附加方位約束的GPS／INS組合系統(tǒng)選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波

柴艷菊，歐吉坤，袁運(yùn)斌，陽仁貴，鐘世明，王海濤

中國科學(xué)院測量與地球物理研究所動力大地測量學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430077

如果差分Doppler測速方差陣為ΣVg，則方位角中誤差估計公式為

1 引 言

GPS／INS組合導(dǎo)航技術(shù)能為用戶提供連續(xù)的高精度位置、速度和姿態(tài)等導(dǎo)航信息，在軍、民用領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［1－3］。常用組合方式（松組合或緊組合）的不足是建立的濾波觀測模型與姿態(tài)誤差、INS元件誤差等參數(shù)無關(guān)，這類參數(shù)必須依賴狀態(tài)預(yù)報模型中與位置誤差、速度誤差等參數(shù)之間的關(guān)系來估計，又稱為間接可測參數(shù)。為提高這類參數(shù)估計的精確性，以往多從改進(jìn)濾波狀態(tài)預(yù)報模型方面進(jìn)行研究，如對狀態(tài)參數(shù)噪聲利用波估計理論建模、利用狀態(tài)參數(shù)誤差變化區(qū)間構(gòu)造狀態(tài)預(yù)報精度的擴(kuò)展區(qū)間Kalman濾波、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)濾波、將抗差估計與Kalman濾波結(jié)合的一類抗差自適應(yīng)濾波等［4－8］。這些濾波技術(shù)的關(guān)鍵是將速度誤差分解為姿態(tài)誤差引起的部分、元件誤差引起的部分和初始速度誤差部分［9］，即準(zhǔn)確獲取這些參數(shù)的先驗(yàn)精度。由于狀態(tài)參數(shù)先驗(yàn)精度的確定由INS的噪聲水平?jīng)Q定，而INS噪聲與制造、使用、環(huán)境因素等有關(guān)［10］，因此這類參數(shù)的準(zhǔn)確確定非常困難。

隨著GPS多天線測姿技術(shù)的發(fā)展，許多學(xué)者提出附加GPS測姿信息的組合方式，如位置速度姿態(tài)全組合方式、附加基線約束的組合等［3，11－13］。這些組合方式需要多個GPS天線，不僅增加系統(tǒng)的成本，而且GPS多天線測姿精度與多條基線解算的精度及基線的長度成正比。由于載體本身范圍的限制，多天線測姿的基線一般比較短，雖然基線解算精度比較高，但是測姿精度不高［12－15］。

近年來，一些學(xué)者提出GPS單天線測姿技術(shù)［16］，即載體運(yùn)動情況下，由GPS觀測得到的速度和加速度結(jié)果計算載體運(yùn)動的姿態(tài)角。由于俯仰角和翻滾角受風(fēng)速、加速度誤差等影響，精度比較低。方位角的計算只與水平方向速度有關(guān)，相對比較準(zhǔn)確，其精度與水平方向速度的大小及精度有關(guān)，一般可以達(dá)到0.1°～0.4°［16－17］。文獻(xiàn)［18］提出利用這一信息直接校正INS的方位角；文獻(xiàn)［19］提出利用GPS得到的方位角和INS方位角之差來估計INS陀螺漂移誤差。這些做法是將GPS的方位角作為參考值，而GPS得到的方位角精度不高，因此這些做法并不合適。

基于以上分析，對于單天線GPS／INS組合系統(tǒng)，提出如下處理方案：在靜止時，采用經(jīng)典組合Kalman濾波。在運(yùn)動條件下，一方面，將GPS測得的方位信息作為虛擬觀測值輸入濾波器，形成附加方位約束的組合方式；另一方面，將選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波方法拓展到組合系統(tǒng)中，以提高導(dǎo)航參數(shù)誤差估計的精確性。

2 GPS單天線測方位原理及精度估計［16］

假設(shè)地理系中由GPS計算的速度矢量為Vg＝［VgxVgyVgz］T，載體運(yùn)動的速度矢量為Va＝［VaxVayVaz］T，則有關(guān)系Vg＝Va＋Vf，其中Vf＝［00V3］T風(fēng)速矢量。

