石墨烯中的電子光學(xué)

曹振洲，程衍富

(中南民族大學(xué)電子信息工程學(xué)院，武漢430074)

石墨烯中費米子(電子和空穴)的運動遵循狄喇克方程［1］，該方程在數(shù)學(xué)形式上和描述電磁波的赫姆霍茲方程相似.幾何光學(xué)的光線類似于電子的經(jīng)典軌跡，電子的德布羅意波干涉又類似于光的干涉.電子顯微鏡是這種相似性在技術(shù)領(lǐng)域的體現(xiàn).電子束在石墨烯中傳輸而被電勢磁勢散射可以和電磁波在非均勻介質(zhì)中的反射、折射和透射等幾何光學(xué)概念相類比，形成了石墨烯中的電子光學(xué)［2］.本文首先指出石墨烯的電子能帶結(jié)構(gòu)特點，而后從理論角度分析電勢、磁勢對電子束傳播的影響，最后評述當(dāng)前電子光學(xué)領(lǐng)域的研究進展.

1 石墨烯的特點

1.1 石墨烯的電子能帶結(jié)構(gòu)

石墨烯是二維碳原子蜂巢晶格，是由兩個A型或B型的三角布拉維晶格(三角子晶格)組成.其載流子(電子和空穴)波函數(shù)具有雙旋量，也就是說載流子除了通常的1/2自旋外，還有與它的子格自由度相聯(lián)系的1/2贗自旋.石墨烯的電子能帶結(jié)構(gòu)可由最近鄰緊束縛模型得到［3］.導(dǎo)帶電子(π電子)能從一個碳原子的2pz軌道躍遷到與它最近鄰的3個碳原子之一，躍遷振幅(共振積分)為γ≡t≈3eV.色散關(guān)系(能量和動量的關(guān)系)為:

其中，晶格常數(shù)a=0.246nm，碳原子的間距為=0.143nm.導(dǎo)帶(CB，α =+1)和價帶(VB，α =-1)分別對應(yīng)上述色散關(guān)系中的不同正負(fù)號.導(dǎo)帶和價帶接觸處為不等價的Dirac點(分別對應(yīng)能谷K和K')，如圖1所示［4］.能量E作為二維布洛赫波矢(也是動量)(kx，ky)的函數(shù).六邊形布里淵區(qū)上K或K'點(Dirac點)附近，色散關(guān)系是線性的，從局部來看相當(dāng)于圓錐(見圖1放大區(qū)).費米能級位于Dirac點處，費米面也由Dirac點構(gòu)成.價帶(VB)填滿電子，導(dǎo)帶(CB)是空的.由此可見，未參雜石墨烯是無帶隙的.

在Dirac點附近，電子的能量只依賴動量且成線性關(guān)系，類似于無質(zhì)量的相對論粒子.因此，在低能且靠近K和K'點時，電子由二維無質(zhì)量Dirac本征方程描述:

圖1 緊束縛模型計算的石墨烯能帶結(jié)構(gòu)Fig.1 Band structure of graphene computed in the tight-bindingmodel

