超高階次勒讓德函數(shù)遞推計(jì)算中的壓縮因子和Horner求和技術(shù)

劉纘武，劉世晗，黃 歐

1.信息工程大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州450001；2.鄭州市市政工程總公司，河南鄭州450007；3.美國(guó)俄亥俄州立大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，俄亥俄哥倫布43210

1 引 言

由于當(dāng)今衛(wèi)星跟蹤技術(shù)、衛(wèi)星測(cè)高以及重力場(chǎng)求解技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外正在把高階次重力場(chǎng)模型向更高階次擴(kuò)展［1－5］。顯然，超高階次球諧位系數(shù)模型的構(gòu)制與應(yīng)用，與超高階次締合勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算密切相關(guān)。并且，隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，需要構(gòu)建的位系數(shù)模型的階次越來(lái)越高。因此，研究計(jì)算超高階次締合勒讓德函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值的方法是非常必要的［4，6－7］。

由締合勒讓德函數(shù)及其關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的球諧級(jí)數(shù)表達(dá)式為

和

式中，（r，θ，λ）是空間點(diǎn)的球面坐標(biāo)，r是點(diǎn)至地心的距離，θ是地心余維，λ是經(jīng)度；M是球諧展開(kāi)式的最大階數(shù)；Enm（r，λ）是與階n和次m有關(guān)的（r，λ）的函數(shù)；和是n階m次第一類完全正常化締合勒讓德函數(shù)和它們的導(dǎo)數(shù)。

例如，在點(diǎn)（r，θ，λ）處，地球外部擾動(dòng)位T（r，θ，λ）的M階球諧級(jí)數(shù)表達(dá)式為［8］

這里

式中，

式中

按式（4）～式（8）遞推計(jì)算，當(dāng)M＝2 500在接近兩極時(shí)函數(shù)值達(dá)到10－4000量級(jí)［4，6］。而一般個(gè)人計(jì)算機(jī)的允許數(shù)值范圍約在10－310和10＋310之間［10］。為了避免下溢，文獻(xiàn)［4］修改遞推式（4）和式（7）為

計(jì)算式（1）采用如下Horner求和技術(shù)［4，12］

式中，

式（2）可以類似計(jì)算。

的值當(dāng)M＝2 700，θ→0°時(shí)將超過(guò)10500。為了避免上溢，遞推過(guò)程中乘以一個(gè)下調(diào)因子［4］10－280。

2 遞推計(jì)算中的壓縮因子和復(fù)合Horner求和技術(shù)

分析式（9）中的系數(shù)因子t、αnm和βnm不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)確定的θ和m，當(dāng)n很大時(shí)，βnm接近于1；當(dāng)θ→0°時(shí)t→1，且它不隨m和n的變化而變化；而隨著n的增大αnm趨于2（對(duì)于固定的m），且當(dāng)m＜n＜1.666 7 m時(shí)αnm＞2.5。因此，每一列遞推，n由m增大到n＝1.666 7 m，每一步遞推值將增大超過(guò)αnm／βnm＝1.5倍。例如，當(dāng)n由m＝ 2 700增大到n＝1.666 7 m（約4 500）時(shí)，如果不顧及t的微小影響，遞推值將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)初始值的9×10316（實(shí)際超過(guò)1×10500）倍以上。

鑒于以上分析，在遞推中插入壓縮因子q，式（9）變?yōu)?/p>

式中，q是與θ有關(guān)的介于1和2之間的一個(gè)數(shù)。顯然，與式（9）相比，式（12）降低了遞推值增大的速度。

當(dāng)θ逐漸增大到90°時(shí)，t＝cosθ逐漸減小到0，式（9）右端第一項(xiàng)作用越來(lái)越小，遞推值主要依賴于第二項(xiàng)。為避免下溢，這時(shí)取q＝1。由此，定義q為

式中，ρ是一個(gè)介于0.5和1之間的常數(shù)；k是一個(gè)正整數(shù)。令

式（12）改寫(xiě)為

式中，

式（1）的值如下計(jì)算

式中，

式（18）和式（19）合稱為復(fù)合Horner求和技術(shù)。

式（2）中f（1）可以類似計(jì)算。

式（20）和式（21）也可合稱為復(fù)合Horner求和技術(shù)。

3 數(shù)值檢驗(yàn)

