變截面連續(xù)梁抗扭慣矩修正系數(shù)的計(jì)算方法

王贊芝,江林雁，江培信

(1.廣西工學(xué)院土木建筑工程系,廣西柳州 545006；2.中煤邯鄲設(shè)計(jì)工程有限責(zé)任公司，河北邯鄲 545006)

在計(jì)算橋梁的荷載橫向分布系數(shù)時(shí),常用偏心壓力法。對(duì)于具有較大抗扭剛度的截面,如箱形梁等,如果不考慮梁的抗扭剛度,則設(shè)計(jì)將過(guò)于保守[1～2],從而造成材料的浪費(fèi)。如在采用偏心壓力法計(jì)算荷載橫向分布系數(shù)時(shí),在每根主梁截面上各增加一個(gè)抵抗扭矩T,這樣計(jì)算荷載橫向分布系數(shù)的方法就是修正偏心壓力法。設(shè)計(jì)簡(jiǎn)支梁時(shí),可以直接計(jì)算梁跨中截面的抗扭剛度,代入修正偏心壓力法的計(jì)算公式。設(shè)計(jì)非簡(jiǎn)支的其他梁式體系橋時(shí),可以采用等代簡(jiǎn)支梁法計(jì)算該類橋梁各跨的荷載橫向分布系數(shù)。

采用等代簡(jiǎn)支梁法計(jì)算非簡(jiǎn)支體系橋荷載橫向分布系數(shù),需要計(jì)算抗彎慣矩修正系數(shù)Cw和抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ。其中計(jì)算抗彎慣矩修正系數(shù)Cw的原理是,當(dāng)需要計(jì)算實(shí)際橋梁某跨的荷載橫向分布系數(shù)時(shí),以整個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)為計(jì)算對(duì)象,使該跨跨中的撓度與等代簡(jiǎn)支梁的跨中撓度相等；主要工作是以此列出靜不定方程,最終解出實(shí)際梁該跨跨中撓度；其結(jié)構(gòu)模型特點(diǎn)是,對(duì)于r跨橋,具有r+1個(gè)簡(jiǎn)支支座,每個(gè)支座處可有轉(zhuǎn)角,但撓度為零；其計(jì)算特點(diǎn)是，對(duì)r-1次靜不定結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。而計(jì)算抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ的原理是,當(dāng)需要計(jì)算實(shí)際橋梁某跨的荷載橫向分布系數(shù)時(shí),僅以該跨梁段為計(jì)算對(duì)象,使該跨跨中的扭轉(zhuǎn)角與等代簡(jiǎn)支梁的跨中扭轉(zhuǎn)角相等；主要工作是計(jì)算在此變截面梁跨劃分為若干梁段后各微段的扭轉(zhuǎn)角并疊加,從而得到該跨跨中的扭轉(zhuǎn)角；其結(jié)構(gòu)模型特點(diǎn)是,該跨兩端為剛性固定；計(jì)算特點(diǎn)僅是對(duì)一次靜不定結(jié)構(gòu)的計(jì)算?？箯潙T矩修正系數(shù)Cw的計(jì)算方法在諸多文獻(xiàn)中有所論述[3～7],而對(duì)抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ計(jì)算方法的詳細(xì)討論則未見(jiàn)文獻(xiàn)述及,故本文對(duì)抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ的計(jì)算方法進(jìn)行一些討論。

1 抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ的推導(dǎo)

設(shè)有任意一座連續(xù)梁橋,可以是箱梁或其他截面形式的梁,不妨設(shè)其跨徑布置如圖1所示[1]。根據(jù)對(duì)計(jì)算精度的要求,將中跨和邊跨各分為若干段。對(duì)于中跨,截面形狀和尺寸一般是關(guān)于跨中對(duì)稱的,對(duì)于邊跨,一般來(lái)說(shuō)截面特性不具備這種對(duì)稱性,因而梁跨的抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ的計(jì)算就分為對(duì)對(duì)稱型變截面梁的計(jì)算和對(duì)非對(duì)稱型變截面梁的計(jì)算兩種情況。

圖1 連續(xù)梁立面

1.1 對(duì)稱型變截面梁

一般的3跨連續(xù)梁的中跨即屬這種情況。因?yàn)橐?jì)算的是跨中截面的扭轉(zhuǎn)角,所以應(yīng)該分成偶數(shù)個(gè)節(jié)段,設(shè)為2 m一個(gè)節(jié)段。劃分的間距可以是等間距的,也可以是變間距的,這里采用等間距劃分法,見(jiàn)圖2(a)。