1.2 電勢和磁勢對電子束傳輸?shù)挠绊?/h3>

當(dāng)電子束射到電勢壘上時，會產(chǎn)生Klein遂穿效應(yīng)［1］，一般常指電子束垂直入射到電勢壘上并全部通過該勢壘的現(xiàn)象.該現(xiàn)象可從贗自旋守恒的角度得到解釋.石墨烯錐形能譜的形成是由于子格A和B的能帶交叉所致，如圖2所示［1］.在圖2(a)中第3幅圖畫出了通過勢壘的電子的費米能，勢壘外邊時位于導(dǎo)帶，勢壘里邊時位于價帶.藍(lán)色填充區(qū)域表示占據(jù)態(tài).贗自旋用矢量σ表示，σ平行(反平行)于電子(空穴)運動方向.具有能量E的電子沿正方向傳播，紅色實線所示能量分支.而同一能量分支的空穴則以能量-E沿相反的方向傳播.因此就產(chǎn)生屬于同一能量分支的電子和空穴具有的贗自旋σ指向同一方向，贗自旋的方向與電子的動量方向一致，而與空穴的動量方向相反.可以引入手性，也就是贗自旋沿運動方向的投影，電子手性(投影)為正而空穴手性為負(fù).石墨烯中的手性經(jīng)常用于指電子和空穴能譜的額外對稱性，類似于量子電動力學(xué)的手性.沒有贗自旋翻轉(zhuǎn)(發(fā)生幾率極小)的時候，電子向右運動遇上勢壘被散射，只能形成向右運動的電子態(tài)和向左運動的空穴態(tài).紅色實線所示能帶的載流子(電子或者空穴)被散射后成為同一紅色能帶的載流子態(tài)，不可能成為綠色虛線所示能帶的載流子態(tài)，否則贗自旋就要翻轉(zhuǎn).勢壘內(nèi)部和外部準(zhǔn)粒子贗自旋方向的匹配(守恒)保證了完美的遂穿——電子全部通過勢壘.

圖2 電子通過一個勢壘的Klein遂穿Fig.2 Klein tunneling through a potential barrier

對于未參雜的石墨烯，費米能EF位于Dirac點(導(dǎo)帶和價帶的交匯處).EF附近空穴和電勢等價布居，系統(tǒng)為電中性.V可以降低(或抬高)Dirac點，這樣費米能EF就位于導(dǎo)帶(或價帶)，從而使石墨烯表現(xiàn)為p型或n型材料.電勢對石墨烯的影響在很多情況下都需要考慮.

具有費米能EF的非相對論電子入射到勢壘V上，電子平行于勢壘界面的動量必須守恒，即p1sinθ1=p2sinθ2，這里p1，2是電子動量，θ1，2是電子在勢壘內(nèi)外的入射角和折射角.由此可得電子在勢壘中傳播的折射定律——Snell定律［5］:

對于相對論費米子而言，它的手性守恒要求p1sinθ1=-p2sinθ2，由此產(chǎn)生負(fù)折射率［6］.負(fù)折射首先在光學(xué)左手變換材料中發(fā)現(xiàn)，石墨烯中也有負(fù)折射現(xiàn)象，并用來設(shè)計電子透鏡，在下文將詳細(xì)討論該現(xiàn)象.

電子被磁勢散射不會像幾何光學(xué)那樣呈直線形式，并且折射率隨磁勢壘的方向和強度變換，折射定律具體形式為［7］:

其中，lB為磁長度，φ為電子的入射角，θ為電子在磁勢壘中的折射角，kF為電子波矢.

若同時考慮電勢壘和磁勢壘對電子傳輸?shù)挠绊憰r，折射定律變?yōu)椋?］:

從(5)式可知，對于給定的磁場B和入射角φ，增加V超過臨界值后，該電磁勢壘可全反射電子.磁勢壘的反射率與磁場B大小正相關(guān)，V可增強磁勢壘的反射率，從而使弱磁勢壘變?yōu)閺姶艅輭?當(dāng)V大于EF時，入射角和折射角的符號相反，電磁勢壘表現(xiàn)左手變換材料的性質(zhì)，折射率為負(fù).

在某些實際的應(yīng)用中(如基于石墨烯的電子器件)，需要壓制Klein遂穿效應(yīng)，使器件中的電子局限于微米或者納米尺度的范圍內(nèi).磁勢壘可以完成此任務(wù)［8］，并且很多實現(xiàn)方案已被提出.利用鐵磁材料作為石墨烯的襯底可以產(chǎn)生非均勻磁場，磁場可使帶電粒子產(chǎn)生回旋運動，當(dāng)電子的回旋半徑小于磁勢壘的厚度，電子可以全部被反射，達(dá)到囚禁電子的目的.