載體的方位角為

式中，Va的水平分量可以用Vg分量代替，將上式微分得

如果差分Doppler測速方差陣為ΣVg，則方位角中誤差估計公式為

3 常用GPS／INS組合模型參數(shù)估值分析

地固系常用組合Kalman濾波模型可以表示為

由于松組合和緊組合觀測方程的系數(shù)陣結(jié)構(gòu)類似，可以采用統(tǒng)一的形式Hk＋1＝ ［H1O6×9］。松組合時H1＝I6為6階單位陣，緊組合時H1＝為相位觀測方程位置參數(shù)對應(yīng)的系數(shù)陣，O為零矩陣。由Hk＋1可知，在觀測方程中僅有位置、速度誤差參數(shù)為直接可測參數(shù)，其他狀態(tài)參數(shù)為間接可測參數(shù)。下面對這些間接可測參數(shù)的估值特點(diǎn)進(jìn)行分析。

組合的目的是利用GPS的觀測信息來不斷估計并校正INS的導(dǎo)航誤差。當(dāng)GPS觀測可用時，相信GPS的觀測信息，即HT1Pk＋1H1?P1，同時要求HT1Pk＋1H1?P2P－13PT2，即忽略間接可測參數(shù)預(yù)報值對直接可測參數(shù)估計的影響。增益矩陣可以近似寫成

聯(lián)合式（8）、（10），可得

4 附加方位約束的松組合

4.1 附加方位約束的松組合模型

在運(yùn)動條件下，將GPS單天線測得的方位角信息納入濾波觀測方程，形成新的附加方位約束的松組合模式，模型仍用式（5）表示。其狀態(tài)模型不變，觀測方程表達(dá)式變?yōu)?/p>

式中，虛線以上為經(jīng)典松組合觀測方程，下面為附加的方位角約束方程；rI、VI、yawI及rG、VG、yawG分別為INS和GPS計算的位置、速度和方位角；（3）為矩陣的第3行元素。

從式（12）可知，附加GPS測方位角約束后，相當(dāng)于增加與姿態(tài)相關(guān)的外部觀測信息，部分平臺角誤差在觀測方程中成為直接可測參數(shù)。

4.2 確定附加方位約束觀測的權(quán)

附加的約束觀測對參數(shù)估計的作用由附加觀測值的精度決定，對附加約束觀測值進(jìn)行合理定權(quán)（或方差）是該方法的關(guān)鍵。如果對約束觀測值定權(quán)偏大，屬于強(qiáng)制附合，不僅達(dá)不到約束的目的，甚至歪曲估值結(jié)果。

附加方位約束的松組合觀測值方差陣的確定取決于GPS定位、測速和測方位角的精度。k＋1時刻觀測值方差陣Rk＋1的表達(dá)式可寫成

diag（·）表示對角陣。對于短基線情況，模糊度準(zhǔn)確固定后，位置觀測量中誤差估值可取為厘米級；差分doppler測速中誤差可取為cm／s級；方位約束觀測值中誤差可由式（4）實(shí)時估計。

5 GPS／INS組合模型中選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波方法的拓展

從式（12）可知，附加GPS方位約束后，觀測信息仍不足以估計全部狀態(tài)參數(shù)。為減弱狀態(tài)預(yù)報值不準(zhǔn)對濾波估值的影響，將近年來課題組提出的一種克服狀態(tài)模型異常的選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波法拓展到組合濾波中。其模型與抗差自適應(yīng)濾波相同，區(qū)別在于狀態(tài)參數(shù)等價權(quán)因子陣的確定充分考慮到狀態(tài)個體的差異，而不是采用一個等價權(quán)因子對所有的狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)降權(quán)處理，有關(guān)抗差自適應(yīng)濾波的詳細(xì)介紹參見文獻(xiàn)［7—8］。該方法在GPS快速精密點(diǎn)定位、網(wǎng)絡(luò)RTK系統(tǒng)誤差的分離等方面取得了比較好的效果，主要是充分利用了模糊度為時不變參數(shù)及網(wǎng)絡(luò)RTK中參考站坐標(biāo)比較精確的先驗(yàn)信息［21］。針對GPS／INS組合系統(tǒng)的特殊情況，下面詳細(xì)介紹構(gòu)造等價權(quán)因子陣w的新思路。