為了計(jì)算跨中截面扭轉(zhuǎn)角,設(shè)在跨中施加一個(gè)單位扭矩T=1,則按照力的等效原則,相當(dāng)于將梁的跨中固定,而在梁端施加一個(gè)扭矩T=0.5,如圖2(b)所示。這樣,根據(jù)扭矩與截面扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系,對(duì)于微段01,截面扭轉(zhuǎn)角為[8]

圖2 對(duì)稱型變截面梁的分段計(jì)算模型

(1)

同樣,對(duì)于微段12,截面扭轉(zhuǎn)角

(2)

……

對(duì)于微段(m-1)m,截面扭轉(zhuǎn)角

(3)

截面總的扭轉(zhuǎn)角應(yīng)為

θ=θ0+θ1+…+θm-1=

(4)

由于整個(gè)梁是變截面的,因此每個(gè)微段實(shí)際上也是變截面的,而在式(4)中計(jì)算每個(gè)微段的扭轉(zhuǎn)角時(shí),用的都是圖2(b)中右端的截面慣性矩,顯然這樣的慣性矩取值偏小,從而使得所計(jì)算得到的各微段的截面扭轉(zhuǎn)角偏大。如果我們統(tǒng)一采用圖2(b)中各微段左端的截面慣性矩來(lái)計(jì)算,則得到的截面總的扭轉(zhuǎn)角應(yīng)為

θ=θ0+θ1+…+θm-1=

(5)

顯然,式(5)得到的總的扭轉(zhuǎn)角又有所偏小。我們將式(4)和式(5)得到的兩個(gè)總扭轉(zhuǎn)角平均,這樣應(yīng)該更接近于真實(shí)值,平均后的總的截面扭轉(zhuǎn)角為

(6)

當(dāng)為等截面梁時(shí),式(6)成為

(7)

由式(6)和式(7)得到

(8)

1.2 非對(duì)稱型變截面梁

常見(jiàn)的3跨連續(xù)梁的邊跨即屬這種情況。因?yàn)橐?jì)算的仍是跨中截面的扭轉(zhuǎn)角,所以劃分的節(jié)段數(shù)還應(yīng)是偶數(shù),設(shè)為2n,見(jiàn)圖3(a)。

圖3 非對(duì)稱型變截面梁的分段計(jì)算模型

計(jì)算跨中截面扭轉(zhuǎn)角時(shí)在跨中施加一個(gè)單位扭矩T=1。實(shí)際計(jì)算時(shí),可以將跨中截面固定,而在兩端各施加扭矩T1和T2,如圖3(b)和圖3(c)所示,這樣產(chǎn)生扭角θ左和θ右,它們滿足關(guān)系

T1+T2=T

(9)

θ左=θ右

(10)

根據(jù)式(6),

θ左=θ1+θ2+…+θn-1=

(11)

θ右=θn+1+θn+2+…+θ2n=

(12)

(13)

所以,由式(10)和式(11)

θ左=θ右=

(14)

式(14)也就是圖3跨中截面的扭轉(zhuǎn)角θ變。當(dāng)梁為等截面時(shí)

(15)

這樣得到

(16)

2 計(jì)算舉例

3跨變高度連續(xù)箱梁橋如圖4所示,其跨徑組合40 m+60 m+40 m。它的中孔梁底縱向變化曲線是拋物線

(17)

圖4 某變高度連續(xù)箱梁橋立面及節(jié)段劃分(單位：m)

式(17)的坐標(biāo)原點(diǎn)在跨中處的箱梁頂板上表面,這樣式中的h也就是箱梁截面的高度；對(duì)于邊孔,以兩個(gè)中間支座為軸分別與中孔梁底緣曲線對(duì)稱,其余的部分直到邊支座共10 m長(zhǎng)為直線,即以等高梁h=1.6 m過(guò)渡到邊支座。

斷面為單箱單室箱梁,箱梁底板寬7.6 m,頂板翼緣外懸2.7 m,頂板總寬13 m；頂板厚度t1=0.3 m,腹板厚t3=0.35 m,頂板翼緣厚t4=0.3 m；中跨底板厚度t2由支座截面的0.45 m按線性規(guī)律減薄至跨中截面的0.25 m,邊跨底板厚度t2由中間支座截面的0.45 m按線性規(guī)律向端支座方向30 m范圍內(nèi)減薄至0.25 m,其余10 m范圍內(nèi)保持0.25 m高度不變,如圖5所示[1]。

圖5 箱梁橫斷面(單位：m)