2 研究進展

2.1 負(fù)折射與電子透鏡

光學(xué)概念折射率n=c/v∝1/v，折射率反比于相速度v，其中c是光在真空中傳播的速度.相速度v是光在介質(zhì)中的傳播速度，從一種介質(zhì)進入另外一種介質(zhì)時發(fā)生改變.Veselago［9］首次從理論上分析了光學(xué)負(fù)折射率的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)群速度和相速度方向相反.負(fù)折射現(xiàn)象已在左手變換光學(xué)材料中實現(xiàn)［10-12］.由于負(fù)折射，光線經(jīng)過一塊厚板之后可以聚焦，并且這種聚焦不受波長的影響，具有完美的聚焦特性.一些實驗證實該透鏡具有很高的(亞波長的)分辨率.所以，這種透鏡(Veselago透鏡)有時被稱為“完美透鏡”.石墨烯中電子傳輸時也有類似于光學(xué)中的負(fù)折射效應(yīng).電子在導(dǎo)帶傳輸時，群速度和相速度方向相同，而在價帶傳輸時群速度和相速度方向相反，由此引起負(fù)折射效應(yīng).

在光學(xué)領(lǐng)域，透明介質(zhì)材料的界面用于操控光束，如透鏡、棱鏡等.在半導(dǎo)體電子學(xué)領(lǐng)域，界面問題主要是p-n結(jié).由于耗盡區(qū)導(dǎo)致較大的能隙，傳統(tǒng)的p-n結(jié)不適用于精密控制電子束.石墨烯作為無能隙的二維半導(dǎo)體，可通過門控電壓和基底參雜精細(xì)調(diào)節(jié)載流子的密度，成為利用p-n結(jié)界面控制電子束的首選材料.由于Klein遂穿效應(yīng)(載流子無衰減地通過電勢壘)［1］，石墨烯中的p-n結(jié)對于載流子是高度透明的，類似于光通過透明介質(zhì)材料.電子傳輸通過p-n結(jié)界面類似于左手變換材料中光的負(fù)折射，當(dāng)電子通過p型石墨烯間隔兩片n型石墨烯的平行界面(即n-p-n結(jié))時可以被聚焦［6］.依此原理，Cheianov等人［6］提出石墨烯p-n結(jié)中的Veselago透鏡方案，該透鏡可匯聚或者發(fā)散電子束.精確的聚焦可以通過細(xì)致調(diào)節(jié)p-n結(jié)中p型區(qū)和n型區(qū)的載流子密度使之相等(即成為純凈的、無參雜的石墨烯)而實現(xiàn).此發(fā)現(xiàn)可用于電子透鏡工程和石墨烯晶體管中的聚焦分束器.

與聚焦相反的就是焦散，焦散線的反向延長線為虛焦點.Cserti等人［13］研究了圓形石墨烯p-n結(jié)的焦散問題，焦散的成因也是石墨烯p-n結(jié)的負(fù)折射.焦散是幾何光學(xué)中有趣的課題，焦散曲線可以利用斯奈爾定律結(jié)合負(fù)折射率計算得出.

Xing等人［14］研究了石墨烯帶邊界對聚焦作用的影響.他們利用“緊鍵”模型研究了不同手性雙極石墨烯帶組成的p-n結(jié)對電子流的聚焦問題.在“扶手椅”型邊界的石墨烯帶中，電子流從n型區(qū)(L，0)點總能被聚焦到p型區(qū)(-L，0)點;在“鋸齒”型邊界的石墨烯帶中，電子流只能在低能區(qū)被聚焦.若考慮的平滑邊界的石墨烯帶，電子在p-n結(jié)附近被散射而削弱聚焦效果.在實際應(yīng)用中，石墨烯邊界對Veselago透鏡的聚焦影響必須考慮，Xing等人［14］的研究深化了人們對石墨烯負(fù)折射的認(rèn)識.