圖1 ｜（θ）｜（?n，m≤3 600）的最大值的對(duì)數(shù)值曲線Fig.1 Logarithm plot of maximum values of｜（θ）｜（?n，m≤3 600）

圖2 ｜（θ）｜（?n，m≤3 600）的最小值的對(duì)數(shù)值曲線Fig.2 Logarithm plot of minimum values of｜（θ）｜（?n，m≤3 600）

式中，

式（23）、式（24）類似于式（20）、式（21）計(jì)算。

從圖3看到，新算法求得的完全正則化締合勒讓德函數(shù)值具有較高的精度，同時(shí)圖1～圖3也說(shuō)明新算法有較好的穩(wěn)定性。

Belikov遞推法的計(jì)算公式為

式中，

跨階次遞推法的計(jì)算公式為

式中，

由于式（25）和式（26）的遞推系數(shù)都小于1，因此比式（4）的穩(wěn)定性要強(qiáng)。但在接近兩極時(shí)的值仍然達(dá)到10－4000量級(jí)，超出一般計(jì)算機(jī)的允許數(shù)值范圍而下溢。根據(jù)式（25）和式（26）的結(jié)構(gòu)，不能像式（9）那樣處理。不過(guò)，式（25）可改寫(xiě)為

由式（27）計(jì)算＾Pnm（θ）／um可避免下溢，且若遞推中乘以10－280，可計(jì)算至2 500階不會(huì)上溢。由此轉(zhuǎn)化為就可類似式（11）計(jì)算式（1）。但當(dāng)M＞2 500時(shí)出現(xiàn)上溢，若要進(jìn)一步提高計(jì)算的階次，因＾Pnm（θ）／um由三項(xiàng)構(gòu)成，則壓縮因子結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。

跨階次遞推式（26）若如法處理，則產(chǎn)生系數(shù)βnm／u2和γnm／u2，當(dāng)θ→0°它們急劇變大，雖然避免了下溢，但很快出現(xiàn)上溢。由此分析，利用本文的處理思想，當(dāng)階次很高時(shí)，無(wú)法避免遞推值的溢出。

4 結(jié) 論

在個(gè)人計(jì)算機(jī)上執(zhí)行現(xiàn)有的遞推公式計(jì)算超過(guò)M＞2 700階次的締合勒讓德函數(shù)會(huì)產(chǎn)生上溢或下溢。通過(guò)在基本遞推算法中插入壓縮因子法，避免了溢出現(xiàn)象的發(fā)生。同時(shí)給出了計(jì)算由完全正則化締合勒讓德函數(shù)構(gòu)成的超高階球諧級(jí)數(shù)式的復(fù)合Horner求和技術(shù)。數(shù)值檢驗(yàn)表明新算法具有較高的精度。

毫無(wú)疑問(wèn)，在大地測(cè)量中會(huì)有包含真實(shí)擾動(dòng)位系數(shù)在內(nèi)的計(jì)算締合勒讓德函數(shù)級(jí)數(shù)f的更嚴(yán)密的檢測(cè)方法。本文重點(diǎn)在于提出締合勒讓德函數(shù)遞推的壓縮因子算法和復(fù)合Horner求和技術(shù)的思想。依據(jù)這個(gè)思路，Belikov遞推法可以類似處理，且遞推計(jì)算更高階的締合勒讓德函數(shù)級(jí)數(shù)及確定相應(yīng)的級(jí)數(shù)求和技術(shù)，都會(huì)涉及更為復(fù)雜的壓縮因子和球諧級(jí)數(shù)求和手段；任意高階的締合勒讓德函數(shù)遞推算法及其相應(yīng)的級(jí)數(shù)求和問(wèn)題，必須要有新的思想和方法；跨階次遞推法很難利用本文給出的方法處理下溢問(wèn)題。對(duì)以上問(wèn)題，將進(jìn)一步研究。

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