從一道課本例題談如何提高課堂的有效教學

●張 云 (安吉縣杭垓中學 浙江安吉 313305)

從一道課本例題談如何提高課堂的有效教學

●張 云 (安吉縣杭垓中學 浙江安吉 313305)

有效課堂教學是指教師以盡可能少的時間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學效果，從而達到教學目標．本文通過一道課本例題與一類中考題的關系，談談如何提高課堂教學的有效性．

例1如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的高，四邊形EFGH為它的內接正方形，如果BC=120 cm，AD=80 cm，求正方形EFGH的面積．

拓展四邊形EFGH為△ABC的內接矩形，AD為BC邊上的高，且BC=120 cm，AD=80 cm，設EH=x cm，矩形EFGH的面積為y cm2．

(1)求y與x的函數關系式;

(2)當x為何值時，y有最大值，且最大值為多少?

以上2個問題是學習相似三角形與二次函數知識時的經典問題，各種版本的教材上都有涉及．由此，很多命題者就以此為線索尋求新的創(chuàng)意與變化，從而獲得很多精彩的中考題．

圖1

圖2

變例1如圖2所示，在平面直角坐標系中，函數y=x，y= －x+6的圖像交于點A，動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQ∥x軸交直線BC于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設它與△OAB重疊部分的面積為S．

(1)求點A的坐標．

(2)試求點P在線段OA上運動時，S與運動時間t(秒)的關系式．

(3)在第(2)小題的條件下，S是否有最大值?若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值;若沒有，請說明理由．

(4)顯然，當點P經過點A后繼續(xù)按原方向、原速度運動時，重疊部分的最大面積即為△AOB的面積，于是問題就變?yōu)?當t為何值時，正方形正好將△AOB覆蓋．顯然這時t=12，故t滿足的條件為 t≥12

評析本題的新穎之處就在于把基本圖形置于一次函數的背景中，這樣函數問題與幾何問題就有機地結合起來．并且隨著點P的運動，正方形PQMN與△OAB重疊部分的圖形將發(fā)生改變，不知不覺中分類討論思想就滲透其中，于是問題變得生動起來．第4小題的設置是本題的亮點，它對學生的想象能力與基本數學素養(yǎng)有良好的考查功能．

變例2如圖3，在銳角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于點H，且AH=6，點D為邊AB上的任意一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E．設△ADE的高AF為x(0＜x＜6)，以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y(點A關于DE的對稱點A'落在AH所在的直線上)．

(1)分別求出當0＜x≤3與3＜x＜6時，y與x的函數關系式;

(2)當x取何值時，y的值最大?最大值是多

少?

評析本題的編制獨辟蹊徑，把問題原型與軸對稱變換巧妙結合起來．隨著點D的運動，重疊部分的圖形就在三角形與梯形之間變化，這樣考查基本數學方法與數學思維能力的目的就凸顯出來了．

圖3

圖4

變例3如圖4，△ABC的高AD為3，BC為4，直線EF∥BC，交線段AB于點E，交線段AC于點F，交AD于點G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF(點P與點A在直線EF的異側)．設EF為x，△PEF與四邊形BCEF重合部分的面積為y．

(1)求線段AG(用x表示);

(2)求y與x的函數關系式，并求x的取值范圍．

(2008年遼寧省大連市數學中考試題)

評析本題與變例2有異曲同工之妙，可以說是變例2的改進，但思維的價值更高．源于△PEF不像例2直接翻折下來那么直觀，而是通過學生自己畫圖，結合圖形的性質研究分類的范圍，思維的含量無疑比變例2大了許多．

變例4如圖5，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M 是 AB上的動點(不與點 A，B 重合)，過點M作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN，令AM=x．

(1)用含x的代數式表示△MNP的面積S;

(2)當x為何值時，⊙O與直線BC相切?

(3)在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少?

(2008年山東省數學中考試題)

圖5

圖6

(2)如圖6，設直線BC與⊙O相切于點D，連結 AO，OD，則

②當2＜x＜4時，重合部分為梯形．設MP，NP分別交BC于點E，F(xiàn)．這時，梯形面積可以用平行四邊形BMNF的面積減去△BME的面積而得．易

評析本題明顯借鑒了變例2的構思，但卻巧妙地把圓的相關知識滲透其中，使知識的覆蓋面更廣，考查也更全面，對學生的能力要求也更高．唯一不足的是，第(2)小題與第(3)小題之間沒有絲毫聯(lián)系，使學生解答時轉彎過多，且容易造成學生的誤解，使試題的效度降低．因此，筆者認為如果能與變例3的設計結合起來，即在圓中不是構造內接矩形，而是構造以MN為斜邊的等腰直角△MNP，這樣第(2)小題和第(3)小題就有機地結合起來，效果可能會更好．

以上4例由于命題者的想法不同而呈現(xiàn)各自的特點，但最后卻都回歸到本源性問題，充分體現(xiàn)了課本例題的基礎性與重要性．

多年的教學實踐證明，堅持“例題—分析—解答—變式—演練—點撥”模式進行例題教學，往往會收到事半功倍的效果．