電子不僅具有電荷屬性，更重要的是具有自旋屬性，研究電子自旋形成一門學(xué)科——自旋電子學(xué).該領(lǐng)域一個重大的挑戰(zhàn)是尋找自旋相干長度長的材料，以確保儲存在電子自旋中的信息在短距離傳播中不丟失.碳材料如石墨烯就有不尋常的自旋相干長度［15］.另外，傳輸磁信息往往因自旋流朝各個方向傳播而丟失，聚焦自旋流成為一種減少磁信息損失的手段.為減少磁信息傳輸損失，Moghaddam等人［16］設(shè)計了石墨烯電子自旋透鏡.電子束通過石墨烯中鐵磁-正常界面時，電子束不但被聚焦，且自旋保持確定方向.達(dá)到此效果的主要原因是負(fù)折射Klein遂穿效應(yīng)的自旋分辨作用.鑒于此，他們提出正常-鐵磁-正常石墨烯電子自旋透鏡，其性質(zhì)可與左手光學(xué)變換材料相比擬，也是Veselago透鏡在自旋電子學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展.用實驗中易于實現(xiàn)的電壓控制電子束，Guimar~aes等人［17］提出用石墨烯構(gòu)建非磁自旋透鏡的方案:門控電壓區(qū)域和非門控電壓區(qū)域間的彎曲界面作為理想的自旋透鏡，可有效減少儲存在電子自旋中的磁信息的丟失.

2.2 全反射、GH效應(yīng)和光纖波導(dǎo)

全反射是光學(xué)中首先發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，即光從光密介質(zhì)射到光疏介質(zhì)的界面時，全部被反射回原介質(zhì)內(nèi)的現(xiàn)象.石墨烯中傳輸?shù)碾娮右源笥谂R界角的入射角射到界面上時，也表現(xiàn)出全反射現(xiàn)象.全反射中重要且有趣的現(xiàn)象是Goos-H?nchen效應(yīng)，全反射的應(yīng)用主要集中在光纖波導(dǎo)領(lǐng)域，下面就這兩方面展開評述.

Goos-H?nchen效應(yīng)(位移)指光束在兩種介質(zhì)的界面全反射時發(fā)生橫向位移.該現(xiàn)象在牛頓時代已有所認(rèn)識，Goos和 H?nchen［18］第一次在微波實驗中觀察到，Artmann［19］依照穩(wěn)態(tài)位相理論給出了理論解釋.目前，Goos-H?nchen效應(yīng)的研究已經(jīng)延伸到了不同的物理領(lǐng)域，包括石墨烯領(lǐng)域［7，20，21］.

電子在石墨烯內(nèi)界面反射時的橫向位移可以和光學(xué)中Goos-H?nchen效應(yīng)類比，由此Beenakker等人［21］提出了石墨烯中的量子 Goos-H?nchen效應(yīng)，并且建立了研究石墨烯中的量子Goos-H?nchen效應(yīng)的理論方法.他們發(fā)現(xiàn)該效應(yīng)依賴于費米子的贗自旋(石墨烯能帶中有能谷K和K'兩點，由此形成類似于電子自旋的贗自旋)，并且費米子入射角的改變會使Goos-H?nchen位移的正負(fù)發(fā)生改變.Zhao等人［20］也發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射角大于臨界角時，電子束在石墨烯界面發(fā)生Goos-H?nchen位移.Sharma等人［7］研究了石墨烯中同時存在電勢和磁勢時的Goos-H?nchen效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)Goos-H?nchen位移的正負(fù)因存在磁勢而表現(xiàn)出新特性.中國科學(xué)院半導(dǎo)體研究所常凱研究小組，研究了應(yīng)變石墨烯中能谷依賴的Goos-H?nchen效應(yīng)，提出利用襯底應(yīng)力產(chǎn)生谷極化電流的方案，對于構(gòu)建石墨烯谷電子學(xué)器件具有重要意義［22］.

