水下重力異常相關(guān)極值匹配算法

李姍姍，吳曉平，馬 彪

信息工程大學(xué)測繪學(xué)院，河南鄭州450052

1 引 言

重力輔助導(dǎo)航是利用重力異常值或重力梯度值等輔助信息作為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的外部信息源，構(gòu)成重力和慣性的組合導(dǎo)航系統(tǒng)［1－2］，從而起到抑制慣性導(dǎo)航誤差的作用，具有自主性強(qiáng)、隱蔽性好、定位精度高、抗干擾性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。

重力輔助導(dǎo)航的核心技術(shù)之一是重力圖形匹配算法，其本質(zhì)是綜合利用各種信息處理方法，將實(shí)測海洋重力數(shù)據(jù)與存儲在海洋重力數(shù)據(jù)庫中的重力數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，依據(jù)一定準(zhǔn)則判斷兩者之間的相似程度，從而確定出最佳匹配序列。采用的數(shù)據(jù)處理方法主要包括圖像配準(zhǔn)、相關(guān)極值分析、擴(kuò)展卡爾曼濾波、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和統(tǒng)計(jì)模式分析識別等［3－9］。針對重力匹配的特點(diǎn)，重點(diǎn)研究相關(guān)極值匹配算法中存在的問題及相應(yīng)的改進(jìn)措施，以期提高算法的可用性與可靠性。

2 重力序列相關(guān)極值匹配

根據(jù)文獻(xiàn)［10］的相關(guān)極值導(dǎo)航系統(tǒng)原理，在進(jìn)行重力異常相關(guān)匹配時，由于地球重力場的連續(xù)、隨機(jī)、等值（多個地理點(diǎn)的重力異常值相等）特性，基于單個重力異常觀測量無法唯一確定水下潛器在地圖上的位置，因而要求其沿運(yùn)動航跡方向的重力異常連續(xù)觀測采樣序列達(dá)到一定的長度。假定在時間序列ti，ti＋1，…，ti＋N－1時刻有N個重力異常觀測向量，記為 Δgti＝［ΔgiΔgi＋1… Δgi＋N－1］T，根據(jù)每個時刻的慣導(dǎo)指示位置，在一定置信區(qū)間內(nèi)，從事先存儲在計(jì)算機(jī)內(nèi)的重力基準(zhǔn)圖上搜索、提取若干與觀測重力向量等長度的參考重力向量序列，記為最后兩者之間通過某種相關(guān)極值匹配算法，來獲取水下潛器當(dāng)前位置的最優(yōu)估計(jì)。常用相關(guān)分析匹配算法包括交叉相關(guān)算法（cross correlation，COR）、平均絕對差相關(guān)算法（mean absolute deviation，MAD）和平均平方差相關(guān)算法（mean square deviation，MSD）［9］，最優(yōu)化匹配設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則是使COR取最大值，MSD、MAD取最小值，并以它們所對應(yīng)的重力異常觀測序列的航跡代替慣性導(dǎo)航指示航跡。

2.1 基于MSD準(zhǔn)則的差分降權(quán)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型構(gòu)造

觀測序列與提取序列之間一般依據(jù)MSD相關(guān)算法，即目標(biāo)函數(shù)為

基于上式尋找最優(yōu)序列。式中，Δgi為對應(yīng)于慣導(dǎo)輸出點(diǎn)i的重力傳感器的觀測輸出值，與置信區(qū)域內(nèi)的重力異常圖上的每個網(wǎng)格點(diǎn)的重力數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如果為接近于0的判決閾值，依據(jù)重力圖誤差及重力傳感器測量誤差而定），則網(wǎng)格點(diǎn)j判定為慣導(dǎo)輸出點(diǎn)i的重力等值點(diǎn)。由于慣導(dǎo)在較短的時間內(nèi)的相對漂移很小，相鄰連續(xù)兩個實(shí)際點(diǎn)之間的位移角度及距離與相應(yīng)慣性導(dǎo)航輸出點(diǎn)位移角度和距離應(yīng)該近似相等或相差很小。因此引入約束條件

式中，（xti，yti）、（xti＋1，yti＋1）是前后連續(xù)兩個相鄰時刻的坐標(biāo)；ε1、ε2為接近于0的數(shù)值；αINS為慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出位移角度；dINS為慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出位移距離；Ω表示置信區(qū)間。

