GOCE衛(wèi)星徑向重力梯度一階、二階徑向偏導數(shù)標準差的近似解析公式

徐天河，賀凱飛

1.武漢大學測繪學院，湖北武漢430079；2.西安測繪研究所，陜西西安710054；3.長安大學地測學院，陜西西安710054

1 引 言

歐洲地球重力場和海洋環(huán)流探測衛(wèi)星（GOCE）重力場恢復涉及諸多研究內容，如數(shù)據(jù)預處理、數(shù)字濾波、大型方程組快速解算、正則化算法等［1－3］，而重力梯度數(shù)據(jù)預處理是其中的關鍵問題，主要包括數(shù)據(jù)的粗差探測、系統(tǒng)誤差標定、數(shù)據(jù)歸算等［1－2］。系統(tǒng)誤差標定經(jīng)常涉及重力梯度數(shù)據(jù)的延拓處理，如衛(wèi)星軌跡交叉點不符值計算中的延拓。此外，空域法恢復GOCE重力場中，需要將衛(wèi)星重力梯度觀測值延拓到平均軌道面，同樣涉及梯度數(shù)據(jù)的延拓處理［4－8］。許多學者對衛(wèi)星重力梯度的延拓進行深入研究，并使其在GOCE數(shù)據(jù)質量評定、系統(tǒng)誤差標定、GOCE重力場恢復中得到廣泛應用［9－15］。也有部分學者對GOCE衛(wèi)星重力梯度（satellite gravity gradient，SGG）延拓誤差的量級進行估計，但大都集中在數(shù)值分析上，且主要考慮重力場模型、坐標轉換等帶來的誤差影響，而利用解析方法研究GOCE衛(wèi)星SGG數(shù)據(jù)的延拓誤差及可忽略的延拓誤差最大高度方面研究較少［6，9］。實際上，在一定的延拓高度范圍內，延拓誤差可以忽略，即可用觀測點梯度值代替延拓點梯度值［1，13］。若能從解析角度分析延拓的誤差影響，并較準確估計可忽略的延拓誤差最大高度，不僅能大大簡化計算，也可為GOCE數(shù)據(jù)處理提供有益參考。要對此進行解析估算，涉及的關鍵問題是重力梯度一階、二階徑向偏導數(shù)的方差或標準差解析公式的推導?？紤]到徑向重力梯度Tzz是GOCE衛(wèi)星重力梯度最主要的觀測分量以及論文篇幅的限制，以Tzz為例，立足于推導GOCE衛(wèi)星Tzz的一階、二階徑向偏導數(shù)˙Tzz、¨Tzz標準差的近似解析公式，試圖給出簡便、快捷的計算公式及量級估計，由此給出實際延拓計算中可忽略的延拓誤差最大高度。因此，本文推導出的近似解析公式具有理論和實踐意義。

2 徑向重力梯度Tzz的延拓公式及誤差分析

衛(wèi)星的擾動位公式可表示如下［16－17］

式中，φ和λ為空間單位質點在地固系中的緯度和經(jīng)度；r為衛(wèi)星的地心距；Re為地球平均半徑；GM為地球引力系數(shù)為正?；木喓侠兆尩聽柖囗検?；Cnm和Snm為正?；牡厍蛞ξ幌禂?shù)；l和m為多項式的階和次。

由式（1）對r求二階導數(shù)便可得出徑向重力梯度Tzz的計算公式［16－17］

在GOCE數(shù)據(jù)預處理如利用衛(wèi)星交叉點不符值，以及利用空域法進行GOCE重力場恢復的計算中，通常要進行衛(wèi)星重力梯度的延拓處理。GOCE衛(wèi)星徑向重力梯度的延拓公式可近似采用如下泰勒級數(shù)展開的形式（忽略二階以上展開項）［6］

考慮到延拓高度是小量（相對于衛(wèi)星高度），實際中可以忽略二階以上的誤差影響［6］。不考慮一階項和二階項的相關性，由誤差傳播定律，有如下公式

可忽略的延拓誤差最大高度應滿足如下條件

式中，σobs為觀測值的標準差，利用式（4）、（5）進行可忽略延拓誤差的最大高度的判別時，需要計算衛(wèi)星徑向重力梯度的一階、二階徑向偏導數(shù)的標準差，因此主要目標便是推導其解析表達式。

