二維有限元網(wǎng)格的局部調(diào)整及優(yōu)化

江 磊

JIANG Lei

（成都紡織高等?？茖W校 基礎部，成都 611731）

1 網(wǎng)格的局部加密

1.1 局部網(wǎng)格加密算法的問題

在有限元網(wǎng)格加密中主要存在的問題[1]：多級加載和半帶寬。對于單元局部加密的最大問題就是新增的單元、節(jié)點的編號如何處理，對于一般的有限元程序來說，如果單元和節(jié)點的變化不合理，對于生成的總體剛度矩陣的半帶寬會加大，消耗更多的計算機內(nèi)存。如壩體有限元計算程序，可模擬壩體修建的整個過程，模型是最終的壩體，然后記錄了修建工程中的某些階段，也就是多次加載。另外，為了能夠適應現(xiàn)有的計算能力還必須合理的確定節(jié)點單元編碼，這樣可以減小半帶寬。

1.2 算法具體描述

1.2.1 獲得加密單元和過渡單元

有限元計算的結(jié)果通常經(jīng)過后處理，我們在生成的等值線、彩色云圖上很容易指定哪一部分的變化較劇烈，需要加密。用戶使用鼠標選擇加密區(qū)域，獲得這個矩形的左上角和右下角的坐標：(left, top)，(right, bottom)。然后掃描所有的單元，只要單元的一個節(jié)點落在加密區(qū)域內(nèi)，這個單元就是需要加密的。掃描結(jié)束后，生成一張表，記錄需要加密的單元號。

1.2.2 產(chǎn)生新的節(jié)點

因為接觸單元不可以劃分為三角形單元，出現(xiàn)二角形單元有兩種情況：(1)需加密的單元中含有三角形單元，在這種情況下，應為三角形單元不是接觸單元，所以，劃分不會產(chǎn)生三角形的接觸單元。(2)在生成過渡單元這樣的過渡單元時，如果過渡單元是接觸單元的話，就產(chǎn)生了三角形的接觸單元，這是不允許的，必須采取必要的措施。采取的方式是，如果某個加密單元的過渡單元是接觸單元的話，則對應的這邊就不增加節(jié)點，過渡單元也不進行劃分。新增節(jié)點延續(xù)原來的節(jié)點編號，節(jié)點的坐標由所在的邊或者所在單元型心確定。在這一過程中擴充原來的加密單元、過渡單元表格，使其包含需加密單元新增加的節(jié)點的信息。依次為邊1增加的節(jié)點號，邊2增加的節(jié)點號，邊3增加的節(jié)點號，邊4增加的節(jié)點號，型心處增加的節(jié)點編號。如果對應的部分沒有增加節(jié)點，就寫-1。

1.2.3 節(jié)點排序

要使生成的剛度矩陣具有合理的半帶寬，需要單元和節(jié)點編碼有一定的規(guī)律。通常網(wǎng)格在生成的時候都考慮了結(jié)構半帶寬的優(yōu)化，加密后的網(wǎng)格破壞了原有的半帶寬。對于像壩體這樣的矩形結(jié)構，可以先按照水平方向編碼，然后豎直方向編碼。把原來的節(jié)點信息表做一個備份。

1.2.4 單元排序

如何合理的對單元進行排序，是局部加密的關鍵。采用的是這樣的一種想法：在加密前，如果一個單元的編碼出現(xiàn)在另外一個單元的編碼前，經(jīng)過加密處理后，如果這個單元被拆分了，那么拆分后的幾個單元的編碼也要出現(xiàn)在另外的那個單元的前面。

2 網(wǎng)格質(zhì)量優(yōu)化

網(wǎng)格生成完畢后，其拓撲結(jié)構(如節(jié)點-單元關系、單元-單元關系、節(jié)點-節(jié)點關系)也就確定了，這些關系在一定程度上反映著網(wǎng)格的規(guī)則程度。通常，在四邊形網(wǎng)格中任一個內(nèi)部節(jié)點相連的最佳單元個數(shù)為4，但是任何一種生成四邊形有限元網(wǎng)格的算法中，由于只考慮了節(jié)點周圍局部的情況，而往往會在生成的網(wǎng)格中存在著不規(guī)則節(jié)點和由此導致的畸形單元。這些節(jié)點和單元的存在都直接影響著網(wǎng)格的質(zhì)量，從而影響著有限元分析結(jié)果的準確性。

