又見(jiàn)含參題 分離較簡(jiǎn)潔
——2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題評(píng)析

●施克滿(mǎn) (樂(lè)清中學(xué) 浙江樂(lè)清 325600)

又見(jiàn)含參題 分離較簡(jiǎn)潔
——2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題評(píng)析

●施克滿(mǎn) (樂(lè)清中學(xué) 浙江樂(lè)清 325600)

2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題:

設(shè)函數(shù) f(x)=(x－a)2lnx，a∈R．

(1)若x=e為y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a;

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈(0，3e］，恒有 f(x)≤4e2成立(e為自然常數(shù))．

命題目的本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分類(lèi)討論等分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

筆者用分離參數(shù)法給出了不同于參考答案的另解．

解(1)略．

(2)①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，lnx≤0，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有

又由x0＞1，注意到函數(shù)x2ln3x在［1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，得 1＜x0≤e．這里的“函數(shù) x2ln3x在［1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”是命題者的一種太過(guò)簡(jiǎn)單的寫(xiě)法，實(shí)際上也是要說(shuō)明的;同樣“函數(shù)2xlnx+x在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”也一樣需要說(shuō)明．

總之，命題者所給出的參考解答對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況考慮比較少．從高考閱卷的情況看，考生的解答與參考解答類(lèi)似的很少．

(2)對(duì)于只有一個(gè)參變量的問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中通常強(qiáng)調(diào)的一種通法就是分離參數(shù)法．這樣做的好處是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某一個(gè)無(wú)參函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而求解．

具體到本題，當(dāng)1＜x≤3e時(shí)，可先將a分離出來(lái)，即

這種解答過(guò)程“一氣呵成”，也是學(xué)生最自然的想法和最自然的表達(dá)．從2011年浙江省數(shù)學(xué)高考閱卷的情況看，這種解法也是最多的．

(3)高考答題的一個(gè)顯著特點(diǎn)是時(shí)間的限定性，也就是在規(guī)定的120分鐘內(nèi)要完成22個(gè)問(wèn)題的解答．根據(jù)羅增儒教授的統(tǒng)計(jì)，一套數(shù)學(xué)高考試卷通常控制在2 000個(gè)左右的印刷符號(hào)，若以每分鐘閱讀300～400個(gè)印刷符號(hào)的速度審題，約需5～7分鐘，考慮到有的題目要反復(fù)閱讀，實(shí)際需要12分鐘;書(shū)寫(xiě)主要用于解答題，約3 000個(gè)印刷符號(hào)，也就是說(shuō)，看清題目后直接抄標(biāo)準(zhǔn)答案都需要40分鐘，留給思考、草算、文字組織和復(fù)查檢驗(yàn)的時(shí)間只有80分鐘，平均到每一道題，保證不了3分鐘［1］．我們知道能進(jìn)行壓軸題解答的學(xué)生通常是數(shù)學(xué)能力比較好的學(xué)生，他們采用的通常做法應(yīng)該也就是他們平時(shí)用的最熟悉的方法，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題而言就是分離參數(shù)法．這一點(diǎn)也恰恰是中學(xué)數(shù)學(xué)新課程中強(qiáng)調(diào)問(wèn)題的通性通法，在實(shí)際教學(xué)中注重問(wèn)題的解決要從問(wèn)題的本質(zhì)入手．

(4)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中指出，解題分4個(gè)步驟:第一，理解題目;第二，擬訂方案;第三，執(zhí)行方案;第四，回顧［2］．從中可以非常清楚地看到解題反思是完整解題的一個(gè)必不可少的過(guò)程．荷蘭籍國(guó)際數(shù)學(xué)教育大師弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為“反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“沒(méi)有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”［3］．通過(guò)解題反思可以很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，溝通各知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)之間的同化，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．

通過(guò)本題的解答，我們看到浙江省這5年(2007－2011年)的高考函數(shù)解答題是一脈相承的，重點(diǎn)都在考查函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等基本思想方法．并且這5年的函數(shù)問(wèn)題都是含有參數(shù)的，對(duì)于參數(shù)的處理方法也是不一樣的，可以是分離參數(shù)法，也可能是包含在函數(shù)中一起討論，至于采用什么處理方法需視具體問(wèn)題而定．同時(shí)還發(fā)現(xiàn)在其他省市的高考中也廣泛采用這樣一種含參的形式來(lái)進(jìn)行函數(shù)問(wèn)題的命題，這一點(diǎn)也是教學(xué)中值得我們重視的．

結(jié)語(yǔ)高考數(shù)學(xué)試題的參考解答不僅僅是高考評(píng)分的主要標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)也應(yīng)成為數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的典范，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有重要的導(dǎo)向作用，即高考試題的參考解答應(yīng)該充分體現(xiàn)課程改革的精神和理念．我們通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析發(fā)現(xiàn)不同解法之間的差別，而高考是有嚴(yán)格的時(shí)間規(guī)定的，因而拿到問(wèn)題后要迅速解決“從何處入手”、“向何方前進(jìn)”這2個(gè)基本問(wèn)題．因此根據(jù)新課程的要求，應(yīng)始終堅(jiān)持對(duì)通性通法的研究，并且強(qiáng)調(diào)解題的反思，不斷提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和解決問(wèn)題的能力．

［1］ 羅增儒．高考臨場(chǎng)20招［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(3):50-58．

［2］ 波利亞．怎樣解題［M］．涂泓，馮承天，譯．上海:上?？萍冀逃霭嫔?，2002．

［3］ 弗賴(lài)登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］．上海:上海教育出版社，1995．