水下重力異常觀測數(shù)據(jù)基于慣導(dǎo)輸出的擾動修正［11］，由于厄特弗斯改正計(jì)算對水下潛器速度精度要求較高，正常重力計(jì)算要求緯度精度高，而慣導(dǎo)隨時間積累產(chǎn)生的誤差有可能滿足不了這兩項(xiàng)要求，觀測重力異常的計(jì)算誤差會隨著慣導(dǎo)誤差的增大而增大，以致產(chǎn)生重力匹配虛假定位。因而觀測重力異常數(shù)據(jù)與重力異常圖進(jìn)行相關(guān)匹配時，還需考慮基于慣導(dǎo)輸出計(jì)算厄特弗斯效應(yīng)以及正常重力所產(chǎn)生的誤差影響。

考慮到上述因素，在目標(biāo)函數(shù)式（1）中基于差分思想，取前后連續(xù)兩個時刻觀測重力異常之差，形成一個新的觀測序列，以盡最大可能減少這兩項(xiàng)以及其他系統(tǒng)誤差的影響。目標(biāo)函數(shù)式（1）變?yōu)?/p>

式中，pi為相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。由于慣性導(dǎo)航誤差隨時間增加不斷累積，因此相比較而言，前一時刻慣導(dǎo)輸出數(shù)據(jù)應(yīng)比后一時刻輸出具有更高的精度與可信度，所以匹配過程中對前一時刻的觀測量賦予比后一時刻更大的權(quán)值，定義該算法模型為差分降權(quán)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型。

通過試驗(yàn)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，依據(jù)差分降權(quán)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型式（3）得到的對應(yīng)于相關(guān)度量值最小的匹配序列結(jié)果有時并不是最好的。為解決這個問題通常采用所謂的“最近鄰”方法，即簡單認(rèn)為離重力儀實(shí)際測量值序列最近的有效序列源于目標(biāo)，其余有效序列均源于噪聲干擾。但由于測量儀器（包括慣性導(dǎo)航元件、重力儀）誤差、重力基準(zhǔn)地圖誤差以及重力場相關(guān)性等因素的隨機(jī)干擾，所有有效序列都可能源于目標(biāo)，只是每個有效序列源于目標(biāo)的概率有所不同，這種不確定性由概率密度函數(shù)表示。

2.2 概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)匹配算法

在關(guān)于概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的研究中，文獻(xiàn)［12］提出概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器算法（probabilistic data association filter，PDAF）；隨后文獻(xiàn)［13］成功地將其應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域；文獻(xiàn)［14］將其應(yīng)用到地形輔助捷聯(lián)式慣導(dǎo)中，并取得較好的效果；文獻(xiàn)［15］也提出基于概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的地形輔助導(dǎo)航算法。筆者借用概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波的思想，提出基于概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的重力輔助慣性導(dǎo)航匹配算法，認(rèn)為由于重力測量以及重力制圖等各種噪聲干擾，基于差分降權(quán)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型計(jì)算的最小相關(guān)度量值所確定的潛器位置并不一定完全代表水下潛器的真實(shí)位置，而可能小于某一閾值范圍內(nèi)的幾個有效相關(guān)值確定的潛器位置都是不同概率意義上的實(shí)際地理位置，無形中提高了算法的可靠性。

2.2.1 概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波

令

表示重力傳感器在k時刻確認(rèn)的重力觀測集合。gj（k）是k時刻的第j個重力觀測；s（k）表示在k時刻確認(rèn)的觀測個數(shù)

為直到時刻k的所有重力測量集。假設(shè)θj（k）表示gj（k）是來自目標(biāo)的正確測量事件；θ0（k）表示重力傳感器所確認(rèn)的觀測沒有一個是正確事件，則在k時刻第j個重力觀測gj（k）是來自目標(biāo)這一事件的概率密度函數(shù)為

由于｛θ0（k），θ1（k），…，θs（k）（k）｝是事件空間的一個不相交完備分割，從而有

因此利用全概率公式，可得

2.2.2 最優(yōu)估值計(jì)算

取慣導(dǎo)位置偏移量［δφ δλ］T作為狀態(tài)，小于某一閾值范圍的相關(guān)度量值得到的匹配序列均認(rèn)為是有效匹配序列，N為有效序列個數(shù)，根據(jù)式（8）得