選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波用方差陣的表示形式為［22］

式中，w－1是對角陣。

載體靜止時，采用經(jīng)典濾波，因?yàn)镮NS誤差狀態(tài)方程是在平穩(wěn)狀態(tài)下建立的，濾波估值在狀態(tài)預(yù)報值和觀測值之間達(dá)到平衡是合理的，此時等價權(quán)因子陣取單位陣。

載體運(yùn)動后，平穩(wěn)狀態(tài)下建立的INS誤差模型難以準(zhǔn)確表示復(fù)雜的運(yùn)動狀態(tài)，需要根據(jù)具體條件不斷調(diào)整狀態(tài)預(yù)報值的方差陣。由式（12）可知，觀測方程中只有位置參數(shù)、速度參數(shù)和部分平臺角誤差參數(shù)直接可測，其等價權(quán)因子利用狀態(tài)參數(shù)不符值來構(gòu)造；其他參數(shù)為間接可測參數(shù)，這類參數(shù)的等價權(quán)因子的構(gòu)造依賴狀態(tài)參數(shù)的先驗(yàn)信息。松組合觀測模型中，由于位置、速度誤差參數(shù)不符值等于相應(yīng)的觀測值。這類參數(shù)的等價權(quán)因子陣的形式可寫為

平臺角誤差參數(shù)預(yù)報值權(quán)因子的確定相對比較復(fù)雜，首先利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及協(xié)方差傳播律得到姿態(tài)誤差角參數(shù)及其預(yù)報誤差方差陣Σ?，其關(guān)系為

式中，Σφ為狀態(tài)預(yù)報誤差方差陣Σk，k－1中平臺誤差角對應(yīng)的部分。一般車輛在平坦的地面上運(yùn)動時，俯仰角和翻滾角變化比較小，δpitch和δroll相對比較小，對應(yīng)的等價權(quán)因子取1。由于方位角變化比較快，其誤差受運(yùn)動動態(tài)性（轉(zhuǎn)角大小和加速度變化等）影響比較復(fù)雜，尤其在急速轉(zhuǎn)彎時，因此這里只對方位角誤差參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計。其等價權(quán)因子構(gòu)造為

姿態(tài)誤差角等價權(quán)因子陣w?確定后，將其轉(zhuǎn)換成平臺誤差角的權(quán)因子陣wφ，轉(zhuǎn)換公式

根據(jù)元件誤差的特點(diǎn)，對于1s的更新率，元件誤差變化比較小，其權(quán)因子全部取1。全部狀態(tài)參數(shù)的等價權(quán)因子陣形式可寫為

w陣確定后，利用式（14）可以確定全部狀態(tài)參數(shù)等價預(yù)報方差陣，取代濾波公式中原狀態(tài)預(yù)報方差陣（或轉(zhuǎn)換成權(quán)陣），得到新的濾波解。

6 算例分析與討論

試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集于2002－08－30某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，由于此處道路平坦，高樓較少，INS動態(tài)環(huán)境和GPS觀測條件比較好。試驗(yàn)設(shè)備：一輛面包車、兩臺Trimble 4700Total Station GPS接收機(jī)（一臺基準(zhǔn)站，一臺流動站），基線平均長度為1km，一套iMar INAV－FMS INS。GPS和INS的技術(shù)指標(biāo)為：GPS觀測值包括C／A碼、雙頻載波相位和Doppler觀測，采樣率1Hz；INS陀螺漂移1°／h，陀螺隨機(jī)游走加速度計偏置1× 10－5m／s2，采樣率100Hz。同步觀測共767個歷元。載體先靜止約4.5min，然后以約60km／h的速度運(yùn)動，運(yùn)行軌跡包括直線、轉(zhuǎn)彎、復(fù)雜的“8”字等，軌跡如圖1。

圖1 流動站運(yùn)動軌跡圖Fig.1 The trajectory of the rover station

為了說明新方案的效果，采用如下三種處理方案：經(jīng)典松組合方案；附加方位約束的抗差自適應(yīng)濾波（因?yàn)橛^測量少于參數(shù)個數(shù)，自適應(yīng)因子采用預(yù)報殘差構(gòu)造［7］）；附加方位約束選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波。