3 Tzz一階、二階徑向偏導數(shù)標準差的近似解析表達式及數(shù)值分析

依據(jù)球諧分析公式［18］

根據(jù)Kaula準則［18］

由此可得

同樣可推出

考慮到

式中，ki、kj的值見表1、表2。

令e－α＝ρ2，即α＝－2lnρ，由此可將公式（13）、（14）改寫為

考慮到

并顧及［19］

式中，Γ為伽瑪函數(shù)，則有

取GM＝398 600.441 5×109，Re＝6 378km，GOCE衛(wèi)星軌道高度取為h＝250km，即r?Re＋h＝6 628km，由此計算得到ρ?0.962 281，α＝0.076 895，G0＝1.536 2×10－6s－2，Γ（i＋1，2α）、Γ（j＋1，2α）可依據(jù)數(shù)學庫函數(shù)計算得到，具體見表1、表2。由此得到GOCE衛(wèi)星σ（）和σ（）的近似估值為

表1 計算公式中的系數(shù)ki及對應Γ函數(shù)值Tab.1 The values of kiandΓfunction ofσ

表1 計算公式中的系數(shù)ki及對應Γ函數(shù)值Tab.1 The values of kiandΓfunction ofσ

i ki Γ（i＋1，2α）－3 36 16.020 4－2 132 4.126 2－1 193 1.442 1

表2 計算公式中的系數(shù)kj及對應Γ函數(shù)值Tab.2 The values of kjandΓfunction ofσ

表2 計算公式中的系數(shù)kj及對應Γ函數(shù)值Tab.2 The values of kjandΓfunction ofσ

j kj Γ（j＋1，2α）－3 576 16.020 4－2 2 400 4.126 2－

實際的重力場模型階數(shù)只能截斷到一定階次如360，假定重力場模型最大階數(shù)為Nmax，則式（22）、（23）可改寫為

顯然當階數(shù)超過一定范圍時（如圖1中180階以上、圖2中200階以上）幾乎不發(fā)生變化，這從另一方面說明，在利用現(xiàn)有重力場模型對梯度數(shù)據(jù)進行延拓時，重力場的階數(shù)取200階以上即可。

圖1 隨Nmax變化的計算結果Fig.1 The values ofwith different Nmax

圖2 隨Nmax變化的計算結果Fig.2 The values ofwith different Nmax

4 Tzz平均軌道面延拓計算中可忽略的延拓誤差最大高度

軌道高度差異最大值可表示為Δhmax＝2rsine，由于GOCE衛(wèi)星偏心率e＜0.001，由此Δhmax≈2re＝13.3km，而空域法重力場恢復延拓中通常是取平均軌道作為參考面，因此平均延拓的最大高度

依據(jù)上一節(jié)解析公式的計算結果，若要滿足1mE（1mE＝10－12s－2）的延拓精度要求，對于而言可忽略的延拓誤差最大高度約0.8km，而對而言約為13.4km。

顯然，如果以GOCE衛(wèi)星平均軌道面為基準面，實際延拓處理中可忽略二階以上的高階項影響，即用泰勒展開一階即可滿足精度要求，即

而對小于0.8km的延拓高度可忽略不計，可不作延拓處理。

5 計算驗證

為了驗證本文解析公式的正確性，模擬10d的GOCE衛(wèi)星Tzz數(shù)據(jù)，采樣間隔為5s，衛(wèi)星高度約為250km，重力場采用EGM96模型截至200階。采用嚴格公式（7）、（8）計算結果見圖3、4，然后統(tǒng)計其標準差的計算公式見式的計算公式與之類似。將上述計算結果作為“真值”，將解析公式計算出的標準差與“真值”進行比較，結果見表3。

表3 解析結果與嚴格公式計算結果比較Tab.3 The comparison between analytical formula and strict formula

圖3 公式（7）計算出的˙Tzz結果Fig.3 The results of˙Tzzfrom formula（7）

圖4 公式（8）計算出的¨Tzz結果Fig.4 The results of¨Tzzfrom formula（8）

6 結束語

GOCE數(shù)據(jù)預處理及重力場恢復中經(jīng)常涉及重力梯度數(shù)據(jù)的延拓，利用衛(wèi)星重力梯度一階、二階徑向偏導數(shù)的標準差信息能對可忽略的延拓誤差最大高度進行估算和判別，以此確定延拓處理的必要性。從解析角度出發(fā)，推導出徑向重力梯度Tzz一階、二階徑向偏導數(shù)標準差的近似解析計算公式，由此對GOCE衛(wèi)星Tzz可忽略的延拓誤差最大高度進行估算，并利用嚴格公式的計算結果對近似解析表達式的正確性進行驗證，結果表明，解析公式形式簡單，其計算結果與實際結果吻合較好。本文的所推導出的解析公式可較容易推廣到Tzz的N階徑向偏導數(shù)標準差的計算情形。

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