2.2.3 概率密度函數(shù)計(jì)算

βj表示相關(guān)值p＿J（λj，φj）確定的位置為水下潛器實(shí)際位置的概率。相關(guān)值越小，所對應(yīng)的位置是潛器實(shí)際位置的概率越高，且根據(jù)式（7）要求，取

式中，p＿J（λj，φj）是依據(jù)差分降權(quán)目標(biāo)函數(shù)模型式（3）計(jì)算的第j個重力異常圖提取序列與重力異常觀測序列的相關(guān)值的大小。

3 試驗(yàn)計(jì)算分析

3.1 數(shù)據(jù)仿真

采用航位推算法（dead reckoning，DR）推算航跡［16］，仿真條件：重力圖分辨率為0.2′×0.2′，水下潛器航速為10kts，沿方位角52°方向航行，潛深是100m，慣導(dǎo)東向、北向、方位陀螺漂移均為0.01°／h，加速度計(jì)東向和北向零位漂移為5× 10－5g，東向、北向位置初始校準(zhǔn)誤差為1′，初始平臺姿態(tài)校準(zhǔn)誤差為6″，重力儀的測量精度為0.5×10－5ms－2。某海域重力異常（衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)）變化試驗(yàn)區(qū)以及依據(jù)仿真條件模擬計(jì)算的慣導(dǎo)航跡與真實(shí)航跡如圖1所示，圖2是根據(jù)慣導(dǎo)誤差傳播特性計(jì)算的慣導(dǎo)位置誤差仿真曲線示意圖，圖3反映仿真的慣導(dǎo)航跡與真實(shí)航跡上的重力異常變化。從圖2可以看出由于慣導(dǎo)誤差傳播導(dǎo)致東向位置誤差的無界性以及北向位置誤差是地球周期占主項(xiàng)的振蕩誤差，如果不施于外部輔助手段對慣導(dǎo)進(jìn)行校正，則隨著時間推移慣性系統(tǒng)導(dǎo)航性能將失效。

圖1 試驗(yàn)區(qū)慣導(dǎo)航跡與真實(shí)航跡仿真Fig.1 Simulation of the inertial navigation track and the real one in the experimental area

圖2 慣導(dǎo)位置誤差曲線示意圖Fig.2 Sketch map of the position errors in inertial navigation

圖3 慣導(dǎo)航跡與真實(shí)航跡上重力異常變化Fig.3 Variety of gravity anomaly on the inertial navigation track and the real one

3.2 重力匹配試驗(yàn)

在上述仿真條件的基礎(chǔ)上，構(gòu)造差分降權(quán)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型，將概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波算法應(yīng)用于慣導(dǎo)航跡匹配校正，序列匹配長度取統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算的試驗(yàn)區(qū)相關(guān)長度（6′左右），采樣間隔取1個重力圖格（仿真條件下約為90s），結(jié)果如圖4?？梢钥闯銎ヅ浣Y(jié)果并不是很理想，考慮到可能是由于采樣間隔較短導(dǎo)致某些相鄰采樣點(diǎn)之間的重力數(shù)據(jù)相關(guān)性較強(qiáng)而出現(xiàn)虛假定位，于是加大采樣間隔至2個重力圖格（180s）、3個重力圖格（270s）、4個重力圖格（360s），分別進(jìn)行匹配試驗(yàn)，結(jié)果如圖5～圖7所示，圖中橫坐標(biāo)表示經(jīng)度，縱坐標(biāo)表示緯度。

圖4 采樣間隔90sFig.4 Sampling interval is 90s

對上述不同采樣條件下的匹配結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果列于表1?？梢钥闯?，當(dāng)采樣間隔增大時，尤其從1個重力圖格增加到2個或3個、4個重力圖格時，精度均得到明顯提高，但4個重力圖格的采樣間隔與3個重力圖格的采樣間隔相比較時，緯度精度改善不大，而經(jīng)度方向誤差甚至有所增大。分析原因，是因?yàn)楫?dāng)匹配序列長度保持不變時，增加數(shù)據(jù)采樣間隔會減少采樣點(diǎn)數(shù)，導(dǎo)致采樣序列的采樣點(diǎn)之間的相互約束條件減少而有可能使得匹配精度降低。