下面比較三種方案得到的位置差和速度差（INS校正后的位置、速度與GPS定位、測速之差）如圖2、圖3。當(dāng)模糊度準(zhǔn)確固定后，一般差分GPS相位定位精度可達(dá)厘米級，差分Doppler測速精度為cm／s級，因此位置差和速度差反映INS經(jīng)過誤差校正后導(dǎo)航參數(shù)的精確性。位置差和速度差統(tǒng)計結(jié)果見表1。

圖2 三種方案計算的位置差Fig.2 The position differences of the above three programs

圖3 三種方案計算的速度差（采樣間隔1s）Fig.3 The velocity differences of the above three programs（interval of 1s）

表1 三種方案位置差和速度差統(tǒng)計結(jié)果比較Tab.1 The statistic results of the position and velocity differences of the three programs

比較圖2、圖3及表1中三種方案的統(tǒng)計結(jié)果可知，方案3得到的位置差和速度差變化及其最大值、最小值、均值和標(biāo)準(zhǔn)差比方案1和方案2結(jié)果明顯減小，這說明新方案輸出的濾波結(jié)果與GPS結(jié)果更接近，精確性得到提高。方案2結(jié)果比方案1有改善，各方向的位置精度可以提高50%以上，速度精度提高30%左右，而方案3各方向的位置和速度精度比方案1提高均在70%以上，主要是抗差自適應(yīng)濾波確定的狀態(tài)預(yù)報值的等價權(quán)因子忽略了參數(shù)之間的差異，當(dāng)只有個別參數(shù)出現(xiàn)量級不大的異常時，平均后可能判別不出異常，而GPS測得的方位角精度比較低，限制了GPS信息的作用。

下面對三種方案結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)分析：首先分析經(jīng)典組合濾波結(jié)果存在的問題，然后通過比較三種方案的增益陣及載體系（三軸指向右前上）X方向的速度，進(jìn)一步闡述新方案結(jié)果的合理性。

以往許多文獻(xiàn)指出INS姿態(tài)誤差受載體的機(jī)動性（尤其是轉(zhuǎn)角變化）影響比較大，首先比較方案1輸出的方位角差（系統(tǒng)輸出的方位角與由GPS測速計算的方位角之差）和1s內(nèi)轉(zhuǎn)角變化來分析該方案姿態(tài)誤差估計的不合理性，其結(jié)果見圖4。

圖4 松組合方位角差與1s內(nèi)轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.4 The relation between the yaw difference and the rotation angle within 1second

圖4表明方位角差變化曲線與1s內(nèi)θ／10的變化曲線相似，當(dāng)｜θ｜大時（急轉(zhuǎn)彎），方位角差也比較大，即與實(shí)際方位角偏離比較遠(yuǎn)，這主要是因?yàn)榇筠D(zhuǎn)彎情況下姿態(tài)誤差估計不準(zhǔn)造成的。由于INS姿態(tài)誤差參數(shù)的估計由濾波中的增益矩陣決定的，下面以開始轉(zhuǎn)彎時刻391歷元（1s內(nèi)轉(zhuǎn)過0.19°）和急速轉(zhuǎn)彎時刻398歷元（1s內(nèi)轉(zhuǎn)過14.6°）為例，分析計算姿態(tài)誤差所對應(yīng)的增益陣Kφ（式（7）計算的增益陣Kk＋1中第6—9行對應(yīng)部分）的變化情況。

上述結(jié)果表明，雖然391歷元和398歷元1s內(nèi)轉(zhuǎn)角差異比較大，但是增益矩陣的差別并不大，因此姿態(tài)誤差估計Kφ×L相差不大，這也正是運(yùn)動后姿態(tài)誤差估計表面上趨于穩(wěn)定的原因，顯然經(jīng)典濾波估計出的姿態(tài)誤差估值在大轉(zhuǎn)角情況下偏小，使姿態(tài)誤差校正滯后。