對(duì)于橫隔梁的設(shè)置,參考了重慶長(zhǎng)江大橋,重慶長(zhǎng)江大橋的138 m邊跨T構(gòu)每側(cè)凈長(zhǎng)48.7 m[9]而不設(shè)橫隔梁；本橋?yàn)檫B續(xù)梁橋,為了減少對(duì)施工的干擾,加快工程進(jìn)度,因此只在4個(gè)支座處各設(shè)置1道橫隔梁,橫隔梁厚度均為60 cm,不設(shè)置中間橫隔梁。但在受力計(jì)算時(shí)按慣例不考慮橫隔梁的存在,即如果所選截面恰好位于橫隔梁所在位置,就用稍偏離一些的、橫隔梁旁邊的截面代替此截面。這樣做簡(jiǎn)化了計(jì)算,又偏于安全,而且由此處理引起的誤差并不大[10～11]。

控制截面也稱設(shè)計(jì)驗(yàn)算截面或計(jì)算截面[12]。本橋全長(zhǎng)140 m,將其等分14份得到15個(gè)控制截面,半橋共8個(gè)控制截面,其截面要素見(jiàn)表1。這里截面要素主要指發(fā)生變化的截面參數(shù),如梁高h(yuǎn)、底板厚度t2等,而ITi值依據(jù)下式計(jì)算[13～14]

(18)

盡管式(18)中第2項(xiàng)的影響很小,本文在計(jì)算中仍考慮了其影響。

表1 各截面尺寸及抗扭慣矩

由以上數(shù)據(jù),對(duì)于中跨,2m=6,m=3

3/{[1/(2×26.253 74)+1/13.859 09+

1/8.003 713+1/(2×6.122 368)]×6.122 368}=

1.645 369 028

文獻(xiàn)[1]采用了較精確的計(jì)算方法,得到的結(jié)果是Cθ=1.645 205,而本文僅取m=3就得到了與其非常接近的數(shù)值,由此可以看出本文介紹的方法既簡(jiǎn)便又具有非常高的精度。

對(duì)于邊跨,2n=4,n=2

2.438 799 471

在中跨和邊跨的Cθ計(jì)算式中都不含有節(jié)段長(zhǎng)度ΔS,說(shuō)明Cθ的數(shù)值與節(jié)段的長(zhǎng)度無(wú)關(guān),也就是與橋梁的跨徑無(wú)關(guān),而只與每個(gè)截面的抗扭剛度IT有關(guān)。Cθ數(shù)值的大小反映了變截面梁抗扭轉(zhuǎn)能力的大小,Cθ計(jì)數(shù)值越大,說(shuō)明變截面梁的扭轉(zhuǎn)角θ越小,抗扭轉(zhuǎn)的能力越大。在本算例計(jì)算θ等時(shí),盡管中跨采用的是該跨的最小截面(第7截面),而邊跨采用的不是該跨的最小截面(第2截面),但最終得到的邊跨的Cθ=2.438 799 471是中跨的Cθ=1.645 369 028的1.5倍,這說(shuō)明雖然采用變截面能帶來(lái)諸多好處[2],但跨中截面的削弱會(huì)嚴(yán)重影響梁的抗扭能力。

3 結(jié)語(yǔ)

(1)本文對(duì)采用等代簡(jiǎn)支梁法計(jì)算非簡(jiǎn)支體系梁式橋荷載橫向分布系數(shù)時(shí)必須用到的抗彎慣矩修正系數(shù)Cw和抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ的計(jì)算原理、主要工作、計(jì)算特點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)分析、對(duì)比；

(2)計(jì)算抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ,考慮的是截面沿梁長(zhǎng)度方向的變化情況,它與梁的跨數(shù)多少、甚至是否為連續(xù)梁并無(wú)實(shí)質(zhì)關(guān)系,只是在計(jì)算抗彎慣矩修正系數(shù)Cw時(shí)才體現(xiàn)連續(xù)梁與簡(jiǎn)支梁的區(qū)別；

(3)Cθ數(shù)值的大小反映了變截面梁抗扭轉(zhuǎn)能力的大小,Cθ數(shù)值越大,說(shuō)明變截面梁的扭轉(zhuǎn)角θ越小,抗扭轉(zhuǎn)的能力越大；

(4)采用變截面梁能有效降低跨中的設(shè)計(jì)正彎矩,更符合梁的內(nèi)力分布規(guī)律,又與施工的內(nèi)力狀態(tài)相吻合,但跨中截面的削弱會(huì)嚴(yán)重影響梁的抗扭能力；

(5)采用節(jié)段劃分法計(jì)算抗扭慣矩修正系數(shù)Cθ,雖然在理論上是劃分的節(jié)段越多其結(jié)果越接近精確值,但運(yùn)算結(jié)果表明,實(shí)際上只要取很少幾個(gè)節(jié)段,例如每一跨度只要?jiǎng)澐?～6個(gè)節(jié)段即可達(dá)到相當(dāng)高的計(jì)算精度,滿足工程設(shè)計(jì)的需要。

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