進行網(wǎng)格優(yōu)化就是進一步提高網(wǎng)格質(zhì)量以滿足有限元分析的需要。總的來說，網(wǎng)格優(yōu)化分為拓撲優(yōu)化和幾何優(yōu)化兩種。拓撲優(yōu)化是改變網(wǎng)格的拓撲結(jié)構以達到優(yōu)化的目的；而幾何優(yōu)化則不改變網(wǎng)格的拓撲結(jié)構，只是重新調(diào)整網(wǎng)格節(jié)點的位置，使單元盡量地接近正方形。本文采用網(wǎng)格優(yōu)化算法，首先是通過改變網(wǎng)格的拓撲結(jié)構來使不規(guī)則單元的數(shù)量減少到最小，然后再對網(wǎng)格進行位置的優(yōu)化，最終達到對整個網(wǎng)格質(zhì)量的提高和改善。

2.1 拓撲優(yōu)化

網(wǎng)格的拓撲優(yōu)化[2]側(cè)需要對網(wǎng)格節(jié)點之間的連接關系作出調(diào)整，對于四邊形單元，節(jié)點連接的單元數(shù)介于3到6之間，認為是可以接受的。拓撲優(yōu)化主要有以下幾種模式：

刪除節(jié)點；

刪除單元；

刪除邊；

對角線調(diào)換；

在介紹網(wǎng)格的拓撲優(yōu)化之前，先引進一個“度”的概念。在圖論中，一個無向圖中節(jié)點的度是指共享該節(jié)點的邊的數(shù)目，這里重新定義為共享該節(jié)點的單元的數(shù)目：

2.1.1 點刪除

這種拓撲優(yōu)化主要應用于刪除那些合并過程中四邊形單元的內(nèi)角有大于180o的單元的情況。依次檢驗內(nèi)部節(jié)點，當某個節(jié)點的度為2時，必然會產(chǎn)生。

2.1.2 單元刪除

依次檢驗所有的單元，如果此單元中存在一對相對的節(jié)點設為(A, B)度皆為3時，則刪除此單元，并將節(jié)點A、B合并為一個節(jié)點。

2.1.3 邊刪除

依次檢驗連接了兩個節(jié)點的單元邊，如果某邊AB的兩個端點的度皆為3，則刪除此邊，連接到A、B節(jié)點的單元需要重新構建成兩個新的四邊形單元。這兩個單元的公共邊的選擇需要按照節(jié)點的度來確定。設NC、ND、NF、NG分別為節(jié)點C、D、F、G的度，則兩個四邊形公共邊的選擇按如下原則：

2.1.4 對角線調(diào)換

依次檢驗每一對相互連接的單元，公共邊AD將被調(diào)換成EB或者CF，如果滿足以下關系N1=NA+ND；N1= NA+ ND；N1= NA+ ND，則：

1)公共邊AD調(diào)換成BE

2)公共邊AD調(diào)換成CF

需要注意的是：上面的拓撲優(yōu)化執(zhí)行的前提是這種調(diào)整不會引起任何的單元交疊或產(chǎn)生畸形單元。網(wǎng)格拓撲調(diào)整應該按照1-4的順序進行。節(jié)點刪除將首先執(zhí)行，然后接著是單元刪除、邊刪除和對角線的調(diào)換，當對角線調(diào)換完畢，再回到節(jié)點的刪除，從而進行下一輪的拓撲調(diào)整，直到不需進行拓撲調(diào)整為止。