電子在石墨烯界面全內(nèi)反射的性質(zhì)可用于構(gòu)建電子波導(dǎo).石墨烯納米帶可以作為準(zhǔn)一維通道(量子線)的設(shè)想已經(jīng)提出，但是控制波導(dǎo)的傳輸性質(zhì)需要精準(zhǔn)地裁剪石墨烯帶的邊緣，目前技術(shù)上還不能達(dá)到.用電壓形成波導(dǎo)在實際中較為容易實現(xiàn).Zhang等人［23］類比光學(xué)中的波導(dǎo)，探究了由電勢形成的對稱量子阱構(gòu)成的石墨烯波導(dǎo)中的波導(dǎo)模.從電子的經(jīng)典運動和Klein遂穿兩個角度分析了石墨烯波導(dǎo)的獨特性質(zhì).他們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典情形下三階模消失，而在Klein遂穿情形時基模消失.波導(dǎo)模的研究對于波導(dǎo)設(shè)計具有重要指導(dǎo)意義.Hartmann等人［24］提出用電勢壘設(shè)計波導(dǎo)的方案，并得到解析的零能波導(dǎo)模.用頂部門電壓的方式形成一維電勢波導(dǎo)，用底部電壓調(diào)節(jié)Dirac點位于費米面，使石墨烯為半填充(即未參雜或者純凈石墨烯)，則線性二維色散態(tài)密度消失.他們提出的設(shè)計方案具有很高的電流開關(guān)比，將有利于石墨烯電子器件設(shè)計及應(yīng)用.Wu［25］從Dirac電子線性能譜和光子的Maxwell方程的相似性出發(fā)，提出理論方案，利用p-n-p石墨烯通道限制電子，使之在p-n或n-p界面發(fā)生全反射，電子傳輸類似于光在光纖中的傳播.p型或n型石墨烯是由門電壓改變費米面和Dirac點的相對位置，使費米能位于導(dǎo)帶或價帶而形成的.Williams等人［26］在實驗上首次實現(xiàn)了石墨烯電子波導(dǎo)，他們利用門電壓控制p型和n型載流子的密度，形成電子波導(dǎo).他們研究了雙極p-n波導(dǎo)(即基于角度選擇的、通過雙極p-n結(jié)界面的波導(dǎo))和利用全內(nèi)反射形成的單極波導(dǎo).通過調(diào)節(jié)門電壓可控制波導(dǎo)的傳輸效率.界面的粗糙度限制了波導(dǎo)的傳輸性能.至此，石墨烯波導(dǎo)的制作步入實踐階段.Zhao等人［27］應(yīng)用耦合模理論研究了兩個平行波導(dǎo)形成的定向耦合器.該波導(dǎo)由電勢壘(門電壓)形成，Klein遂穿增強了兩個波導(dǎo)的耦合強度.調(diào)整門電壓，可使電子全部從一個波導(dǎo)內(nèi)轉(zhuǎn)移到相距幾百納米的另一個波導(dǎo)內(nèi).該發(fā)現(xiàn)可用于實現(xiàn)信號處理中使用的相干耦合器、集成芯片器件，還可縮小每個器件尺度來制造大尺度集成邏輯電路.

磁場可以囚禁電子，也可用來構(gòu)建波導(dǎo).Ghosh等人［28］提出非均勻磁場可形成的電子波導(dǎo)，并討論了磁場形態(tài)對于雙向和單向蛇態(tài)的影響.磁勢波導(dǎo)時電勢波導(dǎo)的有益補充，但磁場在實際應(yīng)用中不如電場容易實現(xiàn)，后續(xù)的理論和實驗研究進展緩慢.

2.3 其他類比

電子光學(xué)類比在其他方面也有研究，如Bragg反射鏡、超準(zhǔn)直效應(yīng)、電子開關(guān)、亞波長領(lǐng)域的電子光學(xué)類比等.

Ghosh等人［2］分析了石墨烯中電子傳輸通過磁勢壘時特征，提出Bragg反射鏡設(shè)計方案，以及如何用Bragg反射器構(gòu)建共振腔.用雙磁勢壘鏈可形成高反射率的Bragg反射鏡，其反射率可用傳輸矩陣的方法計算.這種磁場可用硬磁材料窄條邊緣的退磁效應(yīng)產(chǎn)生，磁條的形狀可用毫微光刻技術(shù)實現(xiàn).

