如何解決“繩”和“彈簧”的突變類問題

張強(qiáng)

(奎屯市第一高級(jí)中學(xué) 新疆 奎屯 833200)

在中學(xué)物理中“繩”和“彈簧”都是一種理想化的物理模型.以輕質(zhì)“繩”和輕“彈簧”為載體，設(shè)置復(fù)雜的物理情境，考查力的概念、物體的平衡、牛頓定律的應(yīng)用及能的轉(zhuǎn)化與守恒，是歷年來高考命題的重點(diǎn)，幾乎每年高考試題均有所見.因此在高考復(fù)習(xí)中也引起了教師和學(xué)生的足夠重視．

大多數(shù)學(xué)生對(duì)此類問題涉及的知識(shí)要點(diǎn)不能深化理解，思維不夠靈活而導(dǎo)致容易出錯(cuò)．而一些缺少經(jīng)驗(yàn)的教師通常又講不透徹涉及的知識(shí)要點(diǎn)，無法引導(dǎo)學(xué)生用創(chuàng)新思維去靈活運(yùn)用解決這類問題．下面筆者通過多年積累的一些經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生解決“繩”和“彈簧”的突變類問題．

首先要掌握“繩”和“彈簧”具有的基本特性.在中學(xué)物理中涉及到的“繩”和“彈簧”都是一種理想化的物理模型，都是輕質(zhì)“繩”和輕“彈簧”，不計(jì)質(zhì)量或者說質(zhì)量和重力均可視為零.除此以外各自具有以下基本特性.

(1)對(duì)于“繩”來說，同一根繩的兩端及其中間各點(diǎn)的張力大小相等，繩只能受拉力，不能承受壓力(因繩能變彎曲)；繩對(duì)物體拉力的方向總是沿著繩指向繩收縮的方向，無論繩所受拉力多大，繩子的長(zhǎng)度認(rèn)為不變，即不考慮或忽略繩子的形變；若突然燒斷(或剪斷)繩的瞬間，繩子的拉力立即消失，即繩子中的張力可以突變．

(2)對(duì)于“彈簧”來說，同一彈簧的兩端及其中間各點(diǎn)的彈力大小相等，彈簧既能承受拉力，也能承受壓力(沿著彈簧的軸線)；由于彈簧受力時(shí)，發(fā)生形變需要一段時(shí)間，形變恢復(fù)也需要一段時(shí)間，在瞬間內(nèi)形變量可以忽略；因此，在分析瞬時(shí)變化時(shí)，可以認(rèn)為彈力大小不變，即彈簧的彈力不發(fā)生突變．

其次要靈活應(yīng)用力與加速度的瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系.由牛頓第二定律知，加速度是由合外力決定的，即有什么樣的合外力就有什么樣的加速度相對(duì)應(yīng)．當(dāng)合外力恒定時(shí)，加速度也恒定；合外力隨時(shí)間變化時(shí)，加速度也隨時(shí)間改變，且瞬時(shí)力決定瞬時(shí)加速度．可見，確定瞬時(shí)加速度的關(guān)鍵是正確確定瞬時(shí)作用力.因此“繩”和“彈簧”具有的基本特性的最后一點(diǎn)就是解決這類突變問題的關(guān)鍵．

下面通過幾道由淺入深的例題來詳細(xì)分析和討論如何解決“繩”和“彈簧”的突變類問題．

【例題1】天花板上用細(xì)繩吊起一個(gè)質(zhì)量為m的小球,小球保持靜止，如圖1(a)．當(dāng)突然燒斷(或剪斷)細(xì)繩的瞬間，下面小球的加速度為多大？

圖1

解析：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，做燒斷(或剪斷)前和燒斷(或剪斷)時(shí)的受力分析.

剪斷前小球保持靜止，小球受兩個(gè)力，拉力T、重力mg，如圖1(b).有

T-mg= 0

剪斷細(xì)繩的瞬間，繩子的拉力立即消失，小球只受一個(gè)力，重力mg，如圖1(c)，有

mg=ma

解得a=g， 方向豎直向下.