圖5 采樣間隔180sFig.5 Sampling interval is 180s

圖6 采樣間隔270sFig.6 Sampling interval is 270s

圖7 采樣間隔360sFig.7 Sampling interval is 360s

為進(jìn)一步驗(yàn)證PDAF算法的可靠性，探討采樣間隔與匹配精度之間的關(guān)系，在上面仿真條件基礎(chǔ)上，將慣導(dǎo)東向與北向初始位置誤差均增加至5′，如圖8、圖9，采樣間隔分別取1個重力圖格、2個重力圖格、3個重力圖格、4個重力圖格，進(jìn)行重力匹配試驗(yàn)，結(jié)果如圖10～圖13所示，統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表2中。

表1 不同采樣間隔匹配算法位置誤差統(tǒng)計(jì)Tab.1 Matching errors in position of various sampling intervals （′）

圖8 試驗(yàn)區(qū)1的慣導(dǎo)航跡與真實(shí)航跡仿真Fig.8 Simulation of the inertial navigation track and the real one in the experimental area

圖9 慣導(dǎo)航跡與真實(shí)航跡上重力異常變化Fig.9 Variety of gravity anomaly on the inertial navigation track and the real one

圖10 采樣間隔90sFig.10 Sampling interval is 90s

圖11 采樣間隔180sFig.11 Sampling interval is 180s

圖12 采樣間隔270sFig.12 Sampling interval is 270s

圖13 采樣間隔360sFig.13 Sampling interval is 360s

表2 不同采樣間隔匹配算法誤差統(tǒng)計(jì)Tab.2 Matching errors of various sampling intervals（′）

同前面分析的結(jié)論一樣，當(dāng)采樣間隔從1個重力圖格增加到2個或3個、4個重力圖格時，精度均得到明顯提高，但2、3、4個重力圖格的采樣間隔所獲取的匹配序列精度，經(jīng)度方向誤差甚至有所增大。因此在選擇采樣間隔時，如果一味增加采樣間隔，則會導(dǎo)致序列采樣點(diǎn)數(shù)減少，從而使得采樣點(diǎn)之間的相互約束條件減少而使得匹配的可靠性降低；而如果增大采樣間隔的同時增加序列長度以保持前后采樣約束條件數(shù)不變，雖然精度會有所提高，但這又是以增加慣導(dǎo)航跡匹配校正的時間為代價。所以在進(jìn)行重力匹配時，需綜合考慮這兩方面影響，在重力特征明顯的地區(qū)，序列長度與采樣間隔可適當(dāng)?shù)厝〉枚厅c(diǎn)，而在重力特征變化不是特別劇烈的地區(qū)，則應(yīng)適當(dāng)增加序列長度與采樣間隔。綜合慣導(dǎo)誤差傳播的特性（導(dǎo)致東向位置誤差的無界性）以及表1和表2的匹配結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析，對于該試驗(yàn)區(qū)的匹配，采樣間隔選擇270s為宜；同時也可以看出，采用本文建立的目標(biāo)函數(shù)模型及PDAF匹配算法，即使慣導(dǎo)初始位置誤差高達(dá)5′，也能將水平位置修正均方差控制在0.5′之內(nèi)，充分說明了算法的可靠性。

4 結(jié) 論

為減少水下重力測量過程中的系統(tǒng)誤差，基于差分的思想，提出以連續(xù)兩個時刻觀測重力異常之差作為新的觀測匹配序列，并依據(jù)慣導(dǎo)誤差累積特性，建立對前一時刻匹配量賦予更高可信度的差分降權(quán)相關(guān)極值目標(biāo)函數(shù)模型，提出由于受干擾誤差地影響導(dǎo)致源于正確位置出現(xiàn)多個有效位置的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波算法，與選擇“最近”的唯一位置相比更接近于實(shí)際的真實(shí)位置，增加算法的可靠性。探討采樣間隔對匹配精度的影響，提出進(jìn)行重力匹配時要綜合考慮序列長度與序列間隔兩方面因素，以提高重力匹配導(dǎo)航的精度。

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