采用新方案的改進(jìn)主要體現(xiàn)在濾波增益陣的變化，下面隨機(jī)取運(yùn)動后第489歷元，比較3種方案增益陣的變化，進(jìn)一步闡述新方案的合理性。根據(jù)INS各類誤差的特點(diǎn)，只對前9個參數(shù)構(gòu)造等價權(quán)因子陣，其他參數(shù)等價權(quán)因子為1，因此下面只列出增益陣的前9行。

方案1前9×6階增益矩陣為

方案2前9×7階增益矩陣

方案3前9×7階增益矩陣

方案3的狀態(tài)預(yù)報方差的等價權(quán)因子陣為：位置、速度參數(shù)對應(yīng)的為w＝diag（0.069 0，0.018 90，0.108 5，0.563 5，0.123 4，0.146 4）；姿態(tài)角對應(yīng)的為w?＝diag（1，1，0.148 4）；其他參數(shù)對應(yīng)的全為1。方案2確定的等價權(quán)因子為1。

比較三種方案的增益陣可知，方案3與方案1和2的增益陣主要區(qū)別為：方案3的位置和速度誤差參數(shù)對應(yīng)的增益矩陣對角元接近1，其他元素比較小，因此INS位置和速度誤差濾波估值接近觀測值的最小二乘估值，經(jīng)過誤差校正后INS位置和速度接近GPS定位和測速結(jié)果，為下一個歷元提供比較準(zhǔn)確的積分初值，這符合組合思想。由于GPS測方位的精度不高，其方差取0.012rad2，而該歷元方位角預(yù)報誤差方差為0.0162rad2，平臺角誤差參數(shù)濾波估值接近預(yù)報值與觀測值的平均值，這是合理的。

方案2的增益陣對角元介于方案1與方案3之間，因?yàn)榉桨?確定等價權(quán)因子依據(jù)的是狀態(tài)參數(shù)不符值范數(shù)的平均值［20］，沒有顧及參數(shù)之間的差異，雖然個別參數(shù)有異常，但是平均后表現(xiàn)為正常。因此要提高組合導(dǎo)航結(jié)果的合理性，不僅要在觀測模型中增加觀測信息，而且還要對觀測信息、狀態(tài)參數(shù)的先驗(yàn)預(yù)報信息配賦合理的精度。

由于b系中X方向的速度理論值為0，INS經(jīng)過校正后的速度接近GPS測速精度，即cm／s級。如果姿態(tài)矩陣準(zhǔn)確，Vbx的大小應(yīng)該在cm／s量級。如果該量比較大，說明姿態(tài)矩陣不合理。3種方案計算的Vbx結(jié)果見圖5。

圖5 三種方案計算的b系X方向的速度估值比較（采樣間隔為1s）Fig.5 The estimators of the velocity in Xdirection in body frame using the three methods（interval of 1s）

從圖5可知，當(dāng)載體運(yùn)動后，方案2比方案1結(jié)果變化的幅度有所減小，而比方案3結(jié)果明顯要大，這也說明方案3輸出的姿態(tài)矩陣更趨合理。

綜合以上對INS位置差、速度差及姿態(tài)結(jié)果的分析可知，方案3結(jié)果是合理的。

6 結(jié)束語

根據(jù)濾波的關(guān)鍵矩陣增益陣的特點(diǎn)，得出GPS／INS組合模型及Kalman濾波算法存在的主要問題是觀測信息嚴(yán)重不足及狀態(tài)參數(shù)在復(fù)雜運(yùn)動情況下難以準(zhǔn)確預(yù)報。提出將運(yùn)動條件下GPS單天線測方位信息納入濾波觀測模型，以增加姿態(tài)誤差的外部觀測量；并將選權(quán)自適應(yīng)卡爾曼濾波新方法拓展應(yīng)用到組合數(shù)據(jù)處理中。新方案的關(guān)鍵是對新的觀測值定權(quán)依據(jù)GPS定位、測速和測方位角的實(shí)時估計精度；對狀態(tài)參數(shù)等價權(quán)因子的構(gòu)造，直接可測參數(shù)依據(jù)狀態(tài)參數(shù)不符值，而間接可測參數(shù)依據(jù)這類參數(shù)的誤差變化特性。其優(yōu)勢是在機(jī)動情況下，狀態(tài)參數(shù)估計更合理。最后采用車載GPS／INS實(shí)測數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了新思路的有效性。

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