness parameters in the intact state and damaged state. The presented technique was applied to detect damages in a numerical simply-supported beam. The results show that a higher probability statistically implies a more likelihood of damage occurrence. The probability of damage unit is larger than that of non-damage unit; and the probability increases with the increase of damage level while it decreases with the increase of noise level.

sensitivity; modal strain energy; modal analysis; damage detection; statistical method

TU311.3

A

1672?7207(2011)01?0152?06

2010?01?10；

2010?04?20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078357，50708113)；國家“863”計(jì)劃項(xiàng)目(2009AA11Z101)；中國博士后基金資助項(xiàng)目(2008043152)

黃天立(1977?)，男，湖南長沙人，博士后，從事橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別及健康監(jiān)測(cè)研究；電話：13787150846；E-mail: htianli@mail.csu.edu.cn