【例題2】同時(shí)用細(xì)繩和輕質(zhì)彈簧掛起一個(gè)質(zhì)量為m的小球,小球保持靜止，如圖2(a)．當(dāng)突然燒斷(或剪斷)細(xì)繩的瞬間，下面小球的加速度為多大？

解析：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，做細(xì)繩燒斷(或剪斷)前和細(xì)繩燒斷(或剪斷)時(shí)的受力分析.

剪斷前小球保持靜止，小球受兩個(gè)力，彈力F彈、重力mg，如受力圖2(b).有

F彈-mg=0a=0

圖2

剪斷細(xì)繩的瞬間，繩子的拉力立即消失，但彈簧彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變，小球仍受兩個(gè)力，彈力F彈和重力mg，如圖2(b).有

F彈-mg=0a=0

小球的瞬時(shí)加速度仍然為零.

【例題3】用輕質(zhì)彈簧掛起一個(gè)質(zhì)量為m的小球,小球保持靜止，如圖3(a).現(xiàn)用一束激光射向輕質(zhì)彈簧，在燒斷輕質(zhì)彈簧的瞬間，下面小球的加速度為多大？

解析：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，輕質(zhì)彈簧突斷前和輕質(zhì)彈簧突斷時(shí)的受力情況一樣，如圖3(b).

彈簧突斷前

F彈-mg=0a=0

圖3

由于同一彈簧的兩端及其中間各點(diǎn)的彈力大小相等，彈簧突斷時(shí)，兩段彈簧的形變量都未來得及改變，彈簧彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變，小球仍然滿足

F彈-mg=0a=0

小球的瞬時(shí)加速度仍然為零.

對(duì)于用激光打彈簧或彈簧突斷的問題，大多數(shù)學(xué)生包括教師都會(huì)產(chǎn)生疑慮：彈簧突斷前整根彈簧對(duì)物體的彈力和彈簧突斷瞬間下半段彈簧對(duì)物體的彈力能相等嗎？彈簧突斷瞬間畢竟變成兩根不同的彈簧，彈簧的勁度系數(shù)發(fā)生改變，兩根彈簧的形變量也不同，彈簧突斷的瞬間下半段彈簧對(duì)物體的彈力還等于物體的重力嗎？這個(gè)結(jié)論讓學(xué)生一時(shí)無法接受.如果學(xué)生能接受和理解，這類彈簧突斷的問題就非常簡(jiǎn)單了，甚至題目一出答案直接就看出來．那么如何在教學(xué)中 突破這個(gè)問題？下面筆者介紹一種創(chuàng)新性思維方法來突破這個(gè)問題．

方法：用打斷后的兩段彈簧通過輕繩串聯(lián)等效替代即將打斷的原彈簧(圖4).用激光打斷彈簧就相當(dāng)于直接打斷中間的輕繩．在打斷前，兩段彈簧的彈力相等都等于小球的重力.當(dāng)打斷輕繩的瞬間，繩子的拉力立即消失，但彈簧B對(duì)小球的彈力大小不變，彈簧的彈力不突變，小球仍受兩個(gè)平衡力.有

F彈-mg= 0a=0

小球的瞬時(shí)加速度為零.

圖4

今后再遇到彈簧突斷的問題，就可以事先用打斷后的兩段彈簧通過輕繩的串聯(lián)來等效替代即將打斷的原彈簧，彈簧突斷的問題就轉(zhuǎn)化成了連接下半段彈簧的輕繩突斷的問題，這個(gè)問題就又回到了例題2．用這種創(chuàng)新性思維的方法來突破這個(gè)問題使復(fù)雜的問題變得淺顯易懂，學(xué)生也容易接受，更具有說服力．