Park等人［29］研究了電子束在石墨烯超晶格中的超準(zhǔn)直效應(yīng)(電子的直線傳播).電子束的準(zhǔn)直傳播是人們長久期望達(dá)到的目標(biāo).本方案中電子束傳播時沒有空間上的彌散，不使用波導(dǎo)或者磁場，僅僅用實驗上容易達(dá)到的一維周期勢來控制電子的超準(zhǔn)直傳播.石墨烯超晶格中的超準(zhǔn)直效應(yīng)對于量子電子器件和超集成積分光電路有重要意義.

Sajjad等人［30］討論了基于石墨烯電子光學(xué)的高效開關(guān).由于石墨烯沒有帶隙，靜電勢壘對于Klein遂穿是透明的，這樣就限制了其電子傳導(dǎo)的門調(diào)制性，在規(guī)則石墨烯和p-n結(jié)情況都是如此.通過附加勢壘，以規(guī)則遂穿替代Klein遂穿，可以形成門調(diào)制遂穿間隙.這樣就允許用靜電調(diào)制方式控制電子流，改變可達(dá)幾個量級.勢壘通過徑向能分類電子:濾除熱電子和正入射電子、全反射剩余電子.入射電子的完全濾波使石墨烯p-n結(jié)成為帶隙門控可調(diào)的非熱電子開關(guān).當(dāng)朝著均勻參雜極限方向減小靜電勢梯度，傳輸間隙逐漸衰減為零.門調(diào)制金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變能使電子克服經(jīng)典室溫開關(guān)極限.

石墨烯中電子的平均自由程在室溫下可達(dá)微米量級，Dirac電子波長可達(dá)100nm.從技術(shù)觀點看，石墨烯可通過普通光刻制成幾個納米的器件，因此達(dá)到亞波長領(lǐng)域.Darancet等人［31］研究了石墨烯中的相干電子傳輸，亞波長領(lǐng)域的光學(xué)類比現(xiàn)象，在納米電子學(xué)和亞波長光學(xué)間建立了橋梁.石墨烯的二維結(jié)構(gòu)結(jié)合當(dāng)今的光刻技術(shù)，可以制作尺寸比狄拉克電子波長還小的納米電子器件.這些石墨烯亞波長納米電子器件的量子傳輸效應(yīng)可與經(jīng)典亞波長光學(xué)類比，如兩片石墨烯構(gòu)成的狹縫而形成的Bethe和Kirchhoff衍射、納米帶中的 Fabry-Perot干涉振蕩.電子衍射勢壘是理解亞波長領(lǐng)域傳輸?shù)年P(guān)鍵，利用此概念可以分析石墨烯結(jié)、狹縫、納米帶、量子點中的電子傳導(dǎo)特征(如干涉、衍射等).

3 結(jié)語

石墨烯具有特殊的電子能帶結(jié)構(gòu)，電勢可移動Dirac點而改變其參雜程度，使之表現(xiàn)為p型或n型材料.電子被電勢和磁勢散射類似于光學(xué)中的折射和全反射.負(fù)折射效應(yīng)可用于設(shè)計電子透鏡，全反射可用于設(shè)計光線波導(dǎo).全反射GH效應(yīng)在設(shè)計波導(dǎo)時必須考慮.Bragg反射鏡、電子開關(guān)、超準(zhǔn)直效應(yīng)和亞波長領(lǐng)域的電子光學(xué)類比研究也均已展開.

石墨烯中的電子光學(xué)是新興的一個研究方向，將光學(xué)中的成熟的理論方法遷移到石墨烯電子輸運領(lǐng)域，將深化人們對于石墨烯基本性質(zhì)的理解，產(chǎn)生許多新穎的設(shè)計方案以利于實現(xiàn)石墨烯電子器件.同時該領(lǐng)域的研究也會加深人們對光學(xué)的理解.

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