2.2 幾何優(yōu)化

網(wǎng)格的幾何優(yōu)化是指通過移動內(nèi)部節(jié)點的位置來調(diào)整網(wǎng)格的形狀以達到優(yōu)化網(wǎng)格質(zhì)量的目的。這類方法中最為典型的是Laplacian修勻方法，它用迭代法將每一個內(nèi)部非固定節(jié)點移至由其鄰接節(jié)點構成的多邊形的形心位置，公式如下：

其中Ni是節(jié)點i所連接的節(jié)點總數(shù)，j是與i相連的節(jié)點，節(jié)點xi和yj是節(jié)點i的橫坐標和縱坐標值。這種方法是通過移動內(nèi)部節(jié)點位置的方法來優(yōu)化網(wǎng)格單元的形狀，同時使網(wǎng)格看起來更加光順，所以也稱其為一種網(wǎng)格的修勻或光順的方法。

上式作為一個簡單而又常常比較有效的迭代公式被廣泛應用于網(wǎng)格修勻，但它也存在一些根本的缺陷：1)當存在非凸的幾何區(qū)域時，某些單元可能會重疊，結(jié)點可能被移到區(qū)域的邊界之外；2)在3D網(wǎng)格中，一個結(jié)點可能被移至某個相鄰單元的內(nèi)部；3)不能用于邊界結(jié)點的調(diào)整。盡管后來Herrmann及其他研究人員又分別提出了一些改進的算法，但終究不可能克服修勻技術所固有的不足。

眾所周知，在結(jié)構優(yōu)化中優(yōu)化方法可分為準則法和數(shù)學規(guī)劃法兩大類。數(shù)學規(guī)劃法是嚴格按優(yōu)化問題的數(shù)學描述進行求解，在理論上是嚴謹?shù)?，但在實際應用中其效率將隨優(yōu)化問題的規(guī)模增大而下降；準則法是基十直觀推測，盡管有一定道理，但在理論上并不能保證獲得最佳的結(jié)果。著名的三桿析架向題，己嚴格證明了滿應力準則設計和最輕重量設計并不總是等價的。關于上述兩類方法的實際應用，一般說來，設計變量少規(guī)模小的問題盡可能采用數(shù)學規(guī)劃法來逼近最優(yōu)解，而設計變量多規(guī)模人的問題盡可能引進準則的技巧來調(diào)整計算規(guī)模。

與此類似，在網(wǎng)格結(jié)點位置的優(yōu)化中，Laplacian修勻?qū)儆跍蕜t法，它具有準則法普遍所具有的優(yōu)點：方法簡單，計算量小，速度快。Laplacian修勻技術作為網(wǎng)格生成方法的一種補充，己為大多數(shù)研究人員所接受。但是Laplacian修勻同樣也具有準則法所固有的不足，最根本的問題在于不能確定修勻后的網(wǎng)格是否為最優(yōu)網(wǎng)格。

圖1為網(wǎng)格優(yōu)化前后的比較。鋪路法由于是從邊界向區(qū)域內(nèi)部生成單元，所以內(nèi)部單元的質(zhì)量比較差。從圖中可以看出，經(jīng)Laplacina修勻后，中心的網(wǎng)格質(zhì)量得到提高。

圖1 網(wǎng)格修勻

3 結(jié)論

本文主要介紹了網(wǎng)格加密算法，采用加密算法，達到了網(wǎng)格局部加密效果，而且提高了計算精度，滿足了計算要求。此外還介紹了網(wǎng)格質(zhì)量優(yōu)化和節(jié)點編號優(yōu)化算法，經(jīng)過優(yōu)化后網(wǎng)格質(zhì)量更高，利用節(jié)點編號優(yōu)化算法，減少了網(wǎng)格的半帶寬，節(jié)省存儲容量，而且能夠提高計算速度。

[1]黃曉東.二維有限元網(wǎng)格的局部加密方法[J].華南理工大學學報.2004, 32(12)∶45-53.

[2]陳立崗.全四邊形有限元網(wǎng)格的拓撲優(yōu)化策略[J].計算機輔助設計與圖形學學報.2007,19(1)∶78-83