【例題4】如圖5(a)，天花板上用細(xì)繩連接A球后懸于O點(diǎn)，A、B兩球由一輕彈簧相連保持靜止，A、B兩球質(zhì)量都為m.如果將細(xì)繩燒斷，則在繩斷瞬間，兩球的加速度分別為多大？如果將彈簧燒斷瞬間，兩球的加速度又分別為多大？

解析：以A、B兩球分別為研究對(duì)象，做燒斷前和燒斷時(shí)的受力分析．

燒斷前A、B靜止，如圖5(a);A球受三個(gè)力，拉力T、重力mg和彈力F彈，如圖5(b)；B球受兩個(gè)力，重力mg和F彈′，如圖5(c)，取向上的方向?yàn)檎?

A球T-mg-F彈=0

(1)

B球F彈′-mg=0

(2)

圖5

由式(1)、(2)解得

T=2mgF彈=F彈′=mg

(1)將細(xì)繩燒斷時(shí)，A球受兩個(gè)力，因?yàn)槔K的拉力T立即消失，而彈簧有形變，瞬間形變不改變，彈力還存在．如圖5(d)，A球受重力mg、彈簧給的彈力F彈．同理，B球受重力mg和彈力F彈′．

A球 -mg-F彈=maA

(3)

B球F彈′-mg=maB

(4)

由式(3)解得aA=-2g(方向向下)

由式(4)解得aB=0

錯(cuò)解：細(xì)繩燒斷時(shí)，以(A+B)為研究對(duì)象，系統(tǒng)只受重力，處于完全失重狀態(tài)，所以加速度為g，則A、B球的加速度為g．出現(xiàn)上述錯(cuò)解的原因是研究對(duì)象的選擇不正確.由于細(xì)繩燒斷時(shí)，A球受力發(fā)生改變，B球受力不變，A、B球具有了不同的加速度，不能做為整體研究．

(2)將彈簧燒斷瞬間，彈簧有形變，瞬間形變不改變，彈簧彈力大小不變．因此彈簧燒斷瞬間A、B兩球受力情況不變．由圖5(b)，A球受三個(gè)力，拉力T、重力mg和彈力F彈；如圖5(c)，B球受兩個(gè)力，重力mg和F彈′．

A球T-mg-F彈=0

B球F彈′-mg=0

解得aA=0aB= 0

【例題5】如圖6(a)所示，一質(zhì)量為m的物體系于長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1、L2的兩根細(xì)繩上，L1的一端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為θ，L2水平拉直，物體處于平衡狀態(tài)．

(1)現(xiàn)將細(xì)繩L2剪斷，求剪斷時(shí)物體的瞬時(shí)加速度多大.

(2)若將圖6(a)中的細(xì)繩L1改為長(zhǎng)度相同、質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，如圖6(b)所示,其他條件不變.求剪斷細(xì)繩L2時(shí)物體的瞬時(shí)加速度多大.

圖6

解析：(1)如圖6(a)，以質(zhì)量為m的物體為研究對(duì)象，細(xì)繩L2剪斷前受力情況如圖6(c),物體受三個(gè)力,即細(xì)繩L1、L2的拉力分別為F1、F2和重力mg,物體處于平衡狀態(tài)，此時(shí)滿足

當(dāng)細(xì)繩L2剪斷瞬間，繩L2的拉力F2突然消失，繩L1上張力的大小發(fā)生了突變，物體在細(xì)繩L1的拉力F1、重力mg的作用下將沿弧線下擺，如圖6(d).

此瞬間

F1=mgcosθ

F合=mgsinθ=ma

解得

a=gsinθ

(2)如圖6(b)，當(dāng)細(xì)繩L2剪斷瞬間，繩L2的拉力F2突然消失，彈簧L1的形變量未來得及發(fā)生變化，彈力F1的大小和方向都不變，此時(shí)物體只受重力mg和彈力F1兩個(gè)力，如圖6(e)，物體所受的合力與F2等大反向.由牛頓第二定律得

F合=mgtanθ=ma

所以

a=gtanθ