“三招齊下”破解含參數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題

315731 浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

“三招齊下”破解含參數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題

315731 浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中可以說是“叱咤風(fēng)云”，具有深刻的內(nèi)涵與豐富的外延，在應(yīng)用中顯示出獨特的魅力和勢不可擋的滲透力．導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列和曲線等問題的利器，是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁．以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為目標(biāo)，是最近幾年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的顯著特點和命題趨向．對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查的廣度和深度也在不斷拓寬、加深．尤其是運用導(dǎo)數(shù)確定含參數(shù)函數(shù)的參數(shù)取值范圍的問題，這類問題不僅綜合性強、難度高，而且解題思路妙、方法巧，學(xué)生不容易掌握．

例1 (2010年全國Ⅱ理科)設(shè)函數(shù)f(x)=1-e-x

1 連續(xù)求導(dǎo)破解極值存在性問題

本題的基本思想方法是通過等價變形，把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=axf(x)+f(x)-x的最值問題．這就需要對h(x)求導(dǎo)，得到h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1．然后解方程 h'(x)=0，求出極值點．由于方程a(1-e-x)+axe-x+e-x-1=0的解不容易求，所以標(biāo)準(zhǔn)答案選擇了放縮法進行求解．事實上對于這樣的方程，我們可以利用代入特殊值，如0，1，-1等方式把它的解“湊”出來．通過嘗試我們發(fā)現(xiàn)x=0恰好是h'(x)的一個解．找到一個解后，問題并沒有解決，因為除了x=0外我們還要考慮有沒有其它解．這又歸為求函數(shù)h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1的值域問題，又要用到導(dǎo)數(shù)．我們令m(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1(x≥0)，然后再求 m'(x)．

上述解法顯然比標(biāo)準(zhǔn)答案中的解法更自然，更大眾化，更容易讓學(xué)生接受．如果要談解題技巧話，無非是對函數(shù)h(x)求了兩次導(dǎo)數(shù)，即用到了h(x)的二階導(dǎo)數(shù)h″(x)．對于連續(xù)求導(dǎo)的思想學(xué)生應(yīng)該能夠理解并掌握，因為我們知道求導(dǎo)的重要作用就是通過求極值點確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最終求出函數(shù)的最值(值域)．只要明白這一點，那不管求導(dǎo)多少次都是同樣的道理．

2 分離參數(shù)破解分類討論問題

上述解法相對于標(biāo)準(zhǔn)答案來說確實更加自然了，但這兩種解法都用到了分類討論的思想．我們知道分類討論向來是學(xué)生的“軟肋”，對于參數(shù)的討論更是“軟肋”中的“軟肋”．為了擺脫分類討論所帶來的麻煩，可以嘗試一下分離參數(shù)法．也就是利用題設(shè)條件建立變量的關(guān)系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數(shù)關(guān)系，從而使這種具有函數(shù)背景的范圍問題迎刃而解，再由已知變量的范圍求出函數(shù)的值域，即為所求變量的范圍．

上述解法比較繁瑣、冗長，但思路單一，方法簡單，容易想到．

3 羅必塔法則破解未定式極限問題

在利用分離參數(shù)法構(gòu)造新的函數(shù)時，很可能會發(fā)生新構(gòu)造的函數(shù)的結(jié)構(gòu)比原來的函數(shù)還要復(fù)雜，這無形中會增加計算的負擔(dān)，使學(xué)生望而生畏，但我們要堅定信念——外表看似復(fù)雜的函數(shù)的實際上都非常簡單或者非常特殊的，只要我們靈活利用這“三招”，“三招”齊下，多數(shù)問題都可以迎刃